Ovo nismo očekivale, ovaj rezultat nas je iznenadio.
Uvedene su oznake $a$ i $b$ tako da je početni lik kvadrat sa stranicom duljine $a+b$. On je podijeljen na dva manja kvadrata i dva sukladna pravokutnika. Izjednačavanjem površina slijedi: $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$
Uvedene su oznake $a$ i $b$ tako da je početni lik kvadrat sa stranicom duljine $a$. On je podijeljen na dva manja kvadrata – jedan ima stranicu duljine $b$, a drugi stranicu duljine $a-b$, i na dva sukladna pravokutnika. Izjednačavanjem površina slijedi: $$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. $$
Slika 4.
listić 3 (Pitagorin poučak)
listić 3 (Pitagorin poučak)
Uvedene su standardne oznake za duljine kateta pravokutnog trokuta $a$ i $b$, te $c$ za duljinu hipotenuze. Prvo je uočeno da su zatamnjeni pravokutni trokuti sukladni, a to znači da su „bijele“ površine u oba kvadrata jednake, tj. vrijedi $$c^2=a^2+b^2.$$ Napomena: „bijeli“ lik u lijevom kvadratu sigurno je romb, a treba dokazati da je to i kvadrat (sa stranicom duljine $c$).
Nakon uvedenih oznaka $a$, $b$ i $c$ učenici su prikazali površinu oba kvadrata kao sumu površina njihovih dijelova. Izjednačavanjem površina lijevog i desnog kvadrata dobiva se Pitagorin poučak.
Slika 5.
listić 2 (kvadrat trinoma)
listić 2 (kvadrat trinoma)
U ovom primjeru vidimo povučene dijagonale i pokušaj uočavanja simetrija. Zatim su mjerene stranice i izračunate konkretne površine likova. Nakon toga su uvedene oznake $x$, $y$ i $z$ tako da je početni lik kvadrat sa stranicom $x+y+z$. On je podijeljen na tri manja kvadrata i šest pravokutnika. Izjednačavanjem površina slijedi: $$ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz.$$
Uvedene su oznake $a$, $b$ i $c$ tako da je početni lik kvadrat sa stranicom $a+b+c$. On je podijeljen na tri manja kvadrata i šest pravokutnika. Izjednačavanjem površina slijedi: $$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.$$
Slika 6.
listić 4 (kvadrat binoma)
listić 4 (razlika kvadrata)
Uvedene su oznake $c$ i $d$ tako da je lijevi lik kvadrat sa stranicom duljine $c+d$. Izjednačavanjem površina slijedi: $$(c+d)^2=c^2+2cd+d^2.$$
Lijevi kvadrat ima stranicu duljine $a$, a manji kvadrat unutar njega ima stranicu duljine $b$ . Promatraju se površine likova koje dobijemo kada maknemo manji kvadrat. Izjednačavanjem tih površina slijedi: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$
Slika 7.
Slika 8.
Razmišljanja i završne primjedbe
Renata Cvitan, prof., V. gimnazija, ZagrebMirela Kurnik, prof. izvrsna savjetnica, V. gimnazija, Zagreb
