Znamo li precizno, kratko i jasno obrazložiti neku svoju tvrdnju ili način zaključivanja? Imamo li uopće potrebu za tom vještinom? I kako tu vještinu možemo razvijati?
To su pitanja koja su se pojavila dok smo razmišljali što je našim učenicima izazovno (da ne kažemo teško) na satima matematike.
Uočili smo kako oni prilično nespretno objašnjavaju postupke kojima su riješili neki zadatak. Smatraju da je dovoljno reći „Pa to je očito“ ili „Vidi se.“
Stoga smo za temu istraživanja našeg timskog rada odabrali argumentaciju, tj. želimo s učenicima raditi na razvijanju sposobnosti jasnog, sustavnog i preciznog izražavanja o njihovom načinu razmišljanja i zaključivanja.
Planiranje
Vodeći se čestim učeničkim odgovorom „Pa to je očito!“, odlučili smo naše učenike suočiti sa zadatkom u kojem trebaju jednostavan geometrijski crtež povezati s nekom matematičkom formulom. Formule – koje se nalaze u pozadini zadanih crteža, učenicima su dobro poznate. Zato se ovako koncipiran sat može shvatiti kao svojevrsno ponavljanje gradiva.
U prvom dijelu sata, kad se učenici susreću s nečim (na prvi pogled) novim, fokus je na istraživanju, povezivanju gradiva i međusobnoj komunikaciji unutar grupe.
U drugom dijelu sata radi se prezentacija rezultata, pa naglasak je na argumentiranom objašnjavanju rješenja. Smatrat ćemo da je sat uspio ako komunikacija između učenika bude kvalitetna i konstruktivna i ako prilikom prezentacije učenici uspiju razredu obrazložiti svoje rješenje i put kojim su došli do njega.
Za izvedbu sata planirano je 60 minuta (ako je potrebno, može i 90 minuta).
Pripremljeni su materijali (pet radnih listića – četiri za rad na satu i jedan za domaću zadaću). Radni listići nalaze se na sl.1 i sl.3.
| listić 1 | listić 2 |
 |  |
| listić 3 | listić 4 |
 |  |
Razred je podijeljen u osam grupa po tri ili četiri učenika. Svaka grupa dobiva jedan od četiri listića na A4 formatu papira (dvije grupe rade na istom zadatku).
Učenici dobivaju zajedničku uputu: „Zadatak svake grupe je prepoznavanje matematičke priče dobivenog crteža, tj. treba povezati dobiveni crtež s nekom matematičkom činjenicom.“
Učenici samostalno istražuju (20 – 25 minuta). Nastavnik u ovoj fazi obilazi razred i promatra razvoj situacije. Neki će učenici odmah prepoznati formulu koja je u pozadini njihovog crteža, a drugi bi mogli mjerenjem tražiti matematičku vezu. Ako predugo ostanu na razini konkretnih brojeva, nastavnik nakon petnaestak minuta pita učenike do kojeg su zaključka došli koristeći se izmjerenim podatcima. Zatim im predlaže da pokušaju na slici promijeniti podatke i vidjeti vrijedi li i tada taj isti zaključak. Mogu li svoje zaključivanje generalizirati – možda koristeći se općenitim oznakama umjesto konkretnim podatcima?
Učenici dobivaju uputu da se pripreme za prezentaciju svojih zaključaka, a nastavnik za to vrijeme priprema ploču za prezentaciju. Magnetima pričvrsti radne listiće na ploču i odredi svakoj grupi dovoljno mjesta za obrazloženje rješenja njihovog zadatka.
Nakon desetak minuta ispred ploče dolaze predstavnici grupa koje su imale isti zadatak i na predviđeno mjesto na ploči zapisuju svoja rješenja. Pri tome komentiraju i objašnjavaju kako su dolazili do svojih zaključaka i ako je potrebno, odgovaraju na pitanja ostalih učenika iz razreda koji ih pažljivo slušaju. Ako ima nekoliko različitih načina rješavanja zadatka (od različitih grupa), pokazuju se svi načini. Ako je objašnjenje neke grupe nejasno ili nepotpuno, nastavnik pitanjima pomaže predstavniku grupe da što jasnije prikaže njihov zajednički rad. Može se dogoditi da neka grupa ne uspije doći ni do kakvog zaključka. Tada predstavnik grupe kaže s kojim su se poteškoćama susreli prilikom istraživanja.
Na kraju prezentacije na ploči se mogu vidjeti svi učenički rezultati.
U završnici sata, zadnjih pet minuta planirano je za zapisivanje povratnih informacija. Smatramo da je to jako korisno jer učenici odmah imaju priliku osvijestiti svoj doživljaj sata i napisati svoje komentare i razmišljanja o ovakvom tipu nastave.
Tada dobivaju i zadaću, novi zadatak na listiću 5 (sl. 3), čije rješenje svaka grupa treba predati na idućem satu.
| listić 5 |
 |
Materijale za rad na satu možete preuzeti ovdje.
Provedba timskog rada
Učenici su, nakon što su dobili radne listiće, počeli istraživati koja bi se matematička činjenica mogla skrivati u zadanom crtežu. Zadatku su pristupali na različite načine. U početku su samo gledali sliku, okretali je u razne položaje, a zatim su počeli uočavati neke dužine istih duljina, označavali su ih istim oznakama i postupno došli do površina pravokutnika. U drugim grupama učenici su uočavali razne simetrije, nadopunjavali su crteže dijagonalama – promatrali i diskutirali mogu li nešto iz toga zaključiti. A neke su grupe počele općenitim zapisom za duljine dužina (npr. $a$, $b$, $c$) i zatim tražile zakonitosti koje ih povezuju. Sve su grupe su živahno raspravljale. Što bi to moglo biti? Što je tu skriveno? Kako je netko unutar grupe nešto uočio, tako je u to uvjeravao sve ostale članove grupe. Moglo se čuti: „Ma vidi, ova površina jednaka je ovoj tu, pa kad ih zbrojimo, dobit ćemo …“, ili: „ To bi mogao biti Pitagorin poučak jer imamo pravokutan trokut, trebamo označiti katete i hipotenuzu i zatim zapisati…“.
Nastavnik je obilazio sve učenike, slušao je njihovu raspravu, postavio poneko pitanje i gledao kako zapisuju rješenja. Prema očekivanjima, neke su grupe počele mjeriti veličine na ponuđenim slikama, pa je nastavnik postupio prema planu, tj. nakon petnaestak minuta dao uputu tim grupama da mjerenje i računanje s konkretnim brojevima pokušaju generalizirati. Rasprava se nastavila. Od početnog „nesnalaženja“ došlo se do uvođenja oznaka $a$, $b$ i $c$ za duljine dužina i do prepoznavanja poznatih izraza.
Tada su učenici dobili uputu da predstavnik grupe pripremi prezentaciju njihovog rješenja ili njihovog rada. Prije učeničkih prezentacija nastavnik je pripremio ploču. Podijelio je ploču na četiri područja i time omogućio dovoljno prostora svakoj grupi za obrazloženje rješenja njihovog zadatka.
Za vrijeme prezentacije učenici su pokušali svoja rješenja sustavno objasniti i zapisati na ploči (pri tome su nas svojom preciznošću komunikacije ugodno iznenadili učenici jednog prvog razreda). Svi su pažljivo slušali i postavljali pitanja ako nešto nisu razumjeli. Ako grupa nije pronašla rješenje, njezin je predstavnik prezentirao proces zaključivanja i opisao poteškoće s kojima su se pri tome susreli.
Nastavnik je bio moderator procesa – postavljao je pitanja kada je bilo potrebno i time pomogao učenicima da argumentacija rješenja bude jasna, precizna i korektno zapisana.
U kojim smo god razredima održali ovakav sat, grupe koje su imale radne listiće 1 i 3 uspješno su (već za 20 minuta) riješile svoj zadatak.
| listić 1 (kvadrat binoma zbroja) | listić 1 (kvadrat binoma razlike) |
 |
 |
| ploča nakon prezentacije rješenja | Ovo nismo očekivale, ovaj rezultat nas je iznenadio. |
| Uvedene su oznake $a$ i $b$ tako da je početni lik kvadrat sa stranicom duljine $a+b$. On je podijeljen na dva manja kvadrata i dva sukladna pravokutnika. Izjednačavanjem površina slijedi: $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$ | Uvedene su oznake $a$ i $b$ tako da je početni lik kvadrat sa stranicom duljine $a$. On je podijeljen na dva manja kvadrata – jedan ima stranicu duljine $b$, a drugi stranicu duljine $a-b$, i na dva sukladna pravokutnika. Izjednačavanjem površina slijedi: $$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. $$ |
| listić 3 (Pitagorin poučak) | listić 3 (Pitagorin poučak) |
 |  |
| Uvedene su standardne oznake za duljine kateta pravokutnog trokuta $a$ i $b$, te $c$ za duljinu hipotenuze. Prvo je uočeno da su zatamnjeni pravokutni trokuti sukladni, a to znači da su „bijele“ površine u oba kvadrata jednake, tj. vrijedi $$c^2=a^2+b^2.$$ Napomena: „bijeli“ lik u lijevom kvadratu sigurno je romb, a treba dokazati da je to i kvadrat (sa stranicom duljine $c$). | Nakon uvedenih oznaka $a$, $b$ i $c$ učenici su prikazali površinu oba kvadrata kao sumu površina njihovih dijelova. Izjednačavanjem površina lijevog i desnog kvadrata dobiva se Pitagorin poučak. |
Grupe s radnim listićem 2 trebale su više vremena. Tu su učenici nadopunjavali slike, povlačili dijagonale pravokutnika, uočavali simetrije – i zatim su u međusobnoj raspravi ili uz nastavnikovu uputu ipak otkrili rješenje zadatka. Presudni trenutak za prepoznavanje formule bio je kad su uveli oznake za duljine stranica kojima su zapisali kolike su površine promatranih pravokutnika.
| listić 2 (kvadrat trinoma) | listić 2 (kvadrat trinoma) |
 |  |
| U ovom primjeru vidimo povučene dijagonale i pokušaj uočavanja simetrija. Zatim su mjerene stranice i izračunate konkretne površine likova. Nakon toga su uvedene oznake $x$, $y$ i $z$ tako da je početni lik kvadrat sa stranicom $x+y+z$. On je podijeljen na tri manja kvadrata i šest pravokutnika. Izjednačavanjem površina slijedi: $$ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz.$$ | Uvedene su oznake $a$, $b$ i $c$ tako da je početni lik kvadrat sa stranicom $a+b+c$. On je podijeljen na tri manja kvadrata i šest pravokutnika. Izjednačavanjem površina slijedi: $$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.$$ |
Prilikom podjele zadataka jako smo pazili kojoj ćemo grupi dodijeliti listić 4. Po našoj procjeni, na njemu se nalazi najzahtjevniji od ova četiri problema, jer nudi nekoliko mogućih interpretacija. To se i potvrdilo na održanim satovima u svim razredima. Dva su razreda uspjela otkriti očekivano rješenje. Na naše iznenađenje, jedan prvi razred našao je drugu interpretaciju problema. A u jednom razredu učenici nisu uspjeli otkriti niti jednu „matematičku priču“ povezanu s tim listićem.
| listić 4 (kvadrat binoma) | listić 4 (razlika kvadrata) |
 |  |
| Uvedene su oznake $c$ i $d$ tako da je lijevi lik kvadrat sa stranicom duljine $c+d$. Izjednačavanjem površina slijedi: $$(c+d)^2=c^2+2cd+d^2.$$ | Lijevi kvadrat ima stranicu duljine $a$, a manji kvadrat unutar njega ima stranicu duljine $b$ . Promatraju se površine likova koje dobijemo kada maknemo manji kvadrat. Izjednačavanjem tih površina slijedi: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$ |
Nakon prezentacija rješenja, učenici su dobili zadaću – radni listić 5 (sl. 3), čije rješenje trebaju predati nastavniku na idućem satu.
Svrha sata – pokušaj artikulacije razmišljanja učenika i prenošenje tog razmišljanja drugima – postignuta je. Svima se svidio ovakav oblik rada. Možete se u to uvjeriti ako pročitate njihove osvrte na sat.
… „Smatram da je grupni rad bio jako poučan jer nas je potaknuo na razmišljanje i zajedničku suradnju. Također je izvrsno što smo svaku skupinu prokomentirali i objasnili isti sat dok nam je još sve u glavi.“
… „Meni osobno je vrlo fascinantno gledati način razmišljanja ostalih ljudi u našem pametnom razredu i onda primijeniti sva naša promišljanja kako bismo došli do zajedničkog cilja.“
… „Sat je prošao brzo i bilo je zabavno. Sve sam zapamtila i bio je odličan osjećaj sam, tj. u timu doći do rješenja. Smatram da je to odličan način učenja i svakako bih da to radimo češće.“
… „Mislim da je ovo bilo jako korisno i zabavno. Odmaknuli smo se od normalne nastave i suočili s problemskim zadatcima. Radili smo u grupama sami, no uvijek smo Vas mogli pitati za pomoć. Imali smo neku dozu samostalnosti no opet se nismo osjećali prepušteni sami sebi. Voljela bih ovo češće raditi jer mislim da je ovo dobar način da potaknemo argumentirano i logičko razmišljanje.“
Razmišljanja i završne primjedbe
Sat smo održali nekoliko puta i svaki su put ciljevi sata bili ostvareni.
Učenici su zajednički istraživali, pri čemu je bilo lijepo vidjeti u zanosu rješavanja i one učenike koji inače nisu previše aktivni na nastavi. Većina grupa uspjela je pronaći matematičku formulu povezanu sa zadanim crtežom. Nekima je trebalo malo više vremena da dođu do rješenja, a neki (zaista su u manjini) nisu uspjeli riješiti problem iako su pokušavali. Na kraju su izlagali svoja otkrića pred razredom i uredno ih zapisali na ploči. Ovdje treba naglasiti da za prezentaciju rješenja, raspravu i eventualne komentare treba osigurati dovoljno vremena. Taj dio sata je važan, pa ga ne treba ubrzavati. Štoviše, ako je potrebno, može se vrijeme predviđeno za argumentaciju i produžiti.
Nastavnici (predavač i promatrači) pozorno su pratili što se događa u razredu i posebno su obratili pažnju na pitanja koja su sebi postavili prije sata: Hoće li se učenici snaći? Hoće li uspjeti povezati nepoznate slike s poznatim formulama? Kako će učenici pristupati zadatcima? Kako će komunicirati? Kakvu će uputu nastavnik dati učenicima a da ne utječe na njihovo istraživanje? Kako će nastavnik pomoći učenicima ako primijeti da je argumentacija nejasna ili nepotpuna? Hoćemo li biti zadovoljni promatranim satom?…I da, jako smo bili zadovoljni ovim satom! A na ostala pitanja već smo odgovorili u ovom izvještaju.
Ovo nam je iskustvo istaknulo koliko je korisno izmjenjivati metode rada jer tako svatko od učenika može naći onaj način učenja koji mu je najprihvatljiviji. I mi nastavnici naučili smo da ne treba sve servirati učenicima, već ih možemo samo diskretno usmjeravati u njihovom samostalnom otkrivanju rješenja.
Održanim satovima bili su zadovoljni i učenici. Istaknuli su kako im je korisno i zabavno istraživati u grupi. Napomenuli su i da vole čuti kako njihovi kolege razmišljaju – to ih inspirira i potiče na novu komunikaciju i učenje. Većini je najvažniji trenutak bio otkriće formule povezane s crtežom – zadovoljni su i ponosni što su to samostalno otkrili. Nekoliko je učenika spomenulo i važnost dobre argumentacije – a to je upravo ono što smo i željeli postići.
Tema ARGUMENTACIJA nastala je u okviru međunarodnog projekta TIME (Teacher’s Inquiry in Mathematics Education) gdje su nastavnici, sudionici projekta, trebali osmisliti sat na neku izazovnu temu za učenike (i nastavnike). U članku je predstavljen cijeli proces nastanka, praćenja i analize sata. Više o projektu TIME možete pročitati na stranici https://time-project.math.hr/