Pretpostavljamo da je čitateljima poznato: $\def\deg{{^\circ}}$
- za točku $T$ kažemo da je Torricellijeva$^1$Evangelista Torricelli (1608. – 1647.), francuski matematičar ako se iz nje sve stranice trokuta $ABC$ vide pod jednakim kutom (jasno je da taj kut mora biti $120\deg$)
- konstrukcija Torricellijeve točke.
Definirajmo sada Fermatovu$^2$Pierre de Fermat (1601. – 1665.), francuski matematičar točku.
Definicija: Točka za koju je zbroj udaljenosti do vrhova trokuta $A$, $B$ i $C$ minimalan naziva se Fermatova točka trokuta $ABC$ (oznaka $F$).
Vrijedi sljedeći teorem:
Teorem 1. Torricellijeva i Fermatova točka se podudaraju.
Dokaz prepuštamo čitateljima.
U ovom članku želimo pokazati kako se duljine dužina $|FA|$, $|FB|$ i $|FC|$ mogu izraziti s pomoću stranica $a$, $b$ i $c$ danog trokuta ($F$ je Fermatova točka trokuta $ABC$).
Uvedimo oznake kao na slici 1. Dalje kosinusni poučak primijenjen na trokute $FBC$, $FAC$ i $FAB$ daje: \begin{align}a^2&=y^2+z^2-2yz\cos 120\deg =y ^2+z^2+yz\tag1\\ b^2&=z^2+x^2+zx\tag2\\ c^2&=x^2+y^2+xy.\tag3 \end{align} Površinu trokuta $ABC$ označimo s $T$, a površine trokuta $FBC$, $FAC$ i $FAB$ s $T_1$, $T_2$ i $T_3$. Tada vrijedi (vidi sliku 1) \begin{align}T=T_1+T_2+T_3&=\frac12(yz+xz+xy)\cdot\sin 120\deg\\ &= \frac{\sqrt{3}}{4}(yz+xz+xy).\tag{4}\end{align} S druge strane je \begin{equation}T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\quad\text{(Heronova formula)}\tag{5}\end{equation} pa iz (4) i (5) proizlazi \begin{equation} (yz+xz+xy)=\frac4{\sqrt3}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\frac4{\sqrt3}\cdot T=P.\tag{6}\end{equation} Dakle, (na osnovi (6)), $P$ je pozitivna konstanta određena s $a$, $b$ i $c$.
Nadalje, zbrajanjem jednakosti (1), (2) i (3) dobivamo: \begin{aligned}a^2+b^2+c^2 &= 2x^2+2y^2+2z^2+xy+yz+xz\\&=2(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz)-3(xy+yz+xz)\\&=2(x+y+z)^2-3P\end{aligned} $$\iff\quad x+y+z=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2+3P}{2}} .$$ Neka je $x+y+z=t$, tada je \begin{equation} t^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2+3P}{2}.\tag{7}\end{equation}
Sada nakon oduzimanja jednakosti (1)$-$(2) vrijedi \begin{aligned}a^2-b^2&=y^2+z^2+yz-z^2-x^2-zx\\&=y^2-x^2+yz-zx=(y-x)(y+x)+z(y-x)\\&=(y-x)(x+y+z)\end{aligned}\begin{equation} \iff y-x=\dfrac{a^2-b^2}{t}.\tag{8}\end{equation} Analogno tome, iz (1)$-$(2) slijedi $$z-y=\dfrac{b^2-c^2}{t},\tag{9}$$ te iz (3)$-$(1) $$x-z=\dfrac{c^2-a^2}{t}. \tag{10}$$
Dalje je $$ t+\frac{c^2-a^2}{t}-\frac{a^2-b^2}{t}=(x+y+z)+(x-z)+(y-x)=3x$$ \begin{equation} \overset{\text{(7)-(10)}}{\iff} 3x=\frac{t^2+c^2+b^2-2a^2}{t}.\tag{11}\end{equation} Uvrštavanjem (7) u (11) dobivamo $$3x=\frac{\dfrac{a^2+b^2+c^2+3P}{2}+c^2+b^2-2a^2}{t}=\frac{-3a^2+3b^2+3c^2+3P}{t}$$ $$\overset{\text{(8)-(10)}}{\iff} x=\frac{b^2+c^2-a^2+P}{2t}.\tag{12}$$
Slično tome, \begin{equation} y= \frac{a^2+c^2-b^2+P}{2t}\quad\text{i}\quad z=\frac{a^2+b^2-c^2+P}{2t}.\tag{13}\end{equation}
Kako su $P$ i $t$ izraženi stranicama trokuta $a$, $b$ i $c$, tako su (na osnovi (12) i (13)) i udaljenosti $x$, $y$ i $z$ izražene stranicama trokuta $ABC$.
Literatura
- N. Elezović: Fermat-Torricelli-Steinerova točka, Bilten seminara iz matematike za nastavnike mentore 16, (49. državni susret, Krk 2. – 5. svibnja 2007.)
- D. Palman: Trokut i kružnica, Element, 1994., Zagreb.
- http//en.wikipedia.org/wiki/Fermat point
- Fermat-Torricellijeva točka, Poučak 96, 2023.