Blog

U vrijeme digitalizacije nastavnog procesa

Dragi čitatelji,

još mi je prvi urednik našeg omiljenog časopisa, kolega Branimir Dakić, znao predložiti da ponekad napišem uvodnik. Nećkao sam se, a mislim i s pravom. Jer dohvatim li se pera, opet ću o tehnologiji, a na stranicama MiŠ-a bilo je sasvim dovoljno GeoGebre i smatrao sam da joj ne bi trebalo davati još mjesta u uvodniku. Iako matematika i računala idu zajedno, mislim da nisu od presudne važnosti za nastavu matematike. Ali vrijeme nosi svoje i na GeoGebrinom repozitoriju materijala gotovo se na dnevnoj bazi primijeti koliko raste broj hrvatskih korisnika i materijala koje produciraju. Uočio sam i zajednički profil autora digitalnih obrazovnih sadržaja CARNetova projekta Digitalno zrelih škola (www.geogebra.org/dos+autori). U neku ruku to je i priznanje našem malom timu volontera koji već desetljeće i pol radi na lokalizaciji i popularizaciji ovog moćnog programskog paketa i mrežnog servisa.

 S obzirom na to da digitalizacija i službeno zahvaća nastavni proces, valja biti oprezan i rabiti je samo onda kada to doista ima smisla, kada očekujemo da ćemo bolje postići obrazovni cilj. Rabimo li tehnologiju radi tehnologije, možemo učenika još više udaljiti od neke osnovne matematičke ideje, pa čak i progutati više vremena. Sve su to pionirski koraci i nema baš autoriteta koji će nam propisati jasne smjernice. Preostaje nam samostalno procijeniti vlastite iskorake i učiti iz tuđih. Prije nekoliko dana sam na društvenim mrežama zamijetio jedan takav iskorak uporabe GeoGebre za geometriju u razrednoj nastavi. Iz priloženih fotografija vidjela se na tabletima GeoGebrina aplikacija Geometrija i na njima učenički crteži. Aplikacija i crteži na zaslonu tableta izgledali su fantastično. Učenici su crtali točke, pravce i dužine. Pojam pravca je osnovni geometrijski pojam koji ne definiramo, zamišljamo tu beskonačnu ravnu crtu bez debljine, koja opet između svake svoje dvije točke ima beskonačno mnogo točaka. Na prvi pogled pravac nacrtan na zaslonu računala bio bi bliži  zamišljenom pojmu, ali možda učenikovu maštu više pali crtanje na papiru na kojem je jasno da je prikazano nešto vrlo ograničeno. Teško je reći što je tu bolje, a vjerujem da jedan I drugi pristup imaju svojih odgojnih vrijednosti.

Promatrajući svjetske primjere  u jedno sam ipak uvjeren, a to je da GeoGebra ima svoje mjesto u srednjim školama i naročito u raznim kolegijima početnih godina studija. I ne samo onima koji se slanjaju na geometriju. Zasigurno ćete se zapitati je li za djecu tog uzrasta bolje da crtaju na papiru služeći se klasičnim geometrijskim priborom i olovkom ili ovako na zaslonu tableta. I jedno i drugo ima svojih prednosti i svoju svrhovitost, ali ne bih ovdje otvarao taj problem. Promatrajući svjetske primjere uvjeren sam da GeoGebra nalazi svoje mjesto u srednjim školama i naročito u raznim kolegijima prvih godina studija. U Hrvatskoj takvih primjera jako malo viđam. Sveučilišni profesori u Hrvatskoj posežu za moćnim, ali teško dostupnim aplikacijama, iako se sve to može izvesti nekom GeoGebrinom aplikacijom na studentskom mobitelu. Moglo bi se slikovito reći da topovima pucaju na vrapce.

Primjer iz razredne nastave je izgleda imao za cilj postići još neke digitalne kompetencije, jer su učenici svoje crteže s opisom predavali na zajedničko web-mjesto, na kojem su mogli i ocjenjivati radove svojih kolega. Želim ovdje ukazati na GeoGebru kao mrežni servis i sustav koji sve to može objediniti. Poznato je da svaki interaktivni uradak izrađen GeoGebrom te obogaćen tekstom, slikama, PDF dokumentima ili čak videosnimkom možete objaviti svijetu ili samo ciljanim korisnicima na GeoGebrinu poslužitelju. I to kao samostalnu stranicu ili niz stranica povezanih u knjigu. Ali i više od toga, možete oformiti svoj razred u grupu s ciljem da zajednički izrađujete materijale ili da vam učenici predaju dobivene zadatke na ocjenjivanje. Samo je mašta granica što se sve i kako može napraviti. Za ilustraciju, grupa kolegica i kolega udružila se za vrijeme zimskih praznika i prevela dio službenih GeoGebrinih priručnika na hrvatski jezik. Između ostalih I onaj kako oformiti GeoGebrinu grupu. Svakako navratite na www.geogebra.org/gghr i učite s nama.

Uvijek je potreban oprez sa svime što uvodimo u nastavu, a najbolju prosudbu možemo napraviti sami. U svojoj knjizi Zornost u nastavi matematike njezin autor Branimir Dakić kaže kako nastavnici često gunđaju da nam na raspolaganju stoji samo kreda i ploča. Njegovo protupitanje glasi: A zar je to malo?!

Srdačno,

Šime Šuljić,

gost-urednik 93. broja MiŠ-a

(Uvodnik MiŠ-a broj 93)

Saznaj više


Entuzijasti

Dragi čitatelji,

Hrvatski jezični portal kaže da je entuzijast onaj koji je ushićen, koji je pun entuzijazma, koji je zanesenjak. Prema istom izvoru, etimološki riječ entuzijast potječe od grčke riječi enthousiasts,  što u izvorniku znači "Bogom nadahnut'. Entuzijastima ništa nije teško, poletni su i zaneseni te s lakoćom preskaču prepreke zahvaljujući svojem oduševljenju određenom idejom.

 Uspjesi u obrazovanju velikim dijelom počivaju na entuzijastima. Entuzijasti djeluju kao lokomotiva koja vuče druge, to su osobe koje i izvan radnog vremena razmišljaju o poboljšanju nastave i koje to veseli, osobe koje ostaju dokasna u školi, koje svojevoljno rade kod kuće vikendima ili pak i vikendima idu u školu, koje se koriste svojim telefonom, vremenom i novcem za ostvarenje neke ideje u nastavi ili izvan nje. Ne govorim o onima koji to rade jer ih je netko na to natjerao, već o onima koji to rade samoinicijativno jer im to dolazi iznutra

U posljednje vrijeme entuzijazam može imati i pomalo negativno značenje, kada se za nekoga smatra da posjeduje nekritično oduševljenje ili da ima velike ideale unatoč objektivnim argumentima koji pobijaju njegove ideje. Entuzijastično ponašanje je nerijetko i baza za iskorištavanja od strane onih drugih. Primjerice, neki ravnatelji podizat će imidž svoje škole zahvaljujući entuzijastima. Nažalost, postoje i oni ravnatelji koji uopće ne primjećuju svoje entuzijaste. Sami entuzijasti rijetko će primiti neku drugu nagradu za svoj trud, osim one koja se vidi u očima njihovih učenika. 

A entuzijasti u nastavi matematike... Neki ljudi ih nikada neće razumjeti. Neki će ih pak cijeli život pamtiti jer su im pokazali da matematika može biti lijepa i zanimljiva. Nekima su matematički entuzijasti utjecali na izbor zanimanja. Matematički entuzijasti  ne propuštaju organizirati Večeri matematike, natjecanja i dodatne aktivnosti ili koristiti se raznim nekonvencionalnim nastavnim sredstvima i sl. U Miš-u smo do sada vidjeli mnogo primjera iz nastavne prakse kolega - zaljubljenika u nastavu matematike. Na kraju krajeva, jedan veliki entuzijast pokrenuo je Miš koji sve ove godine postoji upravo zahvaljujući entuzijastima. 

I u ovom broju možete naći mnoštvo zanimljivih članaka. Naši neumorni…

Saznaj više


Matematika vs. računanje

Dragi čitatelji,

u prošlom broju MiŠ-a propitivali smo ulogu nastave matematike u STEM edukaciji. Prirodan korak je da to propitivanje iz dvorišta STEM-a preselimo u vlastitu kuću, unutar same nastave matematike. Već staro, ali uvijek aktualno pitanje glasi: jesmo li kvalitetno upotrijebili računala u nastavi. Računalo i računari, sama im riječ govori, prvobitnu su imali namjenu isključivo za računanje. Prije 40-ak se godina na kongresima američkih nastavnika najavljivalo da će kalkulator u nastavi dovesti do izbacivanja pisanog oblika računanja, a neki su se pitali i hoće li prestati postojati potreba za matematičarima jer "sada računa stroj". Očito tada, kao i danas, za mnoge ljude matematika znači računanje. Matematičar im je onaj koji dobro i brzo računa. Profesija matematičara se tako, valjda, identificira s profesijom računovođe.

U međuvremenu je namjena računala ekspandirala, proširila se s pukog računanja na brojne druge funkcije i mogućnosti, između ostaloga i vizualnu dinamiku te 3D efekte. Sa svakom novom funkcijom došlo je i novo pitanje: Hoće li se rješavanje jednadžbi isključiti iz nastave jer sada rješenja računalo pronalazi jednim klikom? Hoće li se konstrukcija trokuta izbaciti jer sada se to može riješiti naredbom "nacrtaj trokut takav i takav"? Ovakve se rasprave vode već desetljećima, a u međuvremenu nije mnogo toga izbačeno iz nastave matematike. Metodičari govore da te stvari ne trebaju biti izbačene, već treba pametno iskoristiti računala, a zahtjeve prema učenicima prebaciti na jednu drugu razinu, tražeći razumijevanje koncepata, po mogućnosti u učenju otkrivanjem. Ali, koji je to čaroban omjer između algoritama i koncepata koji bi bio idealan za pojedini razred ili za pojedinu nastavnu temu? Krajnju riječ za odgovor na ovo pitanje imat će nastavnici.

U ovom broju MiŠ-a dosta smo prostora odvojili upravo za promišljanje o računanju i algoritmima u okviru nastave matematike. Članci kolega Kneževića i Šuljića prikazuju reakcije autora na konkretne primjere iz medija o računanju i matematici, prvenstveno na poznato predavanje Conrada Wolframa s TED-a. Nadalje, u članku kolegice Banić možemo vidjeti kako je računanje…

Saznaj više


Slovo M u riječi STEM

Dragi čitatelji,

u posljednje vrijeme mnogo se govori o poticanju STEM područja među učenicima, dakle, prirodnih znanosti, tehnologije, inženjerstva i matematike. Također, u posljednje vrijeme u Uredništvo primamo članke u kojima autori često spominju STEM i ulogu matematike u njemu. Izgleda da je inicijativa pojedinih udruga i pojedinaca izvan formalnog sustava i izvan redovite nastave uspjela infiltrirati ideju STEM-a među učenike, roditelje i nastavnike pa tako i nastavnike matematike. I to je zaista izvrsna vijest.

UNESCO naglašava da su STEM kompetencije značajne za poticanje kvalitetnog učenja i u disciplinama koje nisu direktno vezane uz STEM jer one potiču i razvijaju kreativnost, kritičko promišljanje, rješavanje problema, komunikaciju i suradničko učenje. Istraživanje (Johnson, Rochkind i Otta, 2010.) iz SAD-a pokazuje da oko 90 % ispitanih mladih Amerikanaca smatra da je studiranje prirodnih znanosti i matematike važno za društvo te da su STEM kompetencije prednost za uspjeh u poslu, čak i u onim poslovima koji nemaju direktne veze s matematikom, inženjerstvom ili prirodoslovljem. S druge strane, manje od trećine istih ispitanika će se odazvati studiju iz STEM područja. Prije više od 10 godina i Europska je komisija donijela preporuke vezane uz zanimanja i budućnost radnih mjesta u Europi. Tamo se, između ostalog, kaže da treba poticati zanimanje za radna mjesta vezana uz prirodne znanosti i tehnologiju te za uključivanjem djevojaka u STEM.

Stoga se možemo zapitati kako se ovaj izazov odražava na nastavu matematike. Hoće li predmet Matematika, kao vrlo stara dama, biti otok sam za sebe i hoće li se mijenjati s obzirom na ovu STEM modu? Ili će u sklopu STEM obrazovanja biti jedna nova i inženjerski implementirana matematika, a druga, tradicionalna, će biti zaseban predmet? Ako da, hoće li njih dvije imati vidljivih dodirnih točaka? Hoće li ih predavati isti nastavnici?

Ovaj naglasak na STEM područjima koji se događa u posljednje vrijeme je implicirao još jedan matematičarima zanimljiv moment: ponovno promišljanje o važnosti pojma funkcije i funkcijskog razmišljanja. Naime, u posljednjim desetljećima mnogo se govorilo o potrebi većeg udjela sadržaja iz statistike, vjerojatnosti i diskretne matematike u nastavi…

Saznaj više


Fina motorika

Dragi čitatelji,

vjerojatno ste primijetili da u MiŠ-u od samih početaka potičemo kako smislenu primjenu računala u nastavi matematike, tako i matematiku presavijanja papira. U današnje vrijeme kada u učionicama imamo učenike koji su od najranijih dana prstom skrolali po ekranu radije nego vozili bicikl ili rezali kolaž, dobivamo još jedan razlog zašto od učenika, primjerice, tražiti izradu mreža geometrijskih tijela od papira uključujući konstruiranje, izrezivanje i precizno presavijanje po bridovima. Dobrodošli su i drugi zadatci vezani uz matematičke sadržaje i finu motoriku jer nedvojbeno postoji veza između razvijene motorike prstiju i matematičkih vještina. Dodajmo ovome još i u današnje vrijeme neophodno poticanje strpljivosti, preciznosti i upornosti kroz rad rukama kod učenika. U ovom broju stoga donosimo još jednu ideju na tragu matematike presavijanja papira: izradu fleksagona, tj. fleksibilnih poligona. U članku kolegice Ovčine nalaze se opće informacije i upute za izradu, a u prilogu ovog broja MiŠ-a poklanjamo vam i jedan prigodni predložak za fleksagon. Slobodno ih iskoristite u radu s učenicima, kako za poticanje geometrijskog mišljenja, tako i za popularizaciju matematike.

Popularizacija matematike proteže se mnogim člancima u ovom broju. Tako pročitajte o matematici na poštanskim markama u zanimljivom tekstu prof. Dakića, kolegica Tomašković nam daje prikaz radionice za srednjoškolce o matematičkim sadržajima na filmu, a kolegica Njerš o novoj zanimljivoj udruzi mladih matematičara iz Koprivnice. Moramo pohvaliti i matematičku zajednicu iz Rijeke koja se redovito javlja s vrlo zanimljivim člancima. U ovom broju donosimo članak o metodici nastave kombinatorike profesorice Sanje Rukavine, kolege Krizmanić i Skobljanec govore o poznatim dilemama i paradoksima iz vjerojatnosti, a skupina matematičara daje prikaz vrlo uspješne i posjećene izložbe Imaginary. Matematika očito pliva kao riba u Gradu koji teče.

Kolegica Valenčič iz Slovenije piše o svom pristupu geometriji kroz radionice sa zanimljivim materijalima koje sama priprema. Tu se također potiče usvajanje geometrijskih sadržaja uz rad rukama. Posebno mi se svidjela i ideja za motivaciju gdje učenici trebaju zadani geometrijski pojam opisati na četiri načina:…

Saznaj više


Jestiva zadaća!

Dragi čitatelji,

jedna dimenzija matematičke kompetencije je i svjesnost učenika da je matematika u životu važna te pouzdanje u vlastite sposobnosti. S druge strane, u ušima nam zvoni ona česta rečenica ''Što će meni to u životu trebati?'' Onaj tko to pita očito nema razvijenu spomenutu dimenziju matematičke kompetencije. Jedan od razloga je možda to što mu niti kroz kurikulum niti na nastavi ta dimenzija nije bila adekvatno približena.

Konkretne primjene matematike i autentični zadatci važni su za razvoj ove kompetencije. Jedan od primjera korištenja autentičnih zadataka u nastavi matematike ili za domaću zadaću su ‒ kad smo već u blagdanskom raspoloženju ‒ recepti iz kuharica. (Moje iskustvo pokazuje da matematičarke peku izvrsne kolače.) Kroz analizu recepata, njihov odabir i samo izvršenje možemo vježbati procjenu, omjere, razmjere, pretvaranje mjernih jedinica, razlomke, decimalne brojeve, jednadžbe itd. Za početak, jedna od ideja može biti da učenici sami na autentičnim receptima iz svojih kućnih kuharica pronađu različite zapise racionalnih brojeva (decimalne, razlomke, mješovite brojeve), da odaberu jedan recept i naprave ga za domaću zadaću, uz nadzor roditelja. Važno je da imaju doticaj s autentičnim podatcima, a ne nekim izmišljenima. Na taj način se praktičan rad povezuje s matematičkim sadržajem. Sljedeći korak bio bi dani recept, koji je npr. sastavljen za četiri osobe, prebaciti računanjem u recept s količinom namirnica za npr. 3 osobe, zatim za cijeli razred, za cijelu školu, samo za zbornicu i sl. Na taj način se iz praktičnog ipak izdižemo prema apstrakciji i zamišljanju stvari. Sličnu ideju imaju i autorice slikovnice pod nazivom Eat Your Math Homework (Pojedi svoju zadaću iz matematike) u kojoj je cilj da učenik za zadaću napravi neko jelo po danom receptu, zatim slijede matematičke aktivnosti, a na kraju se ta zadaća ‒ pojede.

Da nastavim u prigodnom tonu, u nastavku ću s vama podijeliti jedan vrlo jednostavan (i prefin!) recept za vulkan-muffine koji je kod nas hit, a mogu ga raditi učenici. Zahvaljujem kolegici Ljiljani Klinger, također matematičarki i ravnateljici OŠ Matije Gupca iz Zagreba što ga je podijelila sa mnom (a preko mene još s mnogima).

 

VULKAN-MUFFINI

Sastojci: 4 jaja, 14 dag margarina, 20 dag šećera, 15 dag čokolade za kuhanje, 10 dag oštrog brašna.

Saznaj više


Matematičke učionice

Zahvaljujemo na odazivu cijenjenim čitateljicama Zvjezdani Martinec i Mirjani Bagarić, nastavnicama matematike u osnovnim školama u Popovači i Višnjevcu, što su s nama podijelile fotografije matematičkih učionica u svojim školama koje možete pogledati na našem Facebook profilu:

matematička učionica OŠ Popovača i matematička učionica OŠ Višnjevac


P.S.
Pozivamo i druge da s nama podijele ideje iz svojih učionica, fotografirajte ih i pošaljite na adresu

mis@element.hr

Saznaj više


Element na Interliberu

Interliber 2016, pozivnica

Nakladnička kuća Element iz Zagreba poziva Vas na

39. međunarodni sajam knjiga i učila — INTERLIBER

od 8. do 13. studenog 2016. g. na Zagrebačkom velesajmu.
Posjetite nas u paviljonu 6 na štandu 13e i u paviljonu 5 na štandu 5e.
Kao i svake godine, nudimo Vam prigodne popuste pri kupnji naših naslova.

 


 

Prigodna događanja

Za vrijeme trajanja sajma na pozornici paviljona 6 predstavit ćemo nekoliko naših novih izdanja.

Petak, 11. studenog 2016.

Subota, 12. studenog 2016.

  • 16:00 – 16:30, predstavljanje knjige Branimira Dakića: Priče iz matematike
  • 16:30 – 17:00, predstavljanje knjige Edite Slunjski: Izvan okvira 2: Promjena



Saznaj više


Matematička učionica

Dragi čitatelji,

krajem prošle školske godine sam u sklopu jednog projekta posjetila mnoge škole u Zagrebu i okolici. Bilo je vrlo zanimljivo komunicirati s učenicima u njihovom ambijentu, u njihovim učionicama u kojima inače borave. Tako sam često, čekajući da učenici ispune potrebne upitnike, promatrala učionice u kojima smo se zatekli. To su bile učionice namijenjene raznim predmetima. Posebno mi se urezala u pamćenje jedna učionica hrvatskog jezika u kojoj su iz svih kutova virili poticajni sadržaji i interaktivnost s učenicima. Učenicima su bile ponuđene knjige za čitanje i drugi zanimljivi materijali, na panoima su bile zanimljivosti iz svijeta književnosti i jezika, zatim svježi izvještaji raznih internih razrednih natjecanja i drugih sadržaja, a na vratima omotnica i trenutno aktualni natječaj za razrede koji u toj učionici borave: tko će smisliti originalniji novi hrvatski naziv za pojedine engleske riječi (uglavnom iz učenicima bliskog ICT područja). Za takvu učionicu nastavnica se zaista potrudila u pripremi sadržaja, iako se moglo nazrijeti da i učenici aktivno sudjeluju u uređenju te učionice. S obzirom na to da je poznato kako na učenika utječe okolina u kojoj boravi, i predmetna učionica može stimulirati nova znanja i potaknuti motivaciju prema predmetu. Nakon boravljenja 45 minuta u ovoj učionici imala sam potrebu potražiti kolegicu iz hrvatskog jezika i pohvaliti njen trud u uređenju učionice. A, evo, toliko me je impresionirala da sam imala potrebu u ovom uvodniku podijeliti s vama, čitatelji MiŠ-a, ovu tako dobru inicijativu i trud kolegice.

Nakon ovog uvoda prirodno se nameće pitanje o tome kakve su nam matematičke učionice, jesu li one poticajne za učenje matematičkih sadržaja te potiču li pozitivne stavove prema matematici, boravku u školi i učenju uopće. U MiŠ-u je u nekoliko navrata bilo riječi o matematičkim panoima i važnosti zašto ih je poželjno izrađivati, uključivati učenike i koristiti ih na satovima matematike. Mnogi se nastavnici zaista trude matematičku učionicu učiniti poticajnim okruženjem za svoje učenike. Neke smo od tih učionica snimili i male dijelove ugođaja donosimo na stranicama Panoptikuma. Vjerujemo da će detalji iz tih učionica potaknuti neke nove ideje za vaše učionice.

No, u našem društvu problematika…

Saznaj više


Više prostora za geometriju prostora!

Dragi čitatelji,

u vremenu promišljanja o promjeni sadržaja poučavanja u nastavi matematike, u vremenu promišljanja o smislenoj upotrebi računala u nastavi matematike, u vremenu promišljanja o primjeni pogodnih nastavnih sredstava itd., mislim da je krajnje vrijeme za pitanje: Promišljamo li dovoljno o geometriji prostora i njenom udjelu i kontinuitetu u sadržajima nastave matematike?

U trenutno važećem Nastavnom planu i programu geometrijska se tijela poučavaju na početku prvog razreda osnovne škole, i to na razini prepoznavanja. Zatim se na kraju četvrtog razreda uče mjerne jedinice za obujam i formula za obujam kocke. S obzirom na to da ova tema dolazi na kraju četvrtog razreda, neki učitelji je preskaču kako bi bolje uvježbali postupak pisanog dijeljenja jer smatraju da na taj način bolje pripremaju učenike za nadolazeći peti razred. Nakon toga, geometrija prostora dolazi tek u drugom polugodištu osmog razreda. Neki nastavnici sami priznaju da kad su u zaostatku, najprije reduciraju geometriju. U srednjoj školi sve ovisi o vrsti programa koji je učenik upisao, ali u svakom slučaju ako se i radi geometrija, svakako dominira geometrija ravnine. Iz ovog pregleda jasno je da ne postoji čvršći kontinuitet u geometriji prostora kroz obrazovnu vertikalu. Slična je situacija i u prijedlogu novog kurikuluma, o čemu sam pisala u stručnoj raspravi.

Netko će reći: treba dodati statistiku i vjerojatnost, treba pojačati geometriju prostora, sve je važno, ali kod revizije nešto treba i izbaciti. Ali što? Ničega se ne želimo odreći, a još toliko toga smatramo da treba dodati. Rješenje možemo naći u povećanju satnice za matematiku. Za početak možemo govoriti o vraćanju satnice razredne nastave s 4 sata tjedno na 5, kako je bilo do 2006. godine. Ako već živimo u 3D svijetu, naši učenici bi trebali kroz matematiku učvrstiti znanje o tom 3D svijetu, npr. za početak iskustvenim slaganjem jediničnih kockica u veće kocke ili kvadre, razvijanjem prostornog zora i prostornog mišljenja. S vremenom, konkretnom materijalu treba dodati smislenu uporabu računalnih programa u nastavi koji potiču prostorni zor. Tu se s jedne strane zadovoljava zadaća nastave matematike kao priprema za svakodnevni život, a s druge strane potiče se apstraktno mišljenje.

Kad govorimo o razvijanju prostornog zora nemojmo zaboraviti da kada i radimo geometriju prostora…

Saznaj više