Vektori su jedan od temeljnih pojmova u matematici, fizici i drugim STEM područjima. S pojmom vektora učenici se prvi puta susreću u osnovnoj školi. Razumijevanje pojma vektora često predstavlja izazov i za učenike, ali i za nastavnike. Nastavnik treba pronaći primjerene metode kako objasniti nešto što je istovremeno apstraktno, ali i prisutno svuda oko nas. U ovom članku preporučamo primjenu alata GeoGebre koji mijenja način podučavanja i razumijevanja vektora.
Ključne riječi: vektori, GeoGebra, kurikul, vizualizacija, primjena
Vektori u kurikulu i suvremenoj nastavi
Prema kurikulu matematike za osnovne škole učenik treba ostvariti odgojno-obrazovni ishod MAT OŠ C.7.2. Crta, zbraja i oduzima vektore [1]. Od učenika tog uzrasta očekuje se da crta i opisuje vektor, njegov smjer, orijentaciju i duljinu, opisuje odnose između dvaju ili više vektora matematičkim jezikom, prepoznaje i crta jednake i suprotne vektore, opisuje nul-vektor. Kao složeniji ishod očekuje se da učenik zbraja i oduzima vektore u ravnini.
U kurikulu matematike za srednje četverogodišnje škole i gimnazije vektori se obrađuju u trećem razredu. Navodi se ostvarivanje ishoda MAT SŠ C.3.6. i MAT SŠ D.3.1. Primjenjuje račun s vektorima[2]. Ishodi se nastavljaju na usvojene ishode iz osnovne škole gdje se u prvim fazama podučavanja trebaju razraditi aktivnosti u kojima učenik prepoznaje, opisuje i rabi elemente vektora. Ti ishodi nadograđuju se ishodima u kojima učenik računa s vektorima (zbraja, oduzima i množi skalarom) algebarski i grafički i prikazuje ih u ravnini i u koordinatnom sustavu. Nadalje, učenik treba moći odrediti duljinu vektora, računati skalarni umnožak vektora i primijeniti ga za uvjet okomitosti vektora te na kraju primijeniti svojstva vektora u problemskim zadatcima i rastavljati vektore koristeći se linearnom kombinacijom vektora (računski ili grafički).
Prema kurikulu u prvom razredu četverogodišnje strukovne škole za 105 sati i 140 sati godišnje kao izborni sadržaj se nudi ostvarivanje ishoda MAT SŠ C.1. MAT SŠ D.1. Računa s vektorima, a prošireni je sadržaj određivanje mjere kuta među vektorima.
Kako bi se ishodi o vektorima konceptualno usvojili, veliku ulogu ima nastavnik pronalazeći metode podučavanja i uvježbavanja. Krajnji je cilj dovesti učenike da uoče i primjenjuju stečena znanja o vektorima na zadatke iz drugih područja i u svakodnevnom životu.
[1] Odluka o donošenju kurikuluma za nastavni predmet Matematike za osnovne škole i gimnazije u Republici Hrvatskoj (7. razred OŠ)
[2] Odluka o donošenju kurikuluma za nastavni predmet Matematika za srednje strukovne škole na razini 4.2. u Republici Hrvatskoj (3. razred SŠ)
Prikaz vektora – od pojma do vizualizacije
Svakako je važno da su učenici (iz osnovne škole) usvojili pojam vektora, mogu grafički prikazati vektore, opisuju i algebarski zapisuju vektore, s razumijevanjem opisuju smjer, orijentaciju i duljinu vektora. Korisno je da pri uvođenju pojma vektora učenici crtaju vektore na papiru i pravilno ih označavaju. Tom aktivnosti učenik uči pravilno označavanje i osnovne elemente vektora. Pravila za zbrajanje vektora po pravilu trokuta i paralelograma učenik u početnoj fazi podučavanja treba crtanjem usvojiti i razlikovati pravila za zbrajanje vektora.
S pomoću apleta u GeoGebri možemo učeniku pomoći brže usvajanje pojma vektora i dovesti do vizualizacije koja mu olakšava opisivanje odnosa između dvaju ili više vektora matematičkim jezikom. Na taj način usvojeni ishodi ostaju u trajnijem pamćenju i učenika motiviraju da s lakoćom pristupa rješavanju problemskih zadataka s vektorima i primjenjuje ih i u drugim područjima. Kurikul za četverogodišnje srednje škole naglašava razvoj apstraktnog mišljenja, povezivanje teorije i prakse te korištenje tehnologije u nastavi[1].
[1] Linearna funkcija i vektori u eksperimentima – Priručnik za nastavnike
Primjena GeoGebre – interaktivni apleti
U nastavku su primjeri interaktivnih apleta u GeoGebri, a ostale aplete možete vidjeti ovdje.
1. primjer: Zbrajanje vektora
Odredite zbroj prikazanih vektora $\vec a$ i $\vec b$ te se za rezultantu koristite vektorom oznake $\vec R$. Za lakše zbrajanje možete se koristiti pomoćnim vektorom čiji smjer, duljinu i orijentaciju možete prilagoditi prema potrebi. Klikom na okvirić “Provjeri” dobit ćete povratnu informaciju o točnosti vaših rješenja. Ako kliknete na okvirić “Novi zadatak”, prijeći ćete na sljedeći zadatak.
Za svaki točno riješeni zadatak dobit ćete jedan bod, dok za netočan odgovor gubite bod. Pokušajte skupiti minimalno 10 bodova.
PRIKAZ APLETA https://www.geogebra.org/m/uqkqy5wtw
2. primjer: Linearna kombinacija
Prikažite vektor $\vec R$ kao linearnu kombinaciju vektora $\vec a$ i $\vec b$ koji su istaknuti u pravilnom šesterokutu. U prazna polja unesite odgovarajući realni broj kako bi vektor $\vec R$ bio usklađen s vektorom $\vec R$ prikazanim na slici.
Klikom na okvirić “Provjeri” dobit ćete povratnu informaciju o točnosti vaših rješenja. Ako kliknete na okvirić “Novi zadatak”, prijeći ćete na sljedeći zadatak.
Za svaki točno riješeni zadatak dobit ćete jedan bod, dok za netočan odgovor gubite bod. Pokušajte skupiti minimalno 10 bodova.
PRIKAZ APLETA https://www.geogebra.org/m/wqhnvvqr
3. primjer: Duljina vektora
Prikažite vektor $\overrightarrow{AB}$ u koordinatnom sustavu s pomoću pomoćnog vektora.
U prazna polja unesite odgovarajuće vrijednosti koeficijenata kako bi zapis točno prikazivao traženi vektor u koordinatnom sustavu.
Za duljinu vektora u polje za korijen upišite npr. sqrt(5) ili se koristite virtualnom tipkovnicom.
Za sve točno riješeno dobijete dva boda, a za netočno se oduzima bod.
Pokušajte skupiti minimalno 10 bodova.
PRIKAZ APLETA https://www.geogebra.org/m/ntdgux2a
Aktivnosti za učenike – primjeri dobre prakse
Na kraju treba pružiti odgovor na vječno pitanje učenika: “Što će to nama?” Osmislite primjere zadataka koji će povezati stečena znanja o vektorima u primjeni na struku i svakodnevni život. U nastavku dajemo primjere primjene vektora na fiziku i geografiju te primjenu u svakodnevnom životu koje smo dale našim učenicima. Učenicima se ovakvi primjeri mogu dati kao istraživanje, rad u paru ili u grupi. Naprednijim učenicima može se ponuditi izrada apleta u GeoGebri.
- Vektori u fizici (samostalni rad)
Primjer: Otac vuče saonice na Promenadi uz rijeku Dravu pod kutom od 30° prema tlu silom od 300 N, a na njima se nalazi dijete. Masa saonica s djetetom je 20 kg. Faktor trenja iznosi 0.06. Koliko je energije otac potrošio nakon 30 metara?
- Vektori u geografiji (rad u grupi)
Primjer: Planiranje turističkog obilaska grada Osijek
U grad dolaze turisti i vi kao njihovi turistički vodiči trebate osmisliti što ćete im pokazati. Želite izračunati udaljenosti do predviđenih lokacija koje biste im pokazali koristeći se duljinom vektora.
Pronađite kartu grada Osijeka te ju smjestite u koordinatni sustav. Označite koordinate 5 turističkih lokacija koje ćete ponuditi turistima u Osijeku. Neka polazna točka kretanja bude iz hotela Osijek (točka A). Svaki član grupe neka odabere jednu od pet ponuđenih lokacija te izračuna udaljenost pojedine lokacije od početne točke A (od hotela Osijek) prema odabranoj lokaciji.
Neka svaka jedinica na karti odgovara 100 metara u stvarnosti.
- Vektori u svakodnevnom životu (rad u paru)
Primjer: Prelazak rijeke čamcem
Ribič pokušava čamcem prijeći rijeku Dravu kod Osijeka gdje je njezina širina 240 m. Čamac je brzine 2 km/h u odnosu na vodu, a rijeka Drava teče brzinom 4.14 km/h. Pod kojim kutom ribič treba usmjeriti čamac da bi prešao na suprotnu obalu točno nasuprot polazne točke? Kolika je brzina čamca u odnosu na obalu?
Zaključak
Korištenje digitalnih alata poput GeoGebre olakšava učenicima razumijevanje apstraktnih pojmova poput vektora. Interaktivni apleti omogućuju vizualizaciju, istraživanje i otkrivanje pojma i svojstava vektora, što vodi do dubljeg razumijevanja i bolje motivacije. S pomoću apleta izrađenih u GeoGebri apstraktni pojmovi vektora pretvaraju se u dinamične i vizualne objekte koji olakšavaju učenje i nastavu čine dinamičnom. Nastavnicima pruža priliku za inovativan i suvremen pristup podučavanju.
Nastavnici se potiču na integraciju ovakvih pristupa u svoju nastavu te dijeljenje iskustva s kolegama.
Literatura
- Ž. Bošnjak, B. Čulina i G. Paić (2018.): Matematički izazovi 8: udžbenik iz matematike za osmi razred, drugo polugodište, Zagreb, Alfa
- S. Varošanec (2020.): Matematika 3, udžbenik i zbirka zadataka za 3. razred gimnazije i strukovnih škola, 2. dio, Zagreb, Element
- A. Pletikosić, I. Matić, Lj. Jukić Matić, M. Zelčić, M. Njerš, R. Gortan, T. Srnec, Ž. Dijanić (2020.): Matematika 3, udžbenik i zbirka zadataka za 3. razred gimnazije i strukovnih škola, 2. dio, Zagreb, Školska knjiga
- Kurikulumi nastavnih predmeta Matematika za osnovne škole i gimnazije i matematika za srednje strukovne škole na razini 4.2.
- Linearna funkcija i vektori u eksperimentima – Priručnik za nastavnike
- N. Tvrdy (2012.): Vektori u nastavi, diplomski rad https://www.mathos.unios.hr/~mdjumic/uploads/diplomski/TVR01.pdf