Prvi poznati iracionalni broj, $\sqrt{2}$, može se prikazati i aproksimirati na različite načine, a ovdje će biti opisana aproksimacija s pomoću posebnog slučaja Pitagorinih trojki brojeva.
Otkriće broja $\sqrt{2}$
Pitagorejsku školu osnovao je Pitagora u 6. stoljeću pr. Krista u Krotonu u Italiji. Njihovo se učenje temeljilo na prirodnim brojevima. Smatrali su da se sve veličine i njihovi odnosi mogu opisati prirodnim brojevima i njihovim omjerima, no upravo su oni otkrili postojanje nesumjerljivih dužina i to promatrajući omjer dijagonale i stranice kvadrata, pa se može reći da su oni otkrili $\sqrt{2}$ i dokazali njegovu iracionalnost. To je otkriće bilo prilično šokantno za njih i odlučili su ga držati u strogoj tajnosti, a pitagorejca koji je odao tu tajnu bacili su s broda, pa se utopio. Barem tako kaže jedna od legendi.
Pitagora je dakako najpoznatiji po svome poučku, iako su još stari Egipćani 2000 godina prije Pitagore znali da je trokut sa stranicama 3, 4 i 5 pravokutan. Katete ovoga trokuta su susjedni prirodni brojevi. Postoji li još takvih primjera?
Pitagorine trojke $(x,x+1,z)$
U svojoj knjizi Elementarna teorija brojeva Waclav Sierpinski (poljski matematičar koji je rođen 14. ožujka 1882., na dan broja $\pi$, baš kao i Albert Einstein tri godine prije njega, a umro 1969. godine) pokazao je da ako su prirodni brojevi $x_{1}$ i $z_1$ rješenje jednadžbe \begin{equation} \label{1}
x^2+(x+1)^2=z^{2} \tag{1}
\end{equation}
onda i brojevi $$x_2=3x_1+2z_1+1$$ $$z_2=4x_1+3z_1+2$$ zadovoljavaju tu jednadžbu.
To nije teško provjeriti. Proučimo razliku $R$ izraza $x^2_2+(x_2+1)^2$ i $z_2^2$. Lako se dobije: $$\begin{align}
R&=x^2_2+(x_2+1)^2-z^2_2\\
&=(3x_1+2z_1+1)^2+(3x_1+2z_1+2)^2-(4x_1+3z_1+2)^2\\
&=2x_1^2+2x_1+1-z_1^2.\end{align}$$ Budući da brojevi $x_{1}$ i $z_1$ zadovoljavaju jednadžbu \eqref{1}, vrijedi ${x_1}^2+(x_1+1)^2={z_1}^{2}$, tj. $2x_1^2+2x_1+1=z_1^2$, odakle slijedi da je $R=0$, tj. brojevi $x_2$ i $z_2$ zadovoljavaju jednadžbu \eqref{1}.
Ovaj postupak generira beskonačno mnogo Pitagorinih trojki $(x,x+1,z)$ i Sierpinski je pokazao da je ovaj postupak jedini način dobivanja takvih trojki. U sljedećoj tablici navedeno ih je prvih šest. $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline
x & x+1 & z \\ \hline \hline
3 & 4 & 5 \\ \hline
20 & 21 & 29 \\ \hline
119 & 120 & 169 \\ \hline
696 & 697 & 985 \\ \hline
4059 & 4060 & 5741 \\ \hline
23\,660 & 23\,661 & 33461 \\ \hline
\end{array}$$
Aproksimacija broja $\sqrt{2}$
Gledamo li trokut sa stranicama $x$, $x+1$ i $z$, u svakom sljedećem koraku dobivamo trokut koji je sve bliži jednakokračnome pravokutnom trokutu, pa mu je duljina hipotenuze sve bliža duljini dijagonale kvadrata. To nam omogućava sve točnije aproksimacije broja $\sqrt{2}$ jer je omjer dijagonale i stranice kvadrata jednak upravo tom iracionalnom broju.
Uzmemo li treću trojku, aproksimacija je točna na samo jednu decimalu: $$\frac{169}{120}<\sqrt{2}<\frac{169}{119},$$ tj. $$1.4083<\sqrt{2}<1.4201,$$ dok je kod šeste postignuta točnost na tri decimale: $$\frac{33\,461}{23\,661}<\sqrt{2}<\frac{33\,461}{23\,660},$$ tj. $$1.41418 <\sqrt{2} <1.41424.$$
Postoje mnogobrojni načini kako se $\sqrt{2}$ može prikazati u obliku sume, produkta, verižnog razlomka, čak i s pomoću imaginarne jedinice. Evo nekih: $$\begin{align}\sqrt{2}&=\sum^{\infty }_{k=0}{\frac{(2k+1)!}{2^{3k+1}{(k!)}^2}}=\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{15}{64}+\dots \\
\sqrt{2}&=\prod^{\infty }_{k=0}{\frac{{(4k+2)}^2}{(4k+1)(4k+3)}}=\frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\cdot \frac{6\cdot 6}{5\cdot 7}\cdot \frac{10\cdot 10}{9\cdot 11}\dots \\
\sqrt{2}&=\prod^{\infty }_{k=0}{\left(1+\frac{1}{4k+1}\right)}\left(1-\frac{1}{4k+3}\right)=\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{7}\right)\dots\\
\sqrt{2}&=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\dots }}}\\
\sqrt{2}&=\frac{\sqrt{i}+i\sqrt{i}}{i}.\end{align}$$
Iako su zanimljivi, ovi prikazi nisu praktični za računanje. Primjerice, u prvom razvoju treba zbrojiti deset članova kako bi se dobile točne samo prve dvije decimale, a u drugom treba pomnožiti čak 21 faktor za istu točnost. S obzirom na činjenicu da su se kalkulatori pojavili tek nedavno, tijekom povijesti su se razvile mnogobrojne aproksimacije razlomcima. Stari Babilonci su ga prikazivali u obliku $$1+\frac{24}{60}+\frac{51}{{60}^2}+\frac{10}{{60}^3}=\frac{305\,470}{216\,000}=1.41421296\dots $$ Iz drevnih indijskih zapisa saznajemo da je njihova aproksimacija bila $$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{3\cdot 4\cdot 34}=\frac{577}{408}=1.41421568\dots $$ Diofantskim aproksimacijama dobivaju se razlomci $\dfrac{99}{70}$, $\dfrac{140}{99}$, $\dfrac{239}{169}\dots $ Zbog relativno malog nazivnika kao aproksimacija se često primjenjivao baš $\dfrac{99}{70}= 1.414285714\dots$ Ovdje su točne prve četiri decimale, kao i kod aproksimacije sedmom Pitagorinom trojkom oblika $(x,\ x+1,\ z).$ Uvjerite se sami!
Literatura
- W. Sierpinski, Elementary theory of numbers, North Holland, Amsterdam, 1988.
- M. Stojaković, Krupna sitnica, Matematika br.2, god.VI (str.61-62), Beograd, 1977.
- https://matematika.fandom.com/bs/wiki/Kvadratni_korijen_iz_2