U ovom malom prilogu vidjet ćemo kolika je vjerojatnost da “proizvoljno izabrani razlomak” bude neskrativ. Promatrat ćemo samo prave razlomke. (Zašto je to dovoljno?)
Stavimo da je
- $A(n)$ — broj pravih razlomaka skrativih i neskrativih čiji nazivnik ne premašuje $n$.
- $B(n)$ — broj neskrativih razlomaka s nazivnikom najviše $n$.
- $C(n)$ — $\ 1-\dfrac{B(n)}{A(n)}$.
Ovdje je s $C(n)$ označen dio skrativih razlomaka u postotcima. Primjerice, za $n=100$
$$
A(100)=5050,\ \ \ \
B(100)=3044,\ \ \ \
C(100)=1-\dfrac{3044}{5050}=39.7\%
$$Izračunajmo broj $A(n)$.
Za $n=1$ to je jedan razlomak: $\dfrac11$.
Za $n=2$ to je $1+2=3$ razlomaka: $\dfrac11$, $\dfrac12$ i $\dfrac22$.
Za $n=3$ to je $1+2+3=6$ razlomaka: $\dfrac11$, $\dfrac12$, $\dfrac22$, $\dfrac13$, $\dfrac23$ i $\dfrac33$.
Zato je $A(n)=1+2+3+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.
Dalje je vjerojatnost da je cijeli broj djeljiv s $2$ jednaka $\dfrac12$. Razlomak koji možemo skratiti s $2$ je takav da su i brojnik i nazivnik djeljivi s $2$, pa je u tom slučaju vjerojatnost jednaka
$$
\frac12\cdot \frac12=\frac14.
$$
Na isti način, vjerojatnost da razlomak možemo skratiti s $3$ jednaka je $\dfrac13\cdot \dfrac13=\dfrac19$.
Vjerojatnost da jedan razlomak možemo skratiti s $3$, ali ne s $2$ jednaka je
$$
\dfrac19\left(1-\dfrac14\right).
$$
Dakle, razlomak možemo skratiti s $2$ ili $3$ s vjerojatnošću
$$
\dfrac14+\dfrac19\left(1-\dfrac14\right)=\dfrac14+\dfrac1{12}.
$$
Na taj način možemo produžiti, pa vjerojatnost da jedan razlomak možemo skratiti s $2$, $3$ ili $5$ je
$$
P=\dfrac14+\dfrac19\left(1-\dfrac14\right) +\dfrac1{25}\left(1-\dfrac14\right)\left(1-\dfrac19\right) =\dfrac14+\dfrac1{12}+\dfrac2{75}.
$$
Ako $n$-ti prosti broj označimo s $p_n$, dobivamo:
$$
P=\frac{1}{p_1^2}+\frac{1}{p_2^2}\left(1-\frac{1}{p_1^2}\right) +\frac{1}{p_3^2}\left(1-\frac{1}{p_1^2}\right)\left(1-\frac{1}{p_2^2}\right)
+\frac{1}{p_4^2}\left(1-\frac{1}{p_1^2}\right)\left(1-\frac{1}{p_2^2}\right)\left(1-\frac{1}{p_3^2}\right) +\ldots
$$
Izračunamo li vjerojatnost suprotnog događaja, tj. $1-P$, nakon sređivanja dobivamo:
$$
1-P=\left(1-\frac{1}{p_1^2}\right)\left(1-\frac{1}{p_2^2}\right)\ldots =
\prod_{p_n\text{ su prosti}} \left(1-\frac{1}{p_n^2}\right).
$$
Ovo je umnnožak čija je vrijednost $\dfrac{6}{\pi^2}\approx 0.608$ [1].
Dakle vjerojatnost da je neki po volji izabrani razlomak neskrativ približno je jednaka $60.8\ \%$.
Literatura
- S. Abramovich, Y. Yu. Nikitin, On the probability of co-primality of two natural numbers chosen at random, arxiv: 1608.05435 v 2 [math.HO], 11 Apr 2017, url adresa: arxiv.org/pdf/1608.05435.pdf
- J. Carstensen, Ilvor mange broker er uforkorteliqe
- Wie viele Brüche lassen sich kürzen? In: Devendran, Th. (Hrsg.): Das Beste aus dem mathematischen Kabinett, Deutsche Verlagsanstalt 1990.
- https://en.wikipedia.org/wiki/Coprime_inteqers#Probabilites.