Na primjeru nekoliko zadataka otvorenog tipa osmislili smo učenička istraživanja raznih podataka vezanih za kovanice u svijetu. Zašto je narušen omjer količina apoena euro centa tijekom godina? Jesu li sve kovanice okrugle? Gdje možete platiti Pulom?
Ključne riječi: geometrijski oblici kovanica, količine apoena u optjecaju
Istraživačko-projektni zadatci
Kako motivirati i pokrenuti učenike, kako ih zainteresirati za nastavu – pitanja su s kojima se svakodnevno susrećemo, barem u strukovnim školama gdje ponekad nedostaje visoko motiviranih učenika za učenje matematike.
Kao poticaj na samostalni rad, istraživanja, razmišljanja i vježbanje zaključivanja povremeno zadajem istraživačke/projektne zadatke koji nisu strogo vezani za matematičke pojmove i pravila, dokazivanja, već konkretnije pokazuju gdje će im matematika trebati u životu.
Rješavajući takve otvorene zadatke, učenici provode samostalna istraživanja, otkrivaju razne činjenice, obrađuju ih i kritički se osvrću na rezultate. Kod predstavljanja u razredu iznose zanimljive i iznenađujuće činjenice koje su pronašli te raspravljaju s ostalim učenicima.
Projektno-istraživački zadatak vezan za kovanice zadala sam početkom 2023. zbog uvođenja eura u Hrvatskoj. Moji učenici, u smjeru ekonomist, imaju više nastavnih predmeta vezanih za financijske teme iz područja struke pa sam htjela povezati već postojeća znanja s matematikom.
Dobili su zadatak istražiti kovanice u svijetu, odabrati neku zanimljivu, neobičnu, neočekivanu činjenicu, pripremiti prezentaciju i kratko izlaganje pred razredom. Imat ćete se prilike uvjeriti kako i vrlo jednostavni istraživački zadatci mogu dovesti do neočekivanih i nepredvidljivih rezultata i poveznica ako im učenici pristupe motivirano i angažirano.
Tri najuspješnija rada bila su: Količine kovanica u optjecaju, Apoeni te Oblici kovanica.
Količina kovanica u optjecaju
Jedan je učenik istraživao količine kovanica eura, odnosno koliko ih prosječno ima po stanovniku. Podatke je pronašao na European Central Bank (ECB) i izračunao da svakom od nas „pripada“ 94.61€ u 422 kovanice.
| siječanj 2023. | po stanovniku | |
|---|---|---|
| 1 cent | 38 920 770 958 | 113 |
| 2 centa | 30 418 322 233 | 88 |
| 5 centa | 23 720 418 314 | 69 |
| 10 centa | 16 758 109 067 | 49 |
| 20 centa | 13 165 740 166 | 38 |
| 50 centa | 6 980 934 520 | 20 |
| 1 euro | 8 082 631 262 | 23 |
| 2 euro | 7 240 548 325 | 21 |
| ukupno | 145 287 474 845 | 422 |
| stanovnika | 344 000 000 | |
| vrijednost po stanovniku | 94.61 € |
Izvor: https://www.ecb.europa.eu/home/html/index.en.html
Učenik je uočio da mu najviše „pripada“ kovanica od 1 i 2 centa – polovica ukupnog broja. Njegov je komentar bio da u novčaniku nema takvu strukturu kovanica pa je istraživao dalje.
| Postotni udio kovanica | ||
| siječanj 2002. | siječanj 2023. | |
|---|---|---|
| 1 cent | 16.08 % | 26.79 % |
| 2 centa | 15.32 % | 20.94 % |
| 5 centa | 15.09 % | 16.33 % |
| 10 centa | 14.6 % | 11.53 % |
| 20 centa | 12.48 % | 9.06 % |
| 50 centa | 11.18 % | 4.80 % |
| 1 euro | 9.04 % | 5.56 % |
| 2 euro | 6.20 % | 4.98 % |
 |
 |
Promjena udjela pojedinih apoena bolje se vidi u grafičkom prikazu za siječanj 2002. i siječanj 2023. – bitno su povećani udjeli apoena od 1 i 2 centa. Pokušao je dobiti odgovore u školi, na satu Bankarstva i računovodstva, ali nije bio zadovoljan, pa smo postavili pitanje i Centralnoj europskoj banci (nije mu odgovorila) i Hrvatskoj narodnoj banci koja nam je odgovorila:
Promjena udjela kovanica u optjecaju rezultat je evolucije njihovog neto izdavanja (razlika kovanica puštenih u optjecaj i vraćenih iz optjecaja). Kovanice od 1 i 2 centa imaju manju učestalost vraćanja iz optjecaja u odnosu na druge apoene zbog svoje niske nominalne vrijednosti/kupovne moći i zbog relativno visokih naknada za polaganje/obradu kovanica u nekim državama članicama europodručja, što ponekad čini njihovo vraćanje poslovnim bankama ekonomski neučinkovitim. Udjeli kovanica od 1 i 2 centa, nakon što su dosegli svoje najviše razine u optjecaju u 2019., počeli su se stabilizirati, pa čak i blago padati, razlog je uvođenje pravila zaokruživanja cijena na 5 centa u više država.
Apoeni
Drugi je učenik u svojem istraživanju uočio neobičnu nominalnu vrijednost kovanice u Azerbajdžanu – bilo mu je zanimljivo da imaju kovanicu vrijednosti 3 qapika, pa je istražio koliko ima mogućnosti za iznose vrijednosti od 1 do 10 u centima i qapiku. Zaključak učenika prvog razreda: Za iznose vrijednosti do 10 u valuti qapik imamo 35 mogućnosti, a u centima imamo 48 mogućnosti. Bolje je kad imamo više mogućnosti. 😉
| qapik | euro centi |
|---|---|
| 1=1 | 1=1 |
| 2=1+1 | 2=1+1 2=2 |
| 3=1+1+1 3=3 | 3=1+1+1 3=1+2 |
| 4=1+1+1+1 4=1+3 | 4=1+1+1+1 4=1+1+2 4=2+2 |
| 5=1+1+1+1+1 5=1+1+3 5=5 | 5=1+1+1+1+1 5=1+1+1+2 5=1+2+2 5=5 |
| 6=1+1+1+1+1+1 6=1+1+1+3 6=1+5 6=3+3 | 6=1+1+1+1+1+1 6=1+1+1+1+2 6=1+1+2+2 6=1+5 6=2+2+2 |
| 7=1+1+1+1+1+1+1 7=1+1+1+1+3 7=1+1+5 7=1+3+3 | 7=1+1+1+1+1+1+1 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+2+2 7=1+2+2+2 7=2+5 |
| 8=1+1+1+1+1+1+1+1 8=1+1+1+1+1+3 8=1+1+1+5 8=1+1+3+3 | 8=1+1+1+1+1+1+1+1 8=1+1+1+1+1+1+2 8=1+1+1+1+2+2 8=1+1+2+2+2 8=1+1+1+5 8=1+2+5 8=2+2+2+2 |
| 9=1+1+1+1+1+1+1+1+1 9=1+1+1+1+1+1+3 9=1+1+1+1+5 9=1+1+1+3+3 9=1+3+5 9=3+3+3 | 9=1+1+1+1+1+1+1+1+1 9=1+1+1+1+1+1+1+2 9=1+1+1+1+1+2+2 9=1+1+1+2+2+2 9=1+1+1+1+5 9=1+1+2+5 9=1+2+2+2+2 9=2+2+5 |
| 10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 10=1+1+1+1+1+1+1+3 10=1+1+1+1+1+5 10=1+1+1+1+3+3 10=1+1+3+5 10=1+3+3+3 10=5+5 10=10 | 10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 10=1+1+1+1+1+1+1+1+2 10=1+1+1+1+1+1+2+2 10=1+1+1+1+2+2+2 10=1+1+2+2+2+2 10=1+1+1+1+1+5 10=1+1+1+2+5 10=1+2+2+5 10=2+2+2+2+2 10=5+5 10=10 |
Jedan se rad bavio nominalnim vrijednostima kovanica. Izdvojio je kolumbijsku kovanicu od 1000 pesosa. U razrednoj raspravi uočili su da sve cijene moraju biti zaokružene na 5 pesosa (najmanja kovanica) i da za najveću kovanicu treba 200 najmanjih isto kao kod euro centi.
Učenici su pronašli i kovanice s razlomcima: Aruba (2½ florin) i Tajvan (1/2 yuan). Komentar u razredu: što im to u životu treba?!
 |
 |
Oblici kovanica
Učenik je istraživao raznovrsne oblike kovanica, a posebno je prikazao koje je sve mnogokute (zaobljene) pronašao kod kovanica.
| trokut | Bermudski otoci – Britansko prekomorsko područje – prigodno izdanje |  |
| kvadrat | Aruba |  |
| šesterokut | Australija – prigodno izdanje |  |
| šesterokut | Olimpijske igre 2024. – prigodno izdanje |  |
| sedmerokut | Bocvana |  |
| sedmerokut | Velika Britanija |  |
| osmerokut | Libanon |  |
| deveterokut | Filipini |  |
| deseterokut | Jamajka |  |
| jedanaesterokut | Češka |  |
| jedanaesterokut | Kanada |  |
| dvanaesterokut | Hrvatska |  |
| dvanaesterokut | Velika Britanija |  |
| dvanaesterokut | Australija |  |
| trinaesterokut | Tunis |  |
| petnaesterokut | Ujedinjeni Arapski Emirati |  |
Zanimljiv zadatak pojavio se na ispitima 2015. za učenike 12. razreda (17 i 18 godina) u Australiji i izazvao frustraciju: Novčić od 50 centi ima 12 jednakih strana. Ako stavite dva novčića jedan pored drugog na stol (vidi sliku), koliki je kut x između dva novčića?
Rješenja:
Dok sam provjeravala njihove poveznice, otvorila sam slučajno Bocvanu, državu u južnoj Africi i otkrila da im je novčana jedinica pula, što znači kiša (na jeziku plemena Tswana). Kiša im je dragocjena i blagoslov jer je 70 % zemlje pustinja Kalahari. Natpis ipelegeng, koji se pojavljuje na kovanicama, moto je zemlje i znači biti samostalan/neovisan.
Simpatično mi je bilo našaliti se kako je Pula jedini hrvatski grad koji ima u svijetu „svoje“ službene kovanice.
I zahvaljujući internetu, možete saznati zašto se gusjenica nalazi na najvećoj kovanici – to je mopane gusjenica leptira carskog moljca: lokalna poslastica, važan izvor proteina i bitan izvozni proizvod Bocvane. Ima i puno recepata za pripremu ovih gusjenica.
Ovakvi jednostavni istraživački zadatci omogućili su i vrlo uspješnu inkluziju učenika s teškoćama koji su se posebno potrudili pokazati kako i oni mogu ravnopravno sudjelovati u nastavi matematike i vrlo spremno su pokazivali pred drugima što su otkrili i zaključili.
Zadatci su bili dobro prihvaćeni među učenicima jer su imali inicijativu i veliku slobodu istraživanja, dolazili do neočekivanih i nepredvidljivih rezultata i poveznica i tako im je matematika postala realnija, povezanija sa stvarnim životom. Većina učenika je pristupala zadatcima motivirano i angažirano te im se jako svidjela takva „drukčija“ matematika.
LITERATURA
- https://www.thesprucecrafts.com (Coinage and Money Systems Around the World)
- https://www.ecb.europa.eu (European Central Bank (ECB))
- https://www.elymuseum.org.uk/wp-content/uploads/2020/07/Coin-shapes.pdf
- https://en.numista.com/catalogue/index.php?f=8&ct=coin