Većina se matematičara tijekom svog obrazovanja susrela s anegdotom o hotelu s beskonačno mnogo popunjenih soba u kojega treba smjestiti još jednog gosta ili čak beskonačno mnogo novih gostiju. Ove se godine navršava 100 godina od trenutka kada se ta anegdota, poznata i pod nazivom Hilbertov paradoks, pojavila.
Prisjetimo se kako glasi problem.
Negdje u svemiru nalazi se hotel s beskonačno mnogo soba numeriranih brojevima $1, 2, 3…$ U hotel dolazi novi gost. Može li ga upravitelj hotela smjestiti u neku od soba ako su u tom trenutku sve sobe hotela popunjene? Novopridošli gost ne želi dijeliti sobu s nekim drugim gostom. Ako upravitelj uspije smjestiti jednog gosta, može li smjestiti još nekoliko? Ili čak beskonačno mnogo novih gostiju? A situacija može postati i gora. Zamislimo da je u svemiru ne samo jedan nego beskonačno mnogo hotela s beskonačno mnogo soba i u jednom trenutku svi se hoteli osim jednoga zatvaraju. Goste iz svih tih hotela treba smjestiti u onaj jedan jedini koji je ostao otvoren.
Ovu priču o hotelu s beskonačno mnogo soba prezentirao je David Hilbert, poznati njemački matematičar, na predavanju koje je održao u siječnju 1925. godine na sveučilištu u Göttingenu gdje je tada radio kao profesor matematike. Hilbert (1862. Königsberg – 1943. Göttingen) smatra se jednim od najutjecajnijih matematičara svog vremena. Ostavio je u nasljeđe mnoge rezultate iz funkcionalne analize, matematičke fizike, osnova matematike i drugih dijelova matematike. Široj je matematičkoj javnosti možda najpoznatiji po takozvanim Hilbertovim problemima, tj. po popisu od 23 matematička problema koja je formulirao i objavljivao od 1900. do 1902. godine, a njihovo je rješavanje bitno utjecalo na razvoj matematike tijekom 20. stoljeća ([3]).
Hilbert je bio gorljiv zagovornik Cantorove teorije skupova te ju je u mnogim prilikama popularizirao, pa tako i na tom seminaru. Anegdota o hotelu Hilbertu je bila uvod u razmatranje odnosa, sličnosti i razlika između konačnih i beskonačnih skupova. Danas se ovi i slični problemi nazivaju Hilbertovim paradoksima, a usko su vezani za poimanje prebrojive beskonačnosti, jednakobrojnosti (ekvipotentnosti) skupova i aritmetike s prebrojivom beskonačnosti. Ovu je problematiku proučavao već Georg Cantor (1845. Petrograd – 1918. Halle), no paradoksi nose naziv po Hilbertu koji je zdušno radio na tome da se Cantorova teorija skupova prihvati.
Prezentirajmo odgovore na pitanja koja su postavljena na početku članka. Ako je u već popunjeni hotel došao jedan novi gost, tada se svaki gost iz $n$-te sobe treba premjestiti u $(n + 1)$-vu sobu, $(n\in \mathbb{N})$. Na taj način soba broj $1$ ostala je prazna i u nju se smjesti novi gost.
Ako je došao konačan broj novih gostiju, primjerice njih $k$, tada se svaki gost iz sobe $n$ premješta u sobu $n + k$ i na taj način sobe s brojevima $1, 2, …, k$ ostaju prazne te se u njih smjesti novih $k$ gostiju.
Ovaj način razmišljanja nije od koristi ako dođe beskonačno mnogo gostiju. Tada primjenjujemo drugi trik: gosta koji se nalazi u sobi $n$ treba premjestiti u sobu s brojem $2n$. Na taj način popunjene su sve sobe čiji su redni brojevi parni, a novopridošle goste treba smjestiti u sobe s neparnim brojevima.
Konačno, opišimo rješenje najkompliciranije situacije kad u hotel treba smjestiti sve goste iz beskonačno mnogo hotela s beskonačno mnogo gostiju. Prvo svakom gostu pridružimo uređeni par $(m, n)$, gdje je $m$ broj hotela iz kojeg dolazi, a $n$ je broj sobe koju je imao u tom hotelu. Pritom je jedini otvoreni hotel numeriran s $m = 1$. Skicirajmo shemu koja je nastala ovakvom numeracijom (zapravo se tu radi o matrici s beskonačnim brojem stupaca i redaka):
$$\begin{align} &(1,1)\hskip5mm(1,2)\hskip5mm(1,3)\hskip5mm(1,4)\hskip5mm\ldots\\ &(2,1)\hskip5mm(2,2)\hskip5mm(2,3)\hskip5mm(2,4)\hskip5mm\ldots\\ &(3,1)\hskip5mm(3,2)\hskip5mm(3,3)\hskip5mm(3,4)\hskip5mm\ldots\\ &(4,1)\hskip5mm(4,2)\hskip5mm(4,3)\hskip5mm(4,4)\hskip5mm\ldots\\&\hskip5mm\vdots\hskip18mm\vdots\hskip16mm\vdots\hskip16mm\vdots\end{align}$$
Sad se gosti smjeste “prateći rubove kvadrata”. Gost $(1, 1)$ ide u sobu 1. Gosti iz soba $(1, 2)$, $(2, 2)$, i $(2, 1)$ (ovo je desni i donji rub kvadrata $2\times2$ u shemi) se smjeste u sobe 2, 3 i 4. Gosti iz soba $(1, 3)$, $(2, 3)$, $(3, 3)$, $(3, 2)$ i $(3, 1)$ (ovo je desni i donji rub kvadrata $3\times3$ u shemi) se smjeste u sobe 5, 6, 7, 8 i 9. I postupak se nastavlja dalje. Na taj će način svi gosti biti smješteni u sobe jednog hotela. I ne samo da će svi biti smješteni, nego u hotelu neće preostati niti jedna prazna soba.
$$
\begin{array}{cccccccc}
(1,1) && (1,2)&& (1,3) && (1,4)& \ldots \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow & \\
(2,1) &\leftarrow & (2,2)& &(2,3) && (2,4)& \ldots \\
&&& & \downarrow && \downarrow & \\
(3,1) &\leftarrow & (3,2)&\leftarrow& (3,3) && (3,4)& \ldots \\
& &&& & & \downarrow & \\
(4,1) &\leftarrow& (4,2) &\leftarrow& (4,3) &\leftarrow& (4,4)& \ldots \\
\vdots& & \vdots && \vdots && \vdots &
\end{array} .
$$
Rasprave o popunjavanju ovog hotela zainteresirani čitatelj može naći u knjizi [2], a kao popularnoznanstveni tekst o jednakobrojnosti skupova predlažem drugo poglavlje knjige [1]. U literaturi se za hotel s beskonačno mnogo soba upotrebljavaju razni nazivi kao što su: Hilbertov hotel, Grand hotel, Hotel “Infinity” te ovi nazivi mogu poslužiti kao ključne riječi pri pretraživanju interneta.
Napomena. S pojmom jednakobrojnosti skupova i jednostavnim primjerima susreću se već učenici četvrtog razreda gimnazije u kojoj se nastava matematike održava 5 ili više sati tjedno. Kasnije na studiju Matematike, to je dio Elementarne matematike, jednog od početnih kolegija na studiju, dok se dublja razmatranja ove teorije provode u okviru kolegija Teorija skupova.
Literatura
- B. Dakić (1995.): Matematički panoptikum, Školska knjiga, Zagreb
- N. J. Vilenkin (1975.): Priče o skupovima, Školska knjiga, Zagreb
- wikipedija: Hilbert’s problems – Wikipedia
- wikipedija: Hilbert’s paradox of the Grand Hotel – Wikipedia