Pitagora je veliko ime za matematiku. Pitagorin se poučak lako pamti, bar kao algebarski zapis. Među brojnim dokazima Pitagorina poučka izdvojit ćemo nekoliko dokaza koje će učenici moći razumjeti te ih predstaviti.
O Pitagori i njegovoj školi
Povijesno gledajući, ime Pitagora znači puno više od poznatog imena poučka o pravokutnim trokutima. Pitagora i njegova škola utemeljili su filozofiju koja je postala misao vodilja u matematici, fizici, astronomiji te drugim srodnim granama.
Pitagora iz Samosa (oko 580. – 500. prije Krista) na zapadnoj obali današnje Turske, često se navodi kao prvi pravi matematičar koji je uvelike doprinio razvoju matematike, ali se zapravo malo zna o njegovim matematičkim postignućima jer niti jedno njegovo djelo nije sačuvano. Bio je dobro obrazovan, a na njega su u mladosti poseban utjecaj imala tri filozofa: njegov učitelj Ferekid te Tales i njegov učenik Anaksimandar, koji su ga upoznali s matematičkim idejama – Tales ga je zainteresirao za matematiku i astronomiju, a Anaksimandar za geometriju i astronomiju.
Učenici njegove pitagorejske škole – pitagorejci – bili su podijeljeni u dva razreda (tzv. kruga) u kojima su učili po određenim pravilima: članovi užeg kruga – mathematikoi, što je prva upotreba riječi matematika, ali njezino moderno značenje dao joj je tek Aristotel, i članovi šireg kruga – akousmatikoi. Akousmatikoi su tek nakon tri godine požrtvovnog slušanja Pitagorinih predavanja “iza zastora”, tj. nisu imali mogućnost vidjeti Pitagoru, već ga samo slušati, mogli prijeći u uži krug za čije je članove bio organiziran drukčiji način učenja. Pitagorejci su počeli upotrebljavati riječ mathemata za opisivanje aritmetike i geometrije koje su prethodno bile nazvane različitim imenima, bez povezivanja. Iako je u tom razdoblju ženama bilo zakonski zabranjeno nazočiti javnim okupljanjima, zanimljivo je da im je bilo dopušteno dolaziti na Pitagorina predavanja. Mnoge kasnije pripadnice pitagorejske škole postale su poznate filozofkinje. Postoji izvor koji tvrdi da je Pitagora u dobi od oko 60 godina oženio jednu svoju učenicu unutarnjeg kruga, Theano. Ona je bila posebno nadarena matematičarka koju je Pitagora toliko inspirirao da je i nakon njegove smrti nastavila širiti njegov način razmišljanja. Neki drugi izvori tvrde da je Theano bila Pitagorina kći iako ne navode ništa o Pitagorinoj ženi ili bar ženi koja mu je rodila kćer, dok neki treći izvori tvrde da je Theano bila samo posebno nadarena učenica, nikad Pitagorina žena ili kći.
Pitagora se zalagao za prijateljstvo, nesebičnost i iskrenost. Sebe je smatrao tajanstvenim, čak i polubožanskim – rekao je: “Postoje ljudi, bogovi i ljudi poput Pitagore.” Neovisno o matematičkim rezultatima samog Pitagore, škola je svakako doprinijela daljnjem matematičkom razvoju. Kako ne postoje precizni zapisi, ne zna se kada je točno umro, no smatra se da je doživio oko 100 godina.
Pitagorejci su sva svoja matematička otkrića pripisivali Pitagori pa se niti za jedno otkriće ne može sa sigurnošću tvrditi da je Pitagorino. Sve što znamo o njima doznajemo od drugih, uključujući Aristotela, Theona iz Smirne, Platona, Herodota, Filolaja iz Krotona i drugih. Većina pitagorejskih postignuća skupljena je u Euklidovim Elementima (objavljeni oko 300. godine prije Krista).
Pitagorin poučak
Pitagorin poučak vrlo je važan u geometriji, ali i cjelokupnoj matematici jer ima velike mogućnosti primjene. Poučak, danas poznat kao Pitagorin, bio je poznat Babiloncima oko 1500 godina ranije, no Pitagora (ili koji drugi pitagorejac) je prvi koji ga je dokazao te iz tog razloga nosi naziv Pitagorin poučak. Raniji dokazi bili su samo niz argumenata koji nisu bili potpuni. Neki vjeruju da kada je Pitagora dokazao taj teorem, bogovima u čast žrtvovao je vola što su ga prosvijetlili.
Poučak: (Pitagorin poučak) Zbroj kvadrata nad katetama pravokutnog trokuta jednak je kvadratu nad hipotenuzom.
Pod kvadratima pitagorejci, kao i ostali starogrčki matematičari, ne podrazumijevaju potencije brojeva (duljina stranica), nego geometrijske likove. Stoga je izvorno shvaćanje teorema bilo: u pravokutnom trokutu zbroj površina kvadrata nad katetama jednak je površini kvadrata nad hipotenuzom (a površine su jednake ako je jednu moguće rastaviti na dijelove od kojih se može sastaviti druga).
Također je bitno istaknuti da je pitagorejcima bio poznat potpun poučak, uključujući i obrat.
Obrat: Ako neki trokut ima svojstvo da je zbroj kvadrata nad dvije njegove stranice jednak kvadratu nad trećom, onda se radi o pravokutnom trokutu.
Ovakvo geometrijsko shvaćanje operacija s brojevima poznato je kao geometrijska algebra koja je karakteristična za čitavo razdoblje klasične grčke matematike.
Kepler je izjavio: Geometrija ima dva blaga: jedno je Pitagorin poučak, a drugo zlatni rez.Prvo se može usporediti s čistim zlatom, a drugo s draguljem neprocjenjive vrijednosti.
Pitagorin poučak jedan je od najpoznatijih matematičkih teorema.
Algebarski se može zapisati kao: $$a^2+b^2=c^2$$
gdje je $c$ duljina hipotenuze, a $a$ i $b$ su duljine kateta pravokutnog trokuta. Ovaj teorem predstavlja temeljnu vezu između stranica pravokutnog trokuta i ima široku primjenu u geometriji, fizici, inženjerstvu i mnogim drugim disciplinama.
Svatko tko se ikada, bar i na kratko, susreo s matematikom, ne može zaboraviti ovaj poučak. Poznati su mnogobrojni dokazi njegove istinitosti.
Dokazi Pitagorina poučka
Točan broj dokaza Pitagorina poučka nije određen jer postoje skice na temelju kojih se različitim metodama može dobiti više različitih dokaza, ali sigurno je da ih ima nekoliko stotina.
Pitagorin poučak često se primjenjuje u osnovnoj i srednjim školama. U hrvatskom obrazovnom sustavu poučak se obrađuje u 8. razredu osnovne škole, a u udžbenicima su najčešće prikazani zorni i algebarski dokaz. Osim tih “standardnih” dokaza u današnje vrijeme kada geometriju možemo prikazati i interaktivno uz pomoć raznih programa, učenicima se dokaz može predstaviti na mnoge načine kako bi što lakše shvatili smisao poučka.
Prema trenutačno važećem kurikulu matematike za osnovne škole Pitagorin se poučak navodi u odgojno-obrazovnom ishodu MAT OŠ D.8.1. Primjenjuje Pitagorin poučak koji u razradi podrazumijeva izrijeku Pitagorina poučka, njegovo objašnjenje i primjenu na pravokutnom trokutu, kvadratu, pravokutniku, jednakostraničnom i jednakokračnom trokutu, rombu te istraživanje i otkrivanje obrata Pitagorina poučka i njegovu primjenu. Učenici će Pitagorin poučak zapisivati matematičkim jezikom i primjenjivati ga za računanje nepoznatih elemenata najčešće u kvadratu i pravokutniku (ishod na razini ostvarenosti dobar). Dokaz se spominje tek u preporukama za ostvarenje odgojno-obrazovnih ishoda: upoznati učenike s različitim pristupima dokazivanja Pitagorina poučka čime se učiteljima ostavlja slobodan prostor za odluku koliko će se ozbiljno pozabaviti dokazivanjem poučka. Kako dokaz u nastavi matematike osnovne škole nije obavezan nastavni sadržaj, može se obraditi na dodatnoj nastavi matematike s potencijalno darovitim učenicima. Dokazivanje u matematici doprinosi razvijanju analitičkog i logičkog mišljenja ključnog za daljnje matematičko obrazovanje kakvo se može očekivati od učenika koji pohađaju dodatnu nastavu matematike.
U nastavku navodimo nekoliko dokaza koje možemo predočiti osmašima i/ili srednjoškolcima na dodatnoj nastavi uz dokaze koje nudi udžbenik.
Dokaz 1. Ovo je prvi Euklidov dokaz i vjerojatno jedan od poznatijih dokaza Pitagorina poučka.
Pravokutni trokut $ABC$ ima pravi kut u vrhu $C$. Neka su $ACGF$ i $CBKH$ kvadrati nad katetama i $BAED$ kvadrat nad hipotenuzom pravokutnog trokuta $ABC$.
Trokuti $ABF$ i $AEC$ sukladni su prema $SKS$ teoremu o sukladnosti ($|AB|=|AE|$, $|AF|=|AC|$, $\angle BAF=\angle BAC+\angle CAF=\angle BAC+\angle EAB=\angle EAC$, tj. $\triangle ABF\cong \triangle AEC$).
Promotrimo $\triangle ABF$: duljina visine iz vrha $B$ na stranicu $\overline{AF}$ jednaka je duljini dužine $\overline{AC}$ iz čega slijedi $$P(\triangle ABF)=\frac{|AF|\cdot|AC|}{2}=\frac{|AC|\cdot|AC|}{2}=\frac{|AC|^2}{2}.$$
Nadalje, promatramo $\triangle AEC$: duljina visine iz vrha $C$ na stranicu $\overline{AE}$ jednaka je duljini dužine $\overline{AM}$ gdje je točka $M$ sjecište pravca $AB$ i pravca $CL$ koji je paralelan s pravcem $AE$. Stoga je površina $\triangle AEC$ jednaka polovini površine pravokutnika $AELM$. Iz toga slijedi da je površina kvadrata duljine stranice $|AC|$ jednaka površini pravokutnika $AELM$. To slijedi iz: $$P(\triangle AEC)=\frac12P(AELM),\quad P(\triangle AEC)=P(\triangle ABF)$$ pa je $$\begin{align}\frac{|AC|^2}2&=\frac12\cdot|AE|\cdot|AM|\\ |AC|^2&=|AE|\cdot|AM|\end{align}$$ tj. $P(ACGF)=P(AELM).$
Slično dobijemo ako promatramo trokute $ABK$ i $BCD$, tj. površina kvadrata duljine stranice $|BC|$ jednaka je površini pravokutnika $MLDB$.
Konačno, dva pravokutnika $AELM $i $MLDB$ čine kvadrat nad hipotenuzom $\overline{AB}$. $$\begin{align}P(AELM)+P(MLDB)&=P(AEDB)\\ |AC|^2+|BC|^2&=|AB|\cdot(|AM|+|MB|)\\ |AC|^2+|BC|^2&=|AB|\cdot|AB|\\ |AC|^2+|BC|^2&=|AB|^2\end{align}$$
Dokaz 2. Za ovaj dokaz zaslužan je 20. američki predsjednik J. A. Garfield (1831. – 1881.). Garfield je dokazao Pitagorin poučak pet godina prije no što je postao predsjednikom, 1876. godine. Ideju za dokaz dobio je tijekom matematičkog razgovora s članovima američkog Kongresa (američkog zakonodavnog tijela), gdje je tad obnašao dužnost zastupnika. Svoj je dokaz objavio u časopisu New England Journal of Education, a temelji se na računanju površine pravokutnog trapeza na dva različita načina, primjenjujući formulu za površinu trapeza i zbrajanjem površina triju pravokutnih trokuta koji se mogu konstruirati unutar samoga trapeza.
Pravokutan trapez ima osnovice duljina $a$ i $b$ i visinu duljine $a+b$. Kada se trapez rastavi kao na slici 3, dobiju se tri pravokutna trokuta. Dva su trokuta pravokutna jer su im stranice upravo stranice pravokutnog trapeza. Treći trokut je jednakokračan i pravokutan što slijedi iz sukladnosti dvaju pravokutnih trokuta i zbroja kutova uz ispruženi kut.
Površinu trapeza računamo kao umnožak polovine zbroja duljina baza i visine iz čega dobijemo $$\frac{a+b}2\cdot(a+b).$$
Ako promotrimo skicu, vidimo da je površina trapeza jednaka zbroju površina triju pravokutnih trokuta $$\frac{a\cdot b}2+\frac{c\cdot c}2+\frac{a\cdot b}2.$$
Izjednačavanjem dvaju dobivenih identiteta dobijemo $$\begin{align}\frac{(a+b)^2}2&=ab+\frac{c^2}2\\ a^2+2ab+b^2&=2ab+c^2\\ a^2+b^2=c^2\end{align}$$
Dokaz 3. Površina trokuta jednaka je $r\cdot s$ gdje je $r$ duljina polumjera trokutu upisane kružnice, a $s=\frac{a+b+c}2$ poluopsega trokuta.
Zbog sukladnosti trokuta $GBE$ i $BGD$ odnosno $AGF$ i $GAD$ vrijedi $a-r=|BE|=|BD|$ i $b-r=|AF|=|AD|$ pa je $c=(a-r)+(b-r)$ iz čega slijedi $$\begin{align}c&=a+b-2r\\ 2r&=a+b-c\\ 2r&=a+b+c-c-c\\ 2r&=2s-2c\\ r&=s-c\end{align}$$ Kako površinu trokuta možemo izračunati na dva načina, izjednačimo ih: $$\begin{align}r\cdot s&=\frac{a\cdot b}2\\ (s-c)s&=\frac{ab}2\\ (a+b+c-2c)(a+b+c)&=2ab\\ (a+b)^2-c^2&=2ab\\ a^2+2ab+b^2-c^2&=2ab\\ a^2+b^2&=c^2.\end{align}$$ Postoji nekoliko vrlo sličnih dokaza koji se temelje na ovoj skici. Ovaj dokaz pripisuje se Jacku Oliveru i originalno je objavljen u časopisu Mathematical Gazette 81 (March 1997) str. 117-118.
Dokaz 4. John Molokach, predani pitagorejac, izveo je jedan dokaz Pitagorina poučka koji je nazvao dokazom paralelograma. Dokaz se temelji na priloženoj skici, a započinje rastavljanjem paralelograma na trokute kao što je prikazano. “Sivi” trokut ima duljine kateta $a$ i $b$ te duljinu hipotenuze $c$, a “zeleni” trokut ima duljine kateta $x$ i $y$ te duljinu hipotenuze $b$.
Trokuti su slični jer su im odgovarajući kutovi jednake veličine pa vrijedi $$\begin{align}\frac ax=\frac cb &\text{ i } \frac by=\frac cb\\ cx=ab &\text{ i }cy=b^2\\ x=\frac{ab}c &\text{ i }y=\frac{b^2}c.\end{align}\tag{1}$$ Površinu paralelograma možemo izračunati direktno $$P=(a+c)\cdot b\tag{2}$$ ili kao zbroj sastavnih dijelova: četiri “siva”, dva “zelena” trokuta i “malog” pravokutnika (unutar paralelograma). “Mali” pravokutnik ima duljine stranica $(b-x)$ i $(y-a)$ pa slijedi $$P=4\cdot\frac{ab}2+2\cdot\frac{xy}2+(b-x)(y-a).$$ Sređivanjem dobijemo $$P=ab+by+ax.\tag{3}$$
Kombiniranjem (1) i (3) i sređivanjem izraza dobijemo $$P=b\cdot\left(a+\frac{a^2+b^2}c\right).$$ Izjednačavanjem (2) s prethodno dobivenim slijedi $$\begin{align}(a+c)\cdot b&=b\cdot\left(a+\frac{a^2+b^2}c\right)\\ a+c&=a+\frac{a^2+b^2}c\\ c^2&=a^2+b^2.\end{align}$$
Ovaj dokaz može se skratiti ako izdvojimo “veći” pravokutnik iz paralelograma.
Površinu tog pravokutnika možemo izračunati na dva načina te izjednačavanjem dobijemo $$\begin{align}bc&=2\cdot\frac{ab}2+2\cdot\frac{xy}2+(b-x)(y-a)\\ bc&=by+ax\\ bc&=b\cdot\frac{b^2}{c}+a\cdot\frac{ab}c\\ bc^2&=b(b^2+a^2)\\ c^2&=a^2+b^2\end{align}$$
Zaključak
Među brojnim dokazima Pitagorina poučka izdvojili smo nekoliko dokaza koje će učenici moći razumjeti te ih predstaviti.
Dokazi u matematici imaju vrlo važnu ulogu te bi trebali imati svoje mjesto u nastavi matematike jer objašnjavaju i potiču učenike na logičko zaključivanje i deduktivno razmišljanje. Učenici iz njih mogu naučiti neke metode rješavanja problema i usvojiti pojedine matematičke koncepte.
Literatura
- I. Babić (2017.): Dokazi u nastavi matematike, diplomski rad, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku, Odjel za matematiku, Osijek.
- A. Bogomolny (1995.): Pythagorean Theorem and its many proofs, http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml .
- R. Čeme (2014.): Dokazi Pitagorina teorema, diplomski rad, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku, Odjel za matematiku, Osijek.
- Kurikulumi nastavnih predmeta Matematika za osnovne škole i gimnazije i Matematika za srednje strukovne škole na razini 4.2., Ministarstvo znanosti i obrazovanja, 2019.