Krivulja Marije Agnesi

1. Uvod

2. Maria Gaëtana Agnesi

3. Konstrukcija krivulje Marije Agnesi i izvod njezinih jednadžbi

1. Ako je ${a>0}$, onda funkcija $f$ raste na ${\left\langle -\infty, 0\right\rangle}$ i pada na ${\left\langle 0, +\infty\right\rangle}$, stoga funkcija $f$ ima maksimim u ${x=0}$. Drugim riječima, tjeme ${(0,2a)}$ je ujedno i maksimum krivulje Marije Agnesi.
   Funkcija $f$ je konkavna na intervalu ${\left\langle -\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}, \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\right\rangle}$ i konveksna na ${\left\langle -\infty, -\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\right\rangle \cup \left\langle \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}, +\infty\right\rangle}$.
2. Ako je ${a<0}$, onda funkcija $f$ pada na ${\left\langle -\infty, 0\right\rangle}$ i raste na ${\left\langle 0, +\infty\right\rangle}$, stoga je tjeme ${(0,-2|a|)}$ ujedno i minimum krivulje Marije Agnesi. Funkcija $f$ je konveksna na intervalu ${\left\langle -\dfrac{2|a|\sqrt{3}}{3}, \dfrac{2|a|\sqrt{3}}{3}\right\rangle}$ i konkavna na ${\left\langle -\infty, -\dfrac{2|a|\sqrt{3}}{3}\right\rangle \cup \left\langle \dfrac{2|a|\sqrt{3}}{3}, +\infty\right\rangle}$.
   

3.1. Konstrukcija krivulje Marije Agnesi

1. Ako je ${A(x_1,y_1)\ne O(0,0)}$ proizvoljna točka na kružnici $k$ različita od točke $M(0,2a)$, onda je svaka sekanta kroz ishodište i točku $A$ određena jednadžbom \eqref{sek}, stoga rješavanjem sustava jednadžbi ${y=\dfrac{y_1}{x_1}x}$ i ${y=2a}$ dobivamo da su ${x=\dfrac{2ax_1}{y_1}}$ i ${y=2a}$ njegova rješenja, gdje je ${y_1>0}$.
   Time je bilo koja varijabilana točka ${N\left(\dfrac{2ax_1}{y_1}, 2a\right)}$ osim točke $(0,2a)$ na tangenti $t$ traženi presjek tangente ${t\, \dots\, y=2a}$ i odgovarajuće sekante određene jednadžbom \eqref{sek}.
2. Ako je točka $A{(x_1,y_1)}$ na kružnici $k$ jednaka točki $M(0,2a)$, onda je ${x_1=0}$ i ${y_1=2a}$. U ovom slučaju je točka $N_1(0,2a)$ presjek sekante ${s\, \dots\, x=0}$ kroz ishodište i točku $A(0,2a)$ sa zadanom tangentom ${t\, \dots\, y=2a}$, čime je ${N_1(0,2a)=A(0,2a)=M(0,2a)}$.

• krivulju Marije Agnesi čini skup svih točaka ravnine za koje vrijedi da im je apscisa jednaka apscisi točke ${N\left(\dfrac{2ax_1}{y_1},2a\right)}$ i da im je ordinata jednaka ordinati točke $A(x_1,y_1)$, gdje je $A$ bilo koja točka kružnice $k$ sa središtem u točki $S(0,a)$ polumjera ${r=a}$ (${a>0}$) koja je različita od ishodišta pravokutnog Kartezijeva koordinatnog sustava ravnine.

3.2. Izvod jednadžbi krivulje Marije Agnesi

4. Dodatni izračuni

Literatura

1. S. Kurepa (1997.): Matematička analiza I, Tehnička knjiga, Zagreb.
2. S. Kurepa (1997.): Matematička analiza II, Tehnička knjiga, Zagreb.
3. E. Mikulić (2022.): Krivulja Marije Agnesi, završni rad na preddiplomskom studiju matematike, Fakultet za matematiku, Sveučilište u Rijeci.
4. A. A. Savelov (1979.): Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb.
5. Hrvatska enciklopedija,
   https://enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=21410
6. MacTutor Biographies: Maria Gaëtana Agnesi,
   https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Agnesi/
7. Programski paket GeoGebra, https://geogebra.org

---