Poučak o kosinusu za trokut svima nam je dobro poznat. No manje je poznato da postoji sličan poučak za konveksni četverokut. Označimo li stranice četverokuta s $\left|AB\right|=a$, $\left|BC\right|=b$, $\left|CD\right|=c$ i $\left|DA\right|=d$, a dijagonale s $\left|AC\right|=e$ i $\left|BD\right|=f$, onda vrijedi: \begin{equation}
e^2f^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\ \cos \left(\alpha +\gamma \right) \tag{1}\label{1}
\end{equation} Kako bismo to dokazali, konstruirajmo nad stranicom $\overline{AB}$ prema van trokut $AKB$ koji je sličan trokutu $CDA$ tako da je $\sphericalangle BAK\ \cong \ \sphericalangle ACD$ i $\sphericalangle ABK\ \cong \ \sphericalangle CAD$, a nad $\overline{AD}$ trokut $ADL$ sličan trokutu $CAB$ tako da je $\sphericalangle DAL\ \cong \ \sphericalangle ACB$ i $\sphericalangle ADL\ \cong \ \sphericalangle CAB$, kao na slici 1.
Tada vrijedi: $\dfrac{\left|AK\right|}{c}=\dfrac{a}{e}$, $\dfrac{\left|AL\right|}{b}=\dfrac{d}{e}$, $\dfrac{\left|KB\right|}{d}=\dfrac{a}{e}$, $\dfrac{\left|DL\right|}{a}=\dfrac{d}{e}$, tj. $$\left|AK\right|=\dfrac{ac}{e} ,\quad \left|AL\right|=\dfrac{bd}{e} ,\quad \left|KB\right|= \left|DL\right|=\frac{ad}{e} .$$ Nadalje, za mjere kutova vrijedi: $$\begin{align}\sphericalangle KBD+\sphericalangle LDB&=\sphericalangle KBA+\sphericalangle ABD+\sphericalangle BDA+\sphericalangle ADL\\&=\sphericalangle CAD+\sphericalangle ABD+\sphericalangle BDA+\sphericalangle CAB \\&=180{}^\circ\quad\text{(zbroj kutova u trokutu $ABD$).}\end{align}$$ Analogno, ako nad stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ konstruiramo prema van trokute na opisani način, može se pokazati i da je $\sphericalangle LDB+\sphericalangle KLD= \sphericalangle KLD+\sphericalangle BKL= \sphericalangle BKL+\sphericalangle KBD= 180{}^\circ $ , odnosno zbroj svakih dvaju susjednih kutova četverokuta $KBDL$ je $180{}^\circ $, što znači da je četverokut $KBDL$ paralelogram, pa možemo zaključiti da je $\left|KL\right|=\left|BD\right|=f.$
Primijenimo sada poučak o kosinusu na trokut $AKL$: $$f^2={\left(\frac{ac}{e}\right)}^2+{\left(\frac{bd}{e}\right)}^2-2\cdot\frac{ac}{e}\cdot\frac{bd}{e}\cdot{\cos \left(\alpha +\gamma \right) },$$ pri čemu je $\alpha =\sphericalangle CAD+\sphericalangle BAC$, a $\gamma =\sphericalangle DCA+\sphericalangle ACB$ (na slici je vidljivo da je kut $\sphericalangle KAL$ jednak zbroju tih dvaju kutova), odnosno: $$e^2f^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\ \cos \left(\alpha +\gamma \right),$$ što smo i htjeli dokazati.
Budući da je $\beta +\delta =360{}^\circ -(\alpha +\gamma )$ pa je $\cos \left(\beta +\delta \right)=\cos \left(\alpha +\gamma \right)$, vrijedi i $$e^2f^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\ \cos \left(\beta +\delta \right).$$ Ako je četverokut tetivni, tj. $\alpha +\gamma = \beta +\delta =180{}^\circ $, formula \eqref{1} prelazi u $$e^2f^2=a^2c^2+b^2d^2+2abcd,$$ odnosno $$ef=ac+bd,$$ što je jednakost poznata kao Ptolomejev poučak, a govori o međusobnom odnosu stranica i dijagonala tetivnog četverokuta.
Formula \eqref{1} poznata je pod imenom Bretschneiderov poučak iako je Carl Anton Bretschneider poznatiji po formuli za površinu konveksnoga četverokuta: \begin{equation}
P=\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-abcd\cdot{\cos}^2 \frac{\alpha +\gamma }{2}}\tag{2}\label{2}
\end{equation} pri čemu je $s=\dfrac{a+b+c+d}{2}.$
Kako bismo to dokazali, podijelimo četverokut dijagonalom $f$ na dva trokuta, $BCD$ i $ABD$. Tada je
$$P=P_{BCD}+P_{ABD}=\frac{1}{2}ad{\sin \alpha +\frac{1}{2}bc{\sin \gamma } }.$$ Pomnožimo li tu jednakost s 4, a zatim kvadriramo, dobit ćemo \begin{equation}
16P^2=4a^2d^2{{\mathrm{sin}}^2 \alpha \ }+4b^2c^2{{\mathrm{sin}}^2 \gamma \ }+8abcd{\mathrm{sin} \alpha \ }{\mathrm{sin} \gamma \ }. \tag{3} \label{3} \end{equation} S druge strane, primijenimo li na oba trokuta poučak o kosinusu za $f$, dobijemo: $$f^2=a^2+d^2-2ad\ {\cos \alpha}=b^2+c^2-2bc\ {\cos \gamma},$$ odnosno: \begin{equation} a^2+d^2-b^2-c^2=2ad\ \cos \alpha -2bc\ \cos \gamma. \tag{4} \label{4} \end{equation}
Kvadriramo li \eqref{4} i zbrojimo li s \eqref{3}, dobit ćemo $$\begin{align}16P^2+\left(a^2+d^2-b^2-c^2\right)^2&=4a^2d^2{\sin}^2 \alpha +4b^2c^2{\sin}^2 \gamma \\&\qquad +\ 8abcd \sin \alpha \sin \gamma +4a^2d^2{\cos}^2 \alpha +4b^2c^2{\cos}^2 \gamma \\&\qquad\qquad -\ 8abcd\ \cos \alpha\ \cos \gamma, \end{align}$$
odnosno:
$$\begin{align}
16P^2+{\left(a^2+d^2-b^2-c^2\right)}^2&=4a^2d^2 ({\sin}^2 \alpha +{\cos}^2 \alpha) +4b^2c^2 ({\sin}^2 \gamma+{\cos}^2 \gamma) – 8abcd\ \cos \left(\alpha +\gamma \right).\end{align}$$
Nadalje, $$\begin{align}
{16P}^2&= 4\left(a^2d^2+b^2c^2\right)-{\left(a^2+d^2 – b^2-c^2\right)}^2-8abcd\ \cos\left(\alpha +\gamma \right)\\
&=4{(ad+bc)}^2-{\left(a^2+d^2 – b^2-c^2\right)}^2-8abcd(1+\cos \left(\alpha +\gamma \right)).
\end{align}$$ Ali $\cos \left(\alpha +\gamma \right)={\cos}^2\dfrac{\alpha +\gamma }{2}-{\sin}^2 \dfrac{\alpha +\gamma }{2}=2{\cos}^2 \dfrac{\alpha +\gamma }{2}-1$, tj. $1+\cos \left(\alpha +\gamma \right)=2{\cos}^2 \dfrac{\alpha +\gamma }{2}$, pa zato imamo:
$$\begin{align}
{16P}^2&=\left[2\left(ad+bc\right)-\left(a^2+d^2 – b^2-c^2\right)\right]\cdot \left[2\left(ad+bc\right)+\left(a^2+d^2 – b^2-c^2\right)\right]-16abcd\ {\cos}^2\frac{\alpha +\gamma }{2}\\
&=\left[{(b+c)}^2-{(a-d)}^2\right]\cdot \left[{(a+d)}^2-{(b-c)}^2\right]-16abcd\ {\cos}^2\frac{\alpha +\gamma }{2}\\
&=\left(-a+b+c+d\right)\left(a-b+c+d\right)\left(a+b-c+d\right)\left(a+b+c-d\right)-16abcd\ {\cos}^2\frac{\alpha +\gamma }{2}\\
&=\left(2s-2a\right)\left(2s-2b\right)\left(2s-2c\right)\left(2s-2d\right)-16abcd\ {\cos}^2\frac{\alpha +\gamma }{2}\\
&=16\left[\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)- abcd\ {\cos}^2\ \frac{\alpha +\gamma }{2}\right],
\end{align}$$ a nakon dijeljenja sa 16 dobijemo formulu \eqref{2} , čime smo dokazali njezinu valjanost.
S obzirom na to da je $\dfrac{\beta +\delta }{2}=180{}^\circ -\dfrac{\alpha +\gamma }{2}$, vrijedi ${\cos}^2 \dfrac{\alpha +\gamma }{2}={\cos}^2\dfrac{\beta +\delta }{2}$ , pa formulu \eqref{2} možemo zapisati i s pomoću kutova $\beta $ i $\delta $.
Kad smo Bretschneiderov poučak primijenili na tetivni četverokut, dobili smo Ptolomejev poučak. Što ćemo dobiti učinimo li isto s Bretschneiderovom formulom?
Kod tetivnih četverokuta je $\alpha +\gamma =180{}^\circ $, pa je $\cos{\dfrac{\alpha +\gamma }{2}}=0$. Površina je onda
$$P= \sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}.$$ Ova formula zove se Brahmaguptina formula i svojevrsna je generalizacija Heronove formule za površinu trokuta.
Literatura
- Petar Svirčević: Površina konveksnog i konkavnog četverokuta pomoću jedne formule, http://www.google.hr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=8&ved=2ahUKEwjjsrKKqMvhAhVL4KYKHVJXC5YQFjAHegQIAxAC&url=http%3A%2F%2Fwww.imvibl.org%2Fdmbl%2Fmeso%2Fmat_kol_22_1_2016%2Fmat_kol_22_1_2016_45_59.pdf&usg=AOvVaw2Tx8x5BEJ7xDnYlRu0H4PE
- https://en.wikipedia.org/wiki/Bretschneider%27s_formula
- Milan Krajnović: Kosinusni teorem za četverokut, Matematičko-fizički list br 1 (136), šk. god. 1983./1984., str. 37 i 38, Zagreb.