Dopunski rad u 5. razredu uz mjerenje, bojenje i rezanje

Prije nekoliko godina na kraju petog razreda učenica je imala negativnu ocjenu iz Matematike. Uslijedile su suze jer učenici nisu naviknuli imati negativnu ocjenu na kraju nastavne godine. Objasnio sam joj da ćemo se družiti pet dana po dva sata, da ćemo svaki dan proći osnove jedne cjeline, da treba pisati domaću zadaću i neka pokaže da joj je stalo. Pet dana je brzo prošlo, riješili smo puno zadataka i pokazalo se da učenica može daleko bolje i više od onoga što je pokazivala tijekom godine. U petak, posljednji dan dopunskog rada rekla je: Meni je bilo lijepo i ja bih još. Od suza, muke i stresa zbog jedinice došli smo do toga da bi ona nastavila dopunski rad. Zbog niza objektivnih i subjektivnih razloga tijekom godine se nije snalazila s gradivom i naša suradnja nije bila najbolja. U nekoliko dana dogodio se veliki obrat i na psihološkom i na emotivnom planu. Uz stručnu pomoć u učenju učenica je i sama pokazala da bez problema može rješavati elementarne zadatke. Budućih je godina s njom bilo manje problema.

Nastavna godina 2023./2024.

Na kraju nastavne godine 2023./2024. četvero učenika petih razreda (kojima sam učitelj Matematike) uputio sam na dopunski rad. Iz pisanih provjera uglavnom su imali negativne ocjene. Unatoč dogovorenom prijevozu autobusom, učenici nisu svaki puta ostajali na dopunskoj nastavi tijekom nastavne godine, domaće zadaće nisu pisali redovito niti su pokazali interes ili volju kako ne bi nastavnu godinu završili negativnom ocjenom. Organizirali smo se tako da dopunski rad traje pet dana. Svaki se dan tijekom dva sata ukratko ponavljala jedna cjelina.

Okrenuli smo uobičajen školski način rada i učenici su svaki dan dobivali domaću zadaću za naredni dan vezano za sadržaje koje još nismo zajedno prošli. Slično kao u obrnutoj učionici. Posljednji nastavni tjedan dobili su domaću zadaću iz cjeline prirodni brojevi za prvi dan dopunskog rada. Objašnjeno im je neka ne vraćaju knjige iz Matematike, neka uzmu sve bilježnice koje imaju i uz njihovu pomoć rješavaju zadatke te ponove osnovne pojmove svake cjeline. Kad smo prvi dan ponovili prirodne brojeve, dobili su zadaću iz cjeline djeljivost prirodnih brojeva za idući dan i tako redom za geometriju, razlomke i decimalne brojeve. Oni su kod kuće trebali ponoviti osnovne pojmove o nekoj cjelini, a u školi smo zajedno rješavali zadatke.

Namjera je bila da se učenici sami potrude kod kuće ponoviti osnovne pojmove, pronaći kako se rješavaju zadatci, pokazati želju i htijenje, a ne samo ponoviti ono što su čuli na dopunskom radu. Želja mi je bila da ih se barem tih pet dana potakne na angažman i redovni rad kod kuće. Svi oni mogu daleko više od onog što su pokazali, no mnoštvo je različitih razloga zašto su na kraju nastavne godine dobili negativnu ocjenu. Bitno ih je na dopunskom radu ohrabriti, podići samopouzdanje, pokazati da mogu, a ne pristupiti kao da je dopunski rad kazna i razlog za suze. U učionici su tijekom nastavne godine uglavnom vrlo tihi i neprimjetni, vjerojatno zbog razine znanja, a sad je rad organiziran na način da većinu posla odrađuju sami i vode glavnu riječ. Uloga učitelja bila je pomoći im, usmjeriti ih i podržati ih. Nalazili su se u maloj grupi podjednake razine znanja i tu su dobili potreban vjetar u leđa te se uvjerili da mogu više i da vrijede puno više od ocjene koja im je zaključena na kraju.

Prirodni brojevi

1. Učenici su zadnji dan nastavne godine dobili nastavni listić kao domaću zadaću za prvi dan dopunskog rada sa zadatcima o prirodnim brojevima: jednostavniji zadatci za usmeno računanje, zadatci za pisano računanje, više računskih radnji i rad sa zagradama, jednostavni tekstualni zadatci. Zadatke i rješenja prošli smo zajedno na početku sata.
2. Uz pomoć kartica sami su ponovili tablicu množenja i dijeljenja. Jedan učenik bio je učitelj, a tri učenika odgovarala su i izmjenjivala uloge. Svidjelo im se biti u ulozi učitelja i bili su vrlo motivirani. Morali su znati umnoške i količnike kako bi mogli pratiti jesu li njihovi prijatelji točno odgovorili. Naravno, sve je pratio učitelj i pomagao kad su se javile poteškoće. Bilo je puno problema i krivih odgovora, ali kako im je kroz ruke prolazio veći broj kartica, bilo je brže i lakše. Još uvijek je ostalo dosta problema s tablicom množenja i dijeljenja.
3. Nazivi brojeva u računskim radnjama – učenici su dobili po jedan zadatak zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, svaki na posebnom papiru te izrezane nazive brojeva (1. pribrojnik, 2. pribrojnik, zbroj, razlika…). Trebali su pravilno povezati zadatke i nazive brojeva. Iako je ovo gradivo prvog i drugog razreda, učenici ga još nisu savladali.
4. Učenici su sami u bilježnicu napisali po jedan svoj primjer svake računske radnje te nazive brojeva. Namjera je bila da učenici prvo zajednički ponove i nakon toga na vlastitom primjeru potvrde znanje. Bilo je problema i neobičnih naziva poput prvog količnika i slično. Nazive smo ponavljali svaki dan. Posljednji, peti dan, ponovljeno im je isto pitanje o nazivima brojeva i još je bilo pogrešnih odgovora. Nastavit ćemo s ovim i u 6. razredu.
5. Iduća je aktivnost bila zajedničko rješavanje po jednog zadatka zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja višeznamenkastim brojevima na ploči. Nakon toga učenici su sami rješavali po dva zadatka za svaku računsku radnju i to donosili učitelju na pregled. Malo su radili zajedno, malo sami te su na taj način prvo sve ponovili, a nakon toga trebali pokazati koliko od toga jesu ili nisu usvojili.
6. Zadnjih su desetak minuta, prema zapisanom računu na ploči, trebali sastaviti jednostavan tekstualni zadatak. Ovime pokazuju razinu razumijevanja računskih radnji te mogu li ih povezati sa svakodnevnim životom. U tijeku je bilo nogometno prvenstvo pa je tema zadatka bila nogomet.
7. Domaća zadaća bila je iz djeljivosti prirodnih brojeva: djelitelji i višekratnici, pravila djeljivosti, prosti i složeni brojevi i rastavljanje brojeva na proste faktore. Zadaća se ne zadaje iz cjeline prirodni brojevi koja se tog dana ponavljala u školi, već se učenici uz pomoć udžbenika i bilježnice sami trebaju podsjetiti što su iz cjeline djeljivost prirodnih brojeva radili tijekom godine. To od njih zahtijeva dodatni angažman jer nije dovoljno samo pogledati što se radilo tog dana u školi, nego ih čeka dulji i temeljitiji rad žele li idući put aktivno sudjelovati u nastavi. Od četvero učenika dvoje je reklo da radi kod kuće uz pomoć roditelja.

Djeljivost prirodnih brojeva

1. Na početku drugog dana dopunskog rada zajedno smo prošli rješenja domaće zadaće iz cjeline djeljivost prirodnih brojeva i njihova pitanja.
2. Uz pomoć kartica učenici su ponovili pravila djeljivosti. Na svakoj kartici bilo je zapisano jedno od pravila djeljivosti, a te su kartice bile pomiješane s karticama na kojima su zapisani brojevi (po jedan na svakoj kartici). Zadatak je bio spojiti određene brojeve s odgovarajućim pravilima djeljivosti.
3. Nakon toga učenici su sami u svoju bilježnicu trebali zapisati pravila djeljivosti s 2, 3, 5, 9 i 10. Prethodno su ponovili pravila za domaću zadaću (i zapisali su ih), ponovili su ih u školi kroz igru, a svojim zapisom trebali su potvrditi da ih razumiju i mogu ponoviti. No i tu je bilo puno problema. Uglavnom su se dvoumili kod kojih se brojeva gleda zadnja znamenka, a kod kojih zbroj znamenaka.
4. Svaki je učenik slučajnim odabirom izvukao po dva broja i za svakog od njih trebao odrediti je li djeljiv s 2, 3, 5, 9 ili 10 te objasniti zašto. Inzistirao sam na pitanju zašto je neki broj djeljiv ili nije djeljiv pojedinim brojem jer se nerijetko događa da učenik kaže pravilo, ali kod rješavanja zadatka postaje jasno da ga ne razumije, već samo recitira, a takvo znanje nije primjenjivo. Najprije smo u tablici na ploči riješili dio zadataka, a nakon toga su učenicii rješavali sami i donosili učitelju na pregled. Puno toga su točno riješili, ali svejedno je bilo problema kod određivanja djeljivosti za pojedine brojeve.
5. Ponavljali smo kada je broj prost ili složen uz pomoć izrezanih papirnatih kartica i njihovog uparivanja.
6. Učenici su izvlačili po dva broja slučajnim odabirom i za svakog od njih zapisivali sve djelitelje, određivali je li prost ili složen i objašnjavali zašto. Tu je najveći problem bio odrediti sve djelitelje, a dogodila se i situacija da učenica ispiše 9 djelitelja nekog broja i zaključi kako je taj broj prost unatoč prethodnim ponavljanjima. Učenicima je naglašeno kako će djeljivost trebati i na početku šestog razreda.
7. Domaća zadaća iz geometrije obuhvatila je: ravninu, pravac, polupravac, dužinu, kružnicu, krug i kut, opseg i površinu likova. Učenici nisu dobili zadaću iz onoga što se radilo na satu, već iz iduće cjeline. Naglasio sam potrebu za urednim i preciznim radom i zapisivanjem što se računa. Trebali su obratiti pozornost na pisanje mjernih jedinica i označavanje svega što crtaju kod kuće.

Skupovi točaka u ravnini

Rad je ovaj put zamišljen kao kombinacija računanja s prirodnim brojevima, bojenjem, mjerenjem duljina stranica te izračunavanjem opsega i površina likova. O ovom sam pristupu temi pisao u 125. broju MiŠ-a. U članku je predviđeno tako započeti nastavnu godinu, no sada sam ovakav pristup iskoristio za dopunski rad. Jedan zadatak riješili smo zajednički, a nakon toga su učenici sami nastavili s radom. Bilo je problema i u zapisivanju i u mjerenju, no učenici su se oslanjali na pomoć učitelja. Kako je bilo šest zadanih likova, bilo je potrebno dosta vremena dok konačno sve nije bilo točno. Najprije su računali opseg likova, a nakon toga površinu te smo sve ponovili još jednom, lik po lik i površinu po površinu. Učenici su bili naviknuti raditi ne zapisujući mjerne jedinice ili su ih zapisivali pogrešno. Budući da su dugo dugo radili na taj način, bit će potrebno više vremena i upornosti za ispravljanje pogrešnog. Za idući dan zadana je zadaća o razlomcima.

Razlomci

Rad s razlomcima zamišljen je kao praktičan rad s puno materijala i razgovora. Učenici su dobili magnetizirane krugove podijeljene na određen broj dijelova. Govorili smo o polovinama, trećinama, četvrtinama, petinama, šestinama, osminama, desetinama i dvanaestinama te ih povezivali s dijeljenjem u drugom razredu (usput smo ponovili vrste kutova: 1 krug je puni kut, polovina ispruženi kut, četvrtina pravi kut, šestina šiljasti kut, trećina tupi kut). Uz pomoć magnetiziranih krugova prikazivali su prave i neprave razlomke te mješovite brojeve i zapisivali njihove vrijednosti u obliku nepravog razlomka i obrnuto.

Nakon toga povezivali smo znanja o geometriji i razlomcima: učenici su crtali geometrijske likove koje su dijelili na jednake dijelove te ih izrezivali i objašnjavali o kojim se razlomcima radi. Namjera je bila sa što više praktičnog rada i učeničkim angažmanom približiti im pojam razlomka te izbjeći klasične pogreške primjerice da je jedna polovina jednaka decimalnom broju 1.2. Brojnik postaje dekadski dio decimalnog broja, a nazivnik decimalni dio što nema nikakvog smisla, a pojedini učenici redovito tako pišu i ne shvaćaju zašto to nije točno. Rješavali su i zadatke na nastavnom listiću pa je zadana zadaća za posljednji dan dopunskog rada: decimalni brojevi.

Decimalni brojevi

Decimalnim se brojevima najviše koristimo u životu i ovdje je bila namjera pokazati njihovu primjenu u trgovini. Donijeli smo katalog iz obližnje trgovine te popisivali cijene i zbrajali njihove iznose. Na pisanoj provjeri učenici su vrlo netočno potpisivali decimalne brojeve pa je nerijetko ispalo da je 234 + 1.89 = 4.23 jer su se znamenke poravnavale na desnu stranu.

Tu je bitna procjena kako im se ne bi događale takve pogreške i to sam naglašavo tijekom rada. Za oduzimanje smo izmišljali koliko novca imamo u novčaniku pa oduzimali cijenu nekog proizvoda. Izmišljali smo priče što kupujemo i s koliko ćemo množiti ili dijeliti, bilo da se radi o dekadskoj jedinici, prirodnom broju ili decimalnom broju. Učenici često pitaju zašto im je potrebno neko gradivo u životu, pa je ovo idealna cjelina u kojoj mogu vidjeti stvarnu primjenu, a trebat će im cijeli život.

Kako je sve završilo?

Bilo je lijepo pred učenicima vidjeti pune klupe materijala, nastavnih listića, bojica, knjiga, geometrijskog pribora te svjedočiti uloženom trudu i radu. Iz nekog razloga ovi učenici obično tako ne rade ili nisu naviknuti na to. Teško će u pet dana i deset nastavnih sati doći do velikog pomaka u razini znanja, ali ostvaren je bitno drukčiji kontakt nego tijekom nastave jer je ovaj put sve bilo prilagođeno njima i njihovim mogućnostima. Sve što se radilo ponovilo se dva ili tri puta, sve što su rješavali praćeno je i provjereno. Učenici su i sebi i učitelju pokazali su da mogu učiti kvalitetnije.

Koraci nastave i dopunskog rada kojima sam se nastojao koristiti bili su: identifikacija, dijagnoza, planiranje, realizacija i kontrola. Oblici neuspjeha kojima se najčešće srećemo nedovoljno su matematičko znanje, nedovoljna automatiziranost računskih radnji, formalističko matematičko znanje (usvaja se oblik, ali ne i sadržaj) i nedovoljno razvijanje učenikovih matematičkih sposobnosti (mišljenje). Potrebno je imenovati i bitna obilježja neuspjeha: kumulativnost (postupno i kontinuirano uvećanje neuspjeha) i stabilnost (otpornost neuspjeha prema suzbijanju i eliminiranju). Napravili smo veliki zajednički korak u dobrom smjeru u nekoliko dana, a sada treba nastaviti uporno i strpljivo u 6. razredu uz veću kontrolu ovih učenika jer su pokazali da mogu usvojiti osnovne razine matematičkog znanja.

Na kraju su svi dobili priznanje na kojemu je pisalo:

„Nakon dopunskog rada iz MATEMATIKE dodjeljuje se P R I Z N A NJE koje zaslužuje (ime i prezime učenika) jer je od 24. do 28. lipnja 2024. redovito donosila domaće zadaće, puno radila kod kuće, aktivno pratila nastavu, donosila pribor, trudila se crtati precizno i uredno, marljivo rješavala zadatke i nije odustala, bila uredna i pregledna u radu. Sve ranije navedeno radi od prvog dana u 6. razredu, uporno i strpljivo, uredno i marljivo, dan po dan i rezultat će doći. Sretno u 6. razredu! Nitko na svijetu nije jači od čovjeka koji zna.“

---