Istraživanja (PISA i TIMSS) pokazala su da učenike treba osposobiti kako da s razumijevanjem čitaju podatke koji su zadani na različite načine. Kako bi se poboljšalo cjelokupno obrazovanje, a samim time i rezultati u vanjskim testiranjima cjelovitom kurikularnom reformom, definirana je posebna domena (E) koja se bavi podatcima. U članku ćemo prikazati jednu od metoda učenja s podatcima koja ima za cilj potaknuti više kognitivne procese kod učenika.$^1$Rad je pod istim nazivom predstavljen u obliku predavanja na Stručnom kolokviju Udruge matematičara Osijek
Ključne riječi: podatci, kurikulum, prikaz podataka, analiza podataka, GeoGebra aplet
Podatci su najveće blago modernog doba u kojem živimo. Prisutni su svuda oko nas i učenike treba potaknuti i usmjeriti na pravilno čitanje podataka (bilo da su to rezultati istraživanja, financijski izvještaji ili čak informacije s društvenih mreža).
Sposobnost čitanja, prikazivanja i interpretacije podataka postala je ključna vještina koja nam pomaže razumjeti pojave i događaje oko nas. Podatke prikupljamo na samom početku istraživanja, razvrstavamo i analiziramo.
Cilj nastavnika je pronaći metode koje će kod učenika razviti kritičko razmišljanje. Treba dovesti učenike u poziciju da ih potaknemo na postavljanje pitanja poput: Što mi govore dani podatci? Čemu služe dani podatci? Kako mogu bolje razumjeti ove podatke? Kako mogu primijeniti (iskoristiti) podatke u svom osobnom ili profesionalnom životu? Prema važećem kurikulumu za nastavni predmet matematike za osnovne škole i gimnazije i srednje strukovne škole podatci se obrađuju u domeni (E) “Podatci, statistika i vjerojatnost” već od prvog razreda osnovne škole. Domena (E) Podatci, statistika i vjerojatnost bavi se prikupljanjem, razvrstavanjem, obradom, analizom i prikazivanjem podataka u odgovarajućemu obliku. Podatke dane grafičkim ili nekim drugim prikazom treba znati očitati te ih ispravno protumačiti i upotrijebiti. Sve se to postiže koristeći se jezikom statistike. Ona podrazumijeva uporabu matematičkoga aparata kojim se računaju mjere srednje vrijednosti, mjere raspršenja, mjere položaja i korelacije podataka.
Učenici se s podatcima susreću od prvog razreda osnovne škole i na kraju osnovnoškolskog obrazovanja se prema kurikulumu matematike za osnovne škole od učenika očekuje da usvoji sljedeće ishode:
- Prikuplja, razvrstava podatke i određuje frekvencije i relativne frekvencije razvrstanih podataka.
- Prikazuje podatke tablično, stupčastim dijagramom relativnih frekvencija.
- Analizira rezultate i raspravlja o njima.
- Donosi odluke na osnovi prikazanih i analiziranih podataka.
Kod učenika srednjoškolskog obrazovanja se prema kurikulumu očekuje da učenik usvoji sljedeće ishode:
- Prikazuje podatke tablično, stupčastim dijagramom, histogramom, dijagramom stablo–list, linijskim dijagramom itd.
- Određuje srednje vrijednosti (mod, medijan, donji i gornji kvartil) te standardnu devijaciju.
- Crta brkatu kutiju.
Od učenika se očekuje da prikuplja, organizira i prikazuje podatke grafički te iščitava podatke iz zadanoga grafičkog prikaza.
Iz kurikuluma srednje škole naglasak je u odgojno-obrazovnom ishodu – barata podatcima prikazanim na različite načine. U baratanju podatcima naglasak je na čitanju i razumijevanju podataka (na primjerima iz stvarnog života). Različite načine prikaza podataka treba učiniti jasnim i primjenjivim u različitim situacijama i zadatcima. Na kraju treba osposobiti učenike da odaberu i pronađu odgovarajući alat za prikaz podataka.
Nakon prikupljenih podataka i prikaza podataka na različite načine u odgovarajućim grafikonima učenika treba osposobiti za interpretaciju i analizu podataka. Krajnji cilj je da učenik razumije i primjenjuje podatke u primjeni na zadatke u stvarnom životu. Ovako osposobljen učenik povezuje matematičke podatke i statistiku.
Na početku uvođenja novih kurikuluma većina nastavnika je domenu Podatci implementirala u obradi ostalih domena. Mišljenja smo da se domena Podatci treba zasebno obraditi kao vrlo važan dio kurikuluma predmeta matematike. Na taj način učenik kvalitetnije promišlja i analizira podatke koje pronalazi oko sebe i primjenjuje u korelaciji s drugim nastavnim predmetima. Pravilnom uporabom podataka povezujemo matematiku s međupredmetnim temama.
U nastavku slijede primjeri s podatcima obrađeni s pomoću GeoGebre koji se mogu višestruko iskoristiti: za ulazne ili izlazne kartice, zadavanje domaće zadaće, obradu gradiva ili kao vježbu na nastavnom satu. Kod obrade podataka s učenicima treba voditi računa o prikazu podataka i na kraju analizi podataka.
Prikaz podataka
Različiti grafikoni, kao što su stupčasti, kružni, linijski, histogram i stablo-list, omogućavaju jasnu vizualizaciju podataka: stupčasti uspoređuju količine ili vrijednosti, kružni prikazuju udjele, linijski prate trendove kroz vrijeme, histogram prikazuje raspodjelu numeričkih podataka u različitim kategorijama, a stablo-list prikazuje hijerarhijsku strukturu. Kombinacija ovih grafikona olakšava analizu, identifikaciju uzoraka i donošenje pravilnih odluka. Stoga je važno naučiti upotrijebiti različite vrste grafikona za jasan prikaz podataka, razumijevanje podataka koji doprinose pravilnom donošenju odluka.
U nastavku su primjeri nekih od aktivnosti prikaza podataka s pomoću GeoGebre, a ostale aplete možete ovdje vidjeti. Aktivnosti su korisne za učenike jer im pružaju interaktivno iskustvo u rješavanju zadataka, što pridonosi produbljivanju koncepta razumijevanja prikaza podataka. Također, pružaju im mogućnost samostalnog istraživanja različitih vrsta grafikona. Ove aktivnosti omogućuju nastavnicima praćenje napretka učenika i lakše uočavanje područja u kojima učenici možda imaju poteškoća. Na taj način nastavnici mogu prilagoditi poučavanje individualnim potrebama svojih učenika. Osim toga, ove aktivnosti mogu uštedjeti vrijeme nastavnicima jer pružaju gotove zadatke i upute.
Primjer 1. Stupčasti grafikon
U prikazanoj tablici nalaze se podatci koje je potrebno sortirati od manjih prema većim vrijednostima. Primijenite stupčasti grafikon za vizualizaciju ovih podataka.
Pomičite plave točke lijevo ili desno kako biste promijenili broj podataka u svakom stupcu. Nakon što sortirate podatke, pritisnite gumb “Provjeri” kako biste dobili povratnu informaciju o točnosti vašeg rješenja. Ako želite novi zadatak, pritisnite gumb “Novi zadatak”.
Za svaki točno riješeni zadatak dobivate dva boda, dok za netočan gubite bod. Cilj je skupiti minimalno 10 bodova.
Primjer 2. Kružni grafikon
U tablici su navedeni podatci koji predstavljaju kupovinu voća za svaki dan u određenom razdoblju. Svaka vrsta voća ima svoj broj: jabuka je označena brojem jedan, šljiva brojem dva, kivi brojem tri, kruška brojem četiri, a banana brojem pet.
Vaš je zadatak vizualizirati ove podatke kružnim grafikonom. Premještajte crne točke duž kružnice sve dok frekvencije svake vrste voća ne budu proporcionalne površini pojedinog dijela kružnog grafikona. Rasporedite točke označene slovima A, B, C i D po abecednom redu i prikažete ih u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Nakon što završite, pritisnite gumb “Provjeri” kako biste dobili povratnu informaciju o točnosti vašeg rješenja. Ako želite novi zadatak, jednostavno pritisnite gumb “Novi zadatak”.
Za svaki točno riješen zadatak osvojit ćete dva boda, dok će vam za netočno rješenje biti oduzet bod. Vaš cilj je prikupiti najmanje 10 bodova.
Primjer 3. Dvostruki linijski grafikon
U tablici su prikazani podatci o broju posjetitelja na otocima u Hrvatskoj za dvije različite skupine izletnika od svibnja do rujna. Da biste vizualizirali ove podatke na jasan način, primijenite dvostruki linijski grafikon.
Premještajte plave i crvene točke prema gore ili dolje kako biste prikazali promjene u broju posjetitelja na otocima na način koji je lako razumljiv. Nakon što završite, pritisnite gumb “Provjeri” kako biste provjerili točnost vašeg rješenja. Ako želite novi zadatak, jednostavno kliknite na gumb “Novi zadatak”.
Za svaki točno riješeni zadatak osvojit ćete dva boda, dok će vam za netočno rješenje biti oduzet bod. Cilj je prikupiti najmanje 10 bodova.
Analiza podataka – zadatci istraživanja
U nastavku ćemo prikazati nekoliko primjera aktivnosti koje uključuju analizu podataka korištenjem GeoGebre, dok se ostali apleti mogu pronaći ovdje. Pomoću interaktivnih apleta u GeoGebri, učenici istražuju ključne statističke koncepte poput aritmetičke sredine, moda, medijana, kvartila, varijance i standardne devijacije. Radom na apletima učenicima se omogućuje da aktivno sudjeluju u procesu učenja putem vizualizacije i eksperimenata s podatcima. Zbog interaktivnosti učenici mogu mijenjati elemente i ukupan broj statističkog skupa te na taj način istraživati i donositi zaključke. Takav način rada omogućuje dublje razumijevanje gradiva. Nastavnik može pokrenuti online lekciju u GeoGebri putem jedinstvenog koda koji se automatski generira, omogućujući pristup učenicima. Učenici na satu rješavaju dane zadatke online, dok nastavnik u stvarnom vremenu prati njihov napredak i prilagođava svoj pristup nastavi prema njihovim potrebama. Korištenje apleta u GeoGebri čini nastavu matematike i usvajanje koncepta o podatcima dinamičnom i zanimljivom jer potiče aktivno učenje, postavljanje pitanja, sudjelovanje u diskusijama, rješavanje problema i veću znatiželju za učenjem. Razumijevanje i analiziranje podataka doprinosi stvaranju kvalitetnije veze sa statistikom. Da bi učenici mogli nastaviti istraživati u GeoGebri npr. za domaću zadaću, potrebno je imati otvoren vlastiti GeoGebra račun.
Primjer 4. Položajna vrijednost – medijan
Proučite aplet u kojem su prikazani podatci, aritmetička sredina i položajna vrijednost. Možete mijenjati broj podataka koristeći se gumbima koji omogućuju odabir između 2, 3, 4 ili 5 elemenata. Kada pritisnete gumb “Novi zadatak”, pojavit će se novi skup podataka.
Osim toga, obratite pažnju na položajnu vrijednost koja je označena plavom bojom. Razmislite o tome što ta vrijednost predstavlja u kontekstu skupa podataka.
Nakon što proučite aplet, molimo vas da odgovorite na pitanja koja se nalaze ispod njega.
Što možete zaključiti o aritmetičkoj sredini i istaknutoj položajnoj vrijednosti (medijan) ako su prikazana dva podatka?
Što predstavlja medijan ako je ukupan broj elemenata skupa neparan broj?
Što predstavlja medijan ako je ukupan broj elemenata skupa paran broj?
Primjer 5. Mod
Proučite interaktivni aplet u kojem su prikazani podatci i oznake jednog ili više modova označeni crvenom bojom. Vaš zadatak je pokušati otkriti što ti modovi predstavljaju ili što znače u kontekstu prikazanih podataka.
Kada proučite aplet i pokušate odrediti značenje modova, možete provjeriti svoje zaključke s dobivenim novim podatcima klikom na gumb “Novi zadatak”. Nakon toga odgovorite na pitanja koja se nalaze ispod apleta.
Ova interaktivnost omogućuje vam razvijanje vašeg razumijevanja podataka i interpretaciju modova u skupu podataka.
Proučite elemente statističkog skupa. Što možete zaključiti da predstavljaju modovi istaknuti crvenom bojom?
Je li mogući slučaj da mod ne postoji? Objasnite svoj odgovor.
Kada statistički skup ima više modova? Objasnite svoj odgovor.
Primjer 6. Donji i gornji kvartil
Proučite aplet u kojem su prikazani uređeni podatci. U tom apletu istaknuti su medijan, donji i gornji kvartil, pri čemu su kvartili označeni crvenom bojom. Možete mijenjati broj elemenata skupa podataka koristeći se gumbima koji omogućuju odabir između 6, 7, 8 ili 9 elemenata. Kada pritisnete gumb “Novi zadatak”, dobit ćete nove podatke.
Vaš je zadatak razmisliti o tome kako se određuju donji i gornji kvartil, što su mjere pozicije koje dijele uređeni skup podataka na četiri jednaka dijela.
Nakon što proučite aplet, odgovorite na pitanja koja se nalaze ispod apleta.
Kako donji kvartil dijeli uređeni niz podataka? Zapišite s pomoću postotka.
Kako gornji kvartil dijeli uređeni niz podataka? Zapišite s pomoću postotka.
Analiza podataka – zadatci za samovrednovanje
U GeoGebri su izrađeni interaktivni apleti za samovrednovanje koji obuhvaćaju aritmetičku sredinu, medijan, kvartil, brkatu kutiju, varijancu i standardnu devijaciju. Zadatci se generiraju slučajnim odabirom, pružajući svakom učeniku personalizirano iskustvo učenja. Rješavajući zadatke, učenik odmah dobije povratnu informaciju o uspješnosti rješavanja kao i uputu o mogućoj pogrešci u rješavanju. Nadalje, učenici imaju priliku samostalno procijeniti svoje razumijevanje rješavajući zadatke i primajući povratne informacije, što potiče refleksiju i samostalnost u učenju. Ova interaktivna metoda također pomaže u izgradnji samopouzdanja učenika i potiče ih da aktivno sudjeluju u vlastitom obrazovnom procesu.
Primjer 7. Brkata kutija
U apletu su prikazani uređeni podatci. Vaš zadatak je proučiti prikazane podatke i odrediti minimum, donji kvartil, medijan, gornji kvartil i maksimum. Da biste to učinili, postavite žute točke na odgovarajuće vrijednosti na brkatu kutiju kako bi se prikazao statistički skup podataka.
Nakon što postavite točke, pritisnite gumb “Provjeri” kako biste dobili povratnu informaciju o tome jeste li točno odredili sve podatke. Ako su svi podatci ispravno određeni, osvojit ćete 3 boda. U suprotnom će vam se oduzeti jedan bod.
Vaš cilj je skupiti minimalno 10 bodova.
Primjer 8. Varijanca i standardna devijacija
U apletu je prikazan statistički skup podataka, pri čemu je aritmetička sredina označena crvenom bojom. Vaš je zadatak odrediti varijancu i standardnu devijaciju u bilježnici te upisati rješenja u označena polja. Rješenja trebate zaokružiti na dva decimalna mjesta.
Nakon što upišete rješenja, pritisnite gumb “Provjeri” kako biste dobili povratnu informaciju o tome jeste li točno riješili zadatak. Ako su oba rješenja točna, osvojit ćete tri boda. U suprotnom će vam se oduzeti bod.
Vaš cilj je skupiti minimalno 10 bodova.
Zaključak
Domena Podatci, statistika i vjerojatnost poučava se u sklopu nastave matematike u osnovnoj i srednjoj školi. Čitanje, interpretacija i razumijevanje podataka nalaze se u gotovo svakom dijelu svakodnevnog života te je sve veća potreba za razumijevanjem i analiziranjem podataka. Nastavnici matematike poučavaju podatke prema važećem kurikulumu nastave matematike i susreću se s raznim izazovima, od premalo pažnje posvećene obradi podataka, do premalo primjenjivih zadataka s podatcima u svakodnevnom životu. Bitno je uključiti učenike u istraživanje i interpretaciju podataka prikazanih na različite načine, aktivirati ih raznim aktivnostima da shvate kako upotrijebiti i analizirati dobivene podatke. Jedan od alata koji učenicima olakšava razumijevanje, obradu i analizu podataka na stvarnim primjerima je s pomoću apleta izrađenih u GeoGebri. Primjeri izrađeni u GeoGebra apletima pomažu učeniku usvajanje i analiziranje podataka na višoj konceptualnoj razini.
LITERATURA
- C. Batanero, G. Burrill, C. Reading (2011): Teaching statistics in school mathematics – Challenges for teaching and teacher education, Springer.
- G. W. Cobb, D. S. Moore (2010.): Mathematics, statistics, and teaching, Mathematical association of America.
- https://pisa.ncvvo.hr/wp-content/uploads/2023/10/Konceptualni-okvir-matematicke-pismenosti_PISA-2022.pdf
- https://narodne-novine.nn.hr/clanci/sluzbeni/2019_01_7_146.html
- https://zir.nsk.hr/islandora/object/mathos:170/preview
- https://repozitorij.pmf.unizg.hr/islandora/object/pmf:10194/datastream/PDF/view