U prethodnom smo nastavku ove rubrike razmatrali formate zastava, tj. njihove oblike. Dok po tom pitanju nema previše raznolikosti – sve zastave osim nepalske su pravokutne i sve ostale osim onih Švicarske i Vatikana pravokutnici su različiti od kvadrata – zastave su bitno raznolikije po pitanju simetrija.
Budući da u svakodnevici vidimo objekte koji su trodimenzionalni, učenje ravninskih simetrija nerijetko ispada teže od onih u prostoru jer učenik treba, primjerice, apstrahirati sliku leptira od njegove stvarne trodimenzionalne pojavnosti. Za razliku od toga, iako su zastave kao i svi ostali predmeti s kojima se susrećemo trodimenzionalni, budući da su jako „tanke“, u praksi ih većina ljudi doživljava kao dvodimenzionalne te se njihove slike lako poistovjećuje sa stvarnim zastavama. Stoga su idealne za učenje i razmatranje simetrija u ravnini.
Većina ljudi najlakše uočava zrcalnu simetriju (za dvodimenzionalne objekte poznatu i pod nazivom osna simetrija), koja se u ravnini svodi na uočavanje osi simetrije. Svaki pravokutnik posjeduje dvije zrcalne simetrije, s obzirom na dvije međusobno okomite osi (slika 1 lijevo), a kvadrati ih posjeduju čak četiri, s obzirom na osi od kojih svake dvije susjedne tvore kut od $45^{\circ}$ (slika 1 desno). Zastava Nepala (vidjeti članak Tanje Debelec u broju 108 Matematike i škole) nije pravokutnik, nego nekonveksni, nepravilni peterokut te ona ne posjeduje zrcalne simetrije.
No, zastave nisu jednobojni pravokutnici, nego imaju različite dekoracije, od kojih neke „oduzmu“ jednu ili više od zrcalnih simetrija samog oblika. Uzmimo, primjerice, zastavu Hrvatske (slika 2). Zbog raznobojnih pruga ona gubi horizontalnu os simetrije, dok zbog grba gubi vertikalnu. Dakle, ova je zastava primjer zastave bez zrcalnih simetrija. Kod nekih će zastava uslijed uzorka preostati samo jedna zrcalna simetrija. Primjer takve zastave je zastava Njemačke, koja posjeduje vertikalnu, ali ne posjeduje horizontalnu os simetrije (slika 3). Ponekad ipak zastave imaju ukrase koji ne eliminiraju nijednu od zrcalnih simetrija samog oblika. Primjer je zastava Austrije (slika 4). Budući da nikojim uzorkom ne možemo povećati stupanj simetrije u odnosu na simetriju oblika zastave, to su ujedno i sve mogućnosti za nekvadratne pravokutne zastave po pitanju zrcalnih simetrija: Svaka pravokutna zastava koja nije kvadratnog oblika ima 0, 1 ili 2 zrcalne simetrije. Što se dviju zastava kvadratnog oblika tiče, zastava Švicarske (slika 5) ima sve četiri zrcalne simetrije kao i sam kvadrat, dok zastava Vatikana zbog uzorka nema nijednu zrcalnu simetriju. Zadatak za entuzijastične čitatelje: Razvrstajte sve zastave sa stranice https://www.worldometers.info/geography/flags-of-the-world/ prema broju zrcalnih simetrija.
Drugi osnovni tip simetrije u ravnini jest rotacijska simetrija (određena centrom rotacije i pozitivnim kutom rotacije). Prvo primijetimo da svaki objekt koji vidimo posjeduje bar jednu rotacijsku simetriju za kut od $360^{\circ}$. Takve rotacijske simetrije nazivaju se rotacijskim simetrijama reda 1 i one naravno nisu zanimljive, ali se iz matematičkih razloga (prvenstveno vezanih za teoriju grupa simetrija) ubrajaju među rotacijske simetrije; ona je primjerice jedina rotacijska simetrija nepalske zastave. Nadalje, očito nije potrebno razmatrati rotacijske simetrije s kutom $\varphi$ većim od $360^{\circ}$ jer su one ekvivalentne rotacijama s kutom $\varphi-k\cdot 360^{\circ}\leq 360^{\circ}$ (za neki prirodan broj $k$). Primjerice, rotacija za $800^{\circ}$ ekvivalentna je rotaciji za $800^{\circ} – 720^{\circ} = 80^{\circ}$.
Pravokutnici uvijek posjeduju rotacijsku simetriju s kutom $180^{\circ}$ (tzv. rotacijska simetrija reda 2 jer kad ju ponovimo dvaput zaredom, dobivamo rotaciju za $360^{\circ}$) oko središta koje se podudara sa sjecištem osi zrcalne simetrije.[1] Kod kvadrata pak imamo rotacijsku simetriju s kutom $90^{\circ}$ (tzv. rotacijska simetrija reda 4 jer kad ju ponovimo četiri puta zaredom, dobivamo rotaciju za $360^{\circ}$) isto oko središta koje se podudara sa sjecištem osi zrcalne simetrije (slika 1). Uočimo također da ako promatrani objekt posjeduje rotacijsku simetriju reda 4, zapravo posjeduje dvije različite takve simetrije, redom s kutovima $90^{\circ}$ i $270^{\circ}$ (četiri put ponovljena rotacija za $270^{\circ}$ daje rotaciju za $1080^{\circ}= 3\times 360^{\circ}$ ekvivalentnu rotaciji za $360^{\circ}$) te posjeduje i rotacijsku simetriju reda 2.
Zapravo, slika 1 upućuje i na sljedeći važan teorem, koji je specijalni slučaj znamenitog Eulerova teorema o rotacijama: Kompozicija dvaju zrcaljenja ravnine s obzirom na dvije osi koje se sijeku jest rotacija oko njihova sjecišta za kut jednak dvostrukom kutu koji te osi tvore. Budući da taj kut nije ispružen – bila bi jedna os, a ne dvije – ta rotacija nije reda 1. To nije teško dokazati koristeći se skicom sa slike 6. Dakle, ako neki ravninski objekt, poput pravokutnika, posjeduje dvije međusobno okomite osi simetrije, onda posjeduje i rotacijsku simetriju reda 2, a ako – poput kvadrata – posjeduje dvije osi simetrije pod kutom od $45^{\circ}$, onda posjeduje i rotacijsku simetriju reda 4.
Ponovno, budući da uzorak na zastavi može samo smanjiti stupanj simetrije zaključujemo: Zastave mogu imati samo rotacijske simetrije redova 1, 2 ili 4. Sa slike 5 vidimo da dekoracija (križ) švicarske zastave ne kvari njezinu simetriju te ona ima iste simetrije kao i kvadrat: četiri zrcalne simetrije s obzirom na četiri osi koje su u parovima pod kutovima $45^{\circ}$, dvije rotacijske simetrije reda 4 (s kutovima $90^{\circ}$ i $270^{\circ}$), jednu rotacijsku simetriju reda 2 i, kao i svi objekti oko nas, rotacijsku simetriju reda 1. Ukupno, dakle, imamo 8 simetrija i govorimo o simetriji tipa $D_4$. Dok gledamo čitave zastave, simetričnije od toga ne ide – kvadratni oblik je najsimetričniji oblik zastave, a dekoracije mogu samo smanjiti broj simetrija. Ukratko, švicarska je zastava najsimetričnija zastava neke države.
S obzirom na to da su zastave ograničene, one ne mogu posjedovati translacijsku simetriju, dakle zrcalne i rotacijske simetrije su jedini tipovi simetrija koji se mogu pojavljivati u zastavama. Pritom je broj osi simetrije 0, 1, 2 ili 4 (pri čemu se osi simetrije, ako ih je više od jedne, moraju sjeći u jednoj točki), a redovi rotacijske simetrije su 1, 2 ili 4. No, nije moguća svaka kombinacija tih brojeva. Već smo rekli da ako imamo dvije zrcalne simetrije, budući da im se osi moraju sjeći, automatski moramo imati rotacijsku simetriju reda različitog od 1. Time se tipovi simetrije zastava dijele u dvije kategorije:
- $D_n$ – imamo $n$ zrcalnih simetrija ($n=1, 2, 4$) te za $n>1$ zbog Eulerova teorema o rotacijama imamo i $n$ rotacijskih simetrija
- $C_n$ – nemamo zrcalnih simetrija, nego samo rotacijske simetrije reda $n$ ($n= 1, 2, 4$).
Ta kategorizacija specijalni je slučaj poznatog Leonardova teorema o simetrijama jer se pripisuje znamenitom Leonardu da Vinciju, koji ga je navodno prvi uočio: Ograničeni ravninski objekti kao tipove simetrije imaju isključivo tip $C_n$ ili $D_n$, gdje je $n$ prirodan broj ili – poput kruga – imaju beskonačno mnogo zrcalnih i rotacijskih simetrija (sa središtem svih rotacijskih simetrija u sjecištu svih osi simetrije). Sada znamo da nema drugih mogućnosti, pa je lako zaključiti kako odrediti tip simetrije ograničenog ravninskog objekta.
Ima li bar jednu zrcalnu simetriju?
- Ako ne, potrebno je pronaći najmanji kut za koji se može zaokrenuti oko jedne točke a da ne promijeni izgled. Ako je taj kut $360^{\circ}/n$, tip simetrije je $C_n$.
- Ako da, potrebno je pronaći najmanji kut za koji se može zaokrenuti oko jedne točke a da ne promijeni izgled. Ako je taj kut $360^{\circ}/n$, tip simetrije je $D_n$, a ako najmanji kut rotacijske simetrije ne postoji, imamo tip simetrije kruga.
Vratimo se zastavama. Dok samo švicarska zastava ima simetriju tipa $D_4$, puno zastava – primjerice, austrijska – pokazuju simetriju tipa $D_2$ ili pak kao primjerice njemačka zastava simetriju tipa $D_1$. Pokušajte pronaći bar još po pet primjera zastava tih simetrijskih tipova.
Hrvatska zastava posjeduje samo rotacijsku simetriju reda 1 (asimetrična je, kao i mnoge druge zastave – nađite ih još bar pet) te je njezin tip simetrije $C_1$. Ima li zastava s tipom simetrije $C_2$ ili $C_4$? Posljednje očito nema – da bismo imali tip simetrije $C_4$, moramo imati rotacijsku simetriju reda 4, što je moguće samo ako je oblik zastave kvadratan. No, jedine dvije kvadratne zastave su švicarska zastava s tipom simetrije $D_4$ i asimetrična vatikanska zastava ($C_1$). Simetriju tipa $C_2$ kod pravokutnih oblika najlakše uočimo promatrajući izgledaju li okoline dijagonalno nasuprotnih vrhova jednako a da pritom ne postoji zrcalna simetrija. Jedina zastava takve simetrije jest zastava Trinidada i Tobaga (slika 7).
Za kraj ovog izleta u svijet simetrija na zastavama promotrimo zasebno ukrase na zastavama (grbove, zvijezde i slično). Neki od njih pokazuju simetrije drugih tipova nego su mogući na zastavama. Primjerice (slika 8), na zastavi Nepala (koja je asimetrična, dakle ima tip simetrije $C_1$) imamo dva bijela ukrasa, od kojih je gornji tipa simetrije $D_1$, a donji tipa $D_{12}$ – donja zvijezda ima i zrcalne simetrije i rotacijsku simetriju reda 12 (ako ju zaokrenemo za 1/12 punog kuta, izgledat će jednako).
Literatura
- Tanja Debelec (2021.): Međupredmetno povezivanje matematike i geografije. Matematika i škola 108, 127–130.
- Hermann Weyl (1952.): Symmetry, Princeton University Press, Princeton.
- Worldometer: Flags of the world. https://www.worldometers.info/geography/flags-of-the-world/ (pristupljeno 29. studenoga 2023.)
[1] U ravnini je rotacijska simetrija reda 2 isto što i centralna simetrija te ju nije potrebno zasebno razmatrati.