O zlatnom rezu govorimo ako se manja veličina odnosi prema većoj kao veća prema njihovom zbroju:
$$
m : M = M : (m+M).
$$
Odatle slijedi
$$
M^2-mM-m^2=0.
$$Uz $x=\dfrac{M}{m}$, ova jednadžba prelazi u kvadratnu jednadžbu
$$
x^2-x-1=0
$$čija su rješenja
$$
x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
$$Pozitivno rješenje ove jednadžbe u cijelom ćemo članku označavati s $\Phi$:
$$
\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.
$$Prema tome, vrijedi
$$
\Phi^2-\Phi-1=0.
$$O zlatnom rezu može se pronaći mnoštvo raznih materijala: od strogo matematičkih članaka, preko vizualnih umjetnosti do popularnih tekstova. Poznati njemački astronom i matematičar Johannes Kepler (1571. – 1630.) napisao je :
Geometry has two great treasures: one is the theorem of Pythagoras, the other the division of a line in extreme and mean ratio. The first we may compare to a mass of gold, the second we may call a precious jewel.
K. Fink, A brief history of mathematics, an authorized translation of Dr. Karl Fink’s Geschichte der Elementar-Mathematik by W. W. Beman and D. E. Smith, The Open Court Publishing Company, Chicago 1900. str. 223.
u prijevodu:
Geometrija ima dva velika blaga: jedno je Pitagorin poučak, drugo podjela dužine u zlatnom rezu. Prvo možemo usporediti sa zlatom, drugo možemo zvati draguljem.
Cilj ovog članka jest pokazati vezu između Keplerovih dvaju blaga i trokuta koji nosi njegovo ime.
Keplerov trokut je trokut čije se stranice odnose u omjeru
$$
1 : \sqrt{\Phi} : \Phi.
$$Dakle, duljine stranica Keplerova trokuta su $k$, $k\sqrt{\Phi}$ i $k\Phi$ za neki pozitivan realni broj $k$. Kako je
$$
k^2+(k\sqrt{\Phi})^2=k^2(1+\Phi)=k^2\Phi^2=(k\Phi)^2,
$$obrat Pitagorina poučka povlači da je Keplerov trokut pravokutan. Očito nije svaki pravokutan trokut Keplerov, pa se pitamo kako se odnose stranice pravokutnog trokuta. Odgovor na to pitanje dat će nam Pitagorin poučak koji možemo napisati i u obliku
$$
\left(\frac{c}{a}\right)^2 = 1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2,
$$gdje su $a$ i $b$ duljine kateta, a $c$ duljina hipotenuze pravokutnog trokuta. Stavimo li $t=\dfrac{b}{a}$, tada je $\dfrac{c}{a}=\sqrt{1+t^2}$, pa zaključujemo da se stranice pravokutnog trokuta odnose u omjeru
\begin{equation}
1 : t : \sqrt{1+t^2}.\label{pravokutan}\tag{1}
\end{equation}
Uočimo da se u Keplerovu trokutu kraća kateta odnosi prema duljoj isto kao i dulja kateta prema hipotenuzi. Kako iz
$$
1 : t = t : \sqrt{1+t^2}
$$najprije dobivamo
$$
t^4-t^2-1=0,
$$a zatim $t=\sqrt{\Phi}$, zaključujemo da je Keplerov trokut jedini pravokutni trokut s tim svojstvom.
U pravokutnom trokutu $ABC$ visina $\overline{CD}$ iz vrha pravog kuta dijeli hipotenuzu na dva odsječka $\overline{AD}$ i $\overline{DB}$, čije su duljine redom $q$ i $p$. Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $p \leq q$. Prema Euklidovu poučku je $a^2=cp$ i $b^2=cq$, pa iz toga i \eqref{pravokutan} zaključujemo da je
$$
\begin{align}
p : q : c &= \frac{a^2}{c} : \frac{b^2}{c} : c = a^2 : b^2 : c^2 \\
&= 1 : t^2 : (1+t^2),
\end{align}
$$gdje je $t=\frac{b}{a}$. Tada je
$$
p : q = q : c \Longleftrightarrow t^4-t^2-1=0 \Longleftrightarrow t = \sqrt{\Phi}.
$$Odatle zaključujemo da visina iz vrha pravog kuta pravokutnog trokuta dijeli hipotenuzu u omjeru zlatnog reza ako i samo ako je taj trokut Keplerov.
Nadalje, za $a=k$, $b=k\sqrt{\Phi}$ i $c=k\Phi$ vrijedi
$$
\begin{align}
\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}&=\frac{1}{k^2\Phi}+\frac{1}{k^2\Phi^2} = \frac{\Phi+1}{k^2\Phi^2} \\
&= \frac{\Phi^2}{k^2\Phi^2} = \frac{1}{k^2}=\frac{1}{a^2},
\end{align}
$$pa svaki Keplerov trokut zadovoljava
\begin{equation}
\frac{1}{a^2} = \frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.\label{GPP}\tag{2}
\end{equation} Međutim, obrat nije istinit. Uočavamo da trokut čije stranice zadovoljavaju jednakost \eqref{GPP}, koja izgledom podsjeća na Pitagorin poučak, ne mora biti niti pravokutan: dovoljno je promotriti jednakokračan trokut kojemu je osnovica duljine 1, a kraci duljina $\sqrt{2}$. Prirodno je upitati se kako se odnose stranice trokuta koje zadovoljavaju jednakost \eqref{GPP}. Tu jednakost zapišimo u ekvivalentnom obliku
$$
\left(\frac{a}{b}\right)^2 + \left(\frac{a}{c}\right)^2=1.
$$Stavimo li opet $t=\dfrac{b}{a}$, tada iz ove jednakosti slijedi
$$
\frac{c}{a}=\frac{t}{\sqrt{t^2-1}},
$$pa se stranice tog trokuta odnose u omjeru
$$
1 : t : \frac{t}{\sqrt{t^2-1}}.
$$Taj je trokut pravokutan ako i samo ako je
$$
\begin{align}
\frac{t}{\sqrt{t^2-1}} = \sqrt{1 + t^2}
&\Longleftrightarrow t^4 – t^2 – 1 =0\\
&\Longleftrightarrow t = \sqrt{\Phi}.
\end{align}
$$Za $t = \sqrt{\Phi}$ je
$$
\frac{t}{\sqrt{t^2-1}} = \frac{\sqrt{\Phi}}{\sqrt{\Phi-1}} = \frac{\Phi}{\sqrt{\Phi^2-\Phi}} = \Phi.
$$Dakle, trokut čije stranice zadovoljavaju jednakost \eqref{GPP} je pravokutan ako i samo ako se njegove stranice odnose u omjeru
$$
1 : \sqrt{\Phi} : \Phi,
$$odnosno ako i samo ako je Keplerov.
Ukratko, izveli smo tri svojstva Keplerova trokuta koja ga karakteriziraju među pravokutnim trokutima:
- Pravokutan trokut čija se kraća kateta odnosi prema duljoj isto kao i dulja kateta prema hipotenuzi.
- Pravokutan trokut u kojem visina iz vrha pravog kuta dijeli hipotenuzu u zlatnom rezu.
- Pravokutan trokut za koji je recipročna vrijednost površine kvadrata nad jednom njegovom stranicom jednaka zbroju recipročnih vrijednosti površina kvadrata nad drugim dvjema stranicama.