Krivulja Marije Agnesi

1. Uvod

Ovaj je članak proizašao iz završnog rada na preddiplomskom studiju matematike Fakulteta za matematiku Sveučilišta u Rijeci koji je izradila studentica Elena Mikulić pod mentorstvom doc. dr. sc. Milene Sošić. Iako je tema rada povezana s kolegijem Uvod u diferencijalnu geometriju, gdje se krivulje i plohe kao i njihova geometrijska svojstva proučavaju u $n$-dimenzionalnom realnom prostoru primjenom diferencijalnog i integralnog računa, u ovom će se radu krivulja Marije Agnesi proučavati geometrijskim i analitičkim pristupom, pri čemu će se detaljnije objasniti njezina svojstva i konstrukcija, ali i izvod jednadžbi kojima je određena u realnoj ravnini.

Krivulja Marije Agnesi dobila je naziv po talijanskoj matematičarki Mariji Agnesi koja je tu krivulju detaljnije opisala u svojoj knjizi Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana nazvavši ju versiera. Tu su krivulju i njezinu konstrukciju prethodno izučavali razni matematičari među kojima se ističu Fermat$^1$Pierre de Fermat (1601. – 1665.) bio je francuski odvjetnik i vladin dužnosnik. Najpoznatiji je po svom radu u teoriji brojeva i posebno po teoremu nazvanom posljednji Fermatov poučak u kojemu se tvrdi da ne postoje tri prirodna broja $x$, $y$ i $z$ koji zadovoljavaju jednadžbu ${z^n = x^n + y^n}$ ako je $n$ prirodni broj veći od dva. i Grandi$^2$Luigi Guido Grandi (1671. – 1742.) bio je talijanski redovnik, filozof, matematičar i inženjer koji se bavio geometrijom i hidraulikom. Zapravo, Grandi je 1703. godine konstruirao tu krivulji i zbog njezinog zvonolikog oblika dao joj na latinskom jeziku (službenom jeziku tadašnjih intelektualaca) naziv versoria, a na talijanskom jeziku versiera, čiji je naziv Agnesi preuzela i rabila u svojoj knjizi. Međutim, John Colson, koji je prethodno preveo Newtonovo$^3$Isaac Newton (1643. – 1727.) bio je najveći engleski matematičar svoje generacije. Postavio je temelje za diferencijalni i integralni račun. Njegov rad na optici i gravitaciji čini ga jednim od najvećih znanstvenika. djelo De Methodis Serierum et Fluxionum s latinskog na engleski jezik, prilikom prevođenja Agnesine knjige s talijanskog na engleski jezik pogrešno je shvatio izraz versiera zamjenivši ga nazivom versicra (witch = vještica) i tako preveo versiera na engleski jezik kao Witch of Agnesi (vještica Agnesija ili vještica Marije Agnesi). Ipak, iako se taj naziv rabi i u današnje vrijeme, na hrvatski jezik češće se prevodi u obliku krivulja Marije Agnesi kako se ujedno naziva i u ovom radu.

Ukratko, krivulja Marije Agnesi ravninska je krivulja zvonastog oblika određena eksplicitnom jednadžbom ${y=\dfrac{a^3}{x^2+a^2}}$, gdje je konstanta $a$ bilo koji realan broj različit od nule. Krivulja je definirana za sve realne brojeve, simetrična je u odnosu na $y$-os, nema nul-točaka i nalazi se između $x$-osi i pravca ${y=a}$, gdje je točka ${(0,a)}$ tjeme te krivulje, a $x$-os, odnosno pravac ${y=0}$ je njezina horizontalna asimptota, što će se detaljnije obrazložiti u ovom radu. U nastavku će se također objasniti izvod formule za izračunavanje površine između krivulje Marije Agnesi i njezine horizontalne asimptote i izvod formule za izračunavanje volumena rotacijskog tijela nastalog rotacijom krivulje oko njezine horizontalne asimptote.

Prije toga donosimo kratak životopis Marije Agnesi.

2. Maria Gaëtana Agnesi

Maria Gaëtana Agnesi bila je talijanska matematičarka rođena 16. svibnja 1718. i umrla 9. siječnja 1799. u Milanu (Italija) koji je tada pripadao Habsburškom Carstvu. Poznata je po svom radu u području diferencijalnog računa i po krivulji koja se danas naziva krivulja Marije Agnesi (versiera, versoria, vještica Agnesija, vještica Marije Agnesi), što će se u nastavku detaljnije obrazložiti. Također, Marija Agnesi poznata je i kao prva žena koja je objavila knjigu iz matematike i prva žena imenovana profesoricom matematike na nekom sveučilištu.

Marija Agnesi rođena je u imućnoj obitelji, u čijem su se domu na poticaj njezina oca okupljali neki od najistaknutijih intelektualaca onoga doba. Pokazivala je još u ranoj dobi izvanredne talente za filozofiju i znanost te je tečno govorila grčki, latinski, hebrejski, francuski i španjolski, stoga se s lakoćom uključivala u rasprave na latinskom, tadašnjem jeziku obrazovanih. U dobi od devet godina prevela je s talijanskog na latinski jezik članak jednog od svojih učitelja, u kojemu se zastupa stav da žene treba obrazovati i posebice visoko obrazovati. Marija Agnesi u suštini je bila vrlo skromna i sramežljiva djevojka koja je željela postati redovnicom. Iako je bila visoko obrazovana, nije voljela javno govoriti, ali je uvijek slijedila očeve želje pa se na njegov nagovor uključivala u znanstvene rasprave na skupovima intelektualaca organiziranih u njihovu domu. Bila je privržena Newtonovoj filozofiji te je samostalno proučavala matematiku. Godine 1738. objavila je Propositiones Philosophicae, kolekciju eseja o filozofiji i prirodnim znanostima utemeljenu na skoro dvjestotinjak teza koje je Agnesi iznosila i branila u raspravama s međunarodnim i domaćim intelektualcima tog vremena koji su se okupljali u njezinom domu.

Na poticaj matematičara Ramira Rampinellija$^4$Ramiro Lodovico Rampinelli (1697. – 1759.) bio je član Olivetanskog reda i profesor matematike u Rimu i Bologni, najpoznatiji kao učitelj Marije Gaetane Agnesi. Doživio je procvat u Italiji početkom 18. stoljeća u vrijeme kada su veliki dio matematičkog učenja vodili intelektualci iz vjerskih i redovničkih redova., čestog gosta u kući Agnesi, Marija Agnesi napisala je na talijanskom jeziku matematičku knjigu u dva sveska pod nazivom Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana na više od tisuću stranica. Prvi svezak obuhvaća aritmetiku, algebru, trigonometriju i analitičku geometriju, a drugi diferencijalni i integralni račun. Svesci nisu istovremeno objavljeni, njezin prvi svezak objavljen je 1748. godine, a drugi sljedeće godine.

Iako ova knjiga nije utemeljena na novim matematičkim otkrićima i saznanjima (Agnesi je u njoj okupila djela raznih matematičara), ona je po svojoj jasnoći, preciznosti i sustavnosti postigla veliki uspjeh i postala prava senzacija u akademskim okruženjima, što se može iščitati i iz Izvješća francuske akademije znanosti Académie des Sciences$^5$Akademiju je u Parizu 1666. godine osnovao Jean-Baptiste Colbert koji je po svom programu ekonomske rekonstrukcije bio uvelike zaslužan da je Francuska postala vodećom silom u Europi. Članovi osnovane Académie des Sciences bili su intelektualci tog doba koji su se redovito sastajali i prije njezina osnivanja dopisivali s eminentnim ličnostima kao što su Descartes, Desargues, Fermat, Etienne Pascal, Blaise Pascal, Gassendi, Roberval i Galileo., gdje se navodi:

Bilo je potrebno mnogo vještine i mudrosti da se, kao što je autorica učinila, ta otkrića razasuta među djelima modernih matematičara svedu na gotovo jedinstvene metode i često prezentiraju metodama koje se međusobno vrlo razlikuju. Red, jasnoća i preciznost vladaju u svim dijelovima ovog djela. (…)

Smatramo je najpotpunijom i najbolje napisanom raspravom.

Knjiga je prevedena na nekoliko jezika i upotrebljavala se kao udžbenik. Pritom treba istaknuti da je ova knjiga ujedno prvo matematičko djelo koje je napisala žena te da su ovom knjigom po prvi put u diferencijalnom računu uključene metode računanja Isaaca Newtona i Gottfrieda Liebnitza. Kao priznanje za Agnesina postignuća u području matematike, 1750. godine ponuđeno joj je da prihvati katedru matematike na Sveučilištu u Bologni. Povijesni zapisi ne odgovaraju na pitanje je li Agnesi prihvatila ili odbila ovu ponudu, ali je poznato da ona nije nikada otišla u Bolognu. No, neovisno o tome, njezino imenovanje profesoricom matematike na Sveučilištu u Bologni službeno je potvrđeno priopćenjem Pape Benedikta XIV. u listopadu 1750. godine.

Iz povijesnih zapisa dolazi se do saznanja da Agnesi u potpunosti napušta svjetovne zabave, balove i kazališta, odijeva se jednostavno i ponizno, redovito odlazi u crkvu i pomaže starijim bolesnim ženama. Istovremeno udovoljava očevim željama te aktivno sudjeluje u filozofskim, znanstvenim i matematičkim raspravama s intelektualcima tog doba okupljenih u domu njezina oca, gdje je bez poteškoća s gracioznošću i prodornošću postavljala ili odgovarala na pitanja vezana za znanstvene i matematičke probleme.

Nakon očeve smrti 1752. godine Agnesi se potpuno posvetila dobrotvornom radu i proučavanju katoličkog nauka te je kao religiozna žena ostatak života posvetila siromašnima, patnicima, beznadno bolesnima, dementnima i beskućnicima. Najprije je u kući svoga pokojnog oca osnovala dom za stare nemoćne žene, a kasnije je i u drugim kućama osnovala domove za siromašne i bolesne. Agnesi je potrošila sav svoj novac na dobrotvorni rad, živjela je među onima kojima je služila u domu za starije osobe, gdje je i umrla u potpunom siromaštvu.

Iako Marija Agnesi očito nije težila biti poznatom matematičarkom, ipak je dala velik doprinos razvoju matematičke znanosti. Bila je prva matematičarka koja je objavila knjigu i njome postigla velik uspjeh u akademskim okruženjima zbog njezinog prepoznatljivog preciznog i sustavnog načina objašnjavanja matematičkih pojmova potkrijepljenih mnoštvom primjera.
Također, u tadašnje vrijeme, kada je latinski jezik bio službeni jezik znanstvenika, Agnesi je napisala knjigu na talijanskom jeziku iako se savršeno služila latinskim, čime je dodatno dala doprinos prepoznatljivosti i razvoju talijanske akademske zajednice. Zalagala se da žene budu visoko obrazovane i ravnopravno uključene u sva znanstvena zvanja koja su do tada uglavnom ,,bila predodređena” samo muškarcima. No, neovisno o njezinim talentima, vodila je prilično skroman život, vrlo je rano odustala od matematike i više se angažirala u dobrotvornom radu sa siromašnima i potrebitima. Možda, njezin život na prvi pogled izgleda nezanimljivo, međutim, obzirom na okolnosti tadašnjeg vremena, njezina su postignuća u matematici veličanstvena.

3. Konstrukcija krivulje Marije Agnesi i izvod njezinih jednadžbi

U ovom odjeljku detaljnije će se objasniti konstrukcija krivulje Marije Agnesi, a zatim obzirom na opisanu konstrukciju krivulje, obrazložit će se izvod njezinih parametarskih jednadžbi$^6$Parametarske jednadžbe ravninske krivulje iskazuju se sustavom jednadžbi $x=x(t)$ i $y=y(t)$, gdje obje varijable $x$ i $y$ ovise o istom parametru (varijabli), stoga kažemo da su $x$ i $y$ realne funkcije realne varijable. iz kojih će se nadalje izvesti njezina odgovarajuća eksplicitna$^7$$y=f(x)$ je opći oblik eksplicitne jednadžbe ravninske krivulje, gdje varijabla $y$ ovisi o varijabli $x$, stoga kažemo da je $y$ realna funkcija realne varijable $x$.kao i implicitna$^8$$F(x,y)=0$ je opći oblik implicitne jednadžbe ravninske krivulje, gdje su $x$ i $y$ međusobno neovisne varijable. jednadžba.

Prije toga, navedimo da se u pravokutnom Kartezijevu koordinatnom sustavu ravnine krivulja Marije Agnesi najčešće određuje eksplicitnom jednadžbom oblika \begin{equation}
y=\dfrac{a^3}{x^2+a^2}.\tag{1}\label{jkMA}
\end{equation}
Obzirom na obrazloženu konstrukciju krivulje Marije Agnesi (vidi odjeljak 3.1.) jednadžbu \eqref{jkMA} modificirat ćemo sljedećom jednadžbom
\begin{equation}
y=\dfrac{8a^3}{x^2+4a^2}\tag{2}\label{ejk}
\end{equation}
(koja će se ujedno primijeniti u ovom radu), gdje je konstanta ${a\in\mathbb{R}\backslash \{0}\}$ bilo koji realan broj različit od nule.
Pritom se podrazumijeva, krivulja Marije Agnesi određena jednadžbom \eqref{ejk} grafički je prikaz realne funkcije realne varijable
\begin{equation}
f(x)=\dfrac{8a^3}{x^2+4a^2}\tag{3}\label{fk}
\end{equation}
definirane za sve realne brojeve. Iz \eqref{fk} direktno proizlazi da funkcija $f$ nema nul-točaka.

Nadalje, budući da vrijedi ${f(-x)=\dfrac{8a^3}{(-x)^2+4a^2}=\dfrac{8a^3}{x^2+4a^2}=f(x)}$ za svaki ${x\in\mathbb{R}}$, zaključujemo da je $f$ parna funkcija, što ima za posljedicu da je krivulja Marije Agnesi simetrična u odnosu na $y$-os, pri čemu je točka ${(0,2a)}$ njezino tjeme. Također, obzirom na eksplicitnu jednadžbu krivulje Marije Agnesi može se pokazati da se ona približava $x$-osi kada $x$ teži prema negativnoj ili pozitivnoj beskonačnosti (tj. $-\infty$ ili $+\infty$), stoga je $x$-os horizontalna asimptota krivulje Marije Agnesi. Iz rečenog proizlazi da se krivulja Marije Agnesi određena jednadžbom \eqref{ejk} nalazi između $x$-osi i pravca ${y=2a}$, ${a\in\mathbb{R}\backslash \{0\}}$ koji je ujedno tangenta u tjemenu ${(0,2a)}$ krivulje Marije Agnesi. Ovisno o predznaku konstante ${a\ne 0}$ funkcija $f$ poprima samo strogo pozitivne ili samo strogo negativne realne vrijednosti.

Konkretno, ako je ${a>0}$, onda funkcija $f$ poprima samo strogo pozitivne realne vrijednosti, što ima za posljedicu da je krivulja Marije Agnesi iznad $x$-osi i ispod pravca ${y=2a}$, vidi sliku 1. S druge strane, ako je ${a<0}$, onda funkcija $f$ poprima samo strogo negativne realne vrijednosti pa se krivulja Marije Agnesi nalazi ispod $x$-osi i iznad pravca ${y=-2|a|}$, vidi sliku 2.

Primjenom diferencijalnog računa (koji se ovdje neće razmatrati, ali je u [3] detaljnije razrađen za ${a>0}$) pokazuje se da za funkciju \eqref{fk} vrijede sljedeća svojstva.

1. Ako je ${a>0}$, onda funkcija $f$ raste na ${\left\langle -\infty, 0\right\rangle}$ i pada na ${\left\langle 0, +\infty\right\rangle}$, stoga funkcija $f$ ima maksimim u ${x=0}$. Drugim riječima, tjeme ${(0,2a)}$ je ujedno i maksimum krivulje Marije Agnesi.
   Funkcija $f$ je konkavna na intervalu ${\left\langle -\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}, \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\right\rangle}$ i konveksna na ${\left\langle -\infty, -\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\right\rangle \cup \left\langle \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}, +\infty\right\rangle}$.
2. Ako je ${a<0}$, onda funkcija $f$ pada na ${\left\langle -\infty, 0\right\rangle}$ i raste na ${\left\langle 0, +\infty\right\rangle}$, stoga je tjeme ${(0,-2|a|)}$ ujedno i minimum krivulje Marije Agnesi. Funkcija $f$ je konveksna na intervalu ${\left\langle -\dfrac{2|a|\sqrt{3}}{3}, \dfrac{2|a|\sqrt{3}}{3}\right\rangle}$ i konkavna na ${\left\langle -\infty, -\dfrac{2|a|\sqrt{3}}{3}\right\rangle \cup \left\langle \dfrac{2|a|\sqrt{3}}{3}, +\infty\right\rangle}$.
   

U oba slučaja su ${\left( -\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}, \dfrac{3a}{2}\right)}$ i ${\left( \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}, \dfrac{3a}{2}\right)}$ točke infleksije.

Usporedbom slika 1 i 2 možemo primijetiti kako je krivulja Marije Agnesi za bilo koji ${-a>0}$ simetrična s krivuljom Marije Agnesi za ${a>0}$ u odnosu na $x$-os, stoga se u jednadžbi \eqref{ejk} najčešće pretpostavlja da je ${a>0}$.

Ako je ${a>0}$, onda je krivulja Marije Agnesi po svom obliku slična Gaussovoj krivulji$^9$Krivulja je nazvana po njemačkom geodetu, matematičaru, fizičaru i astronomu Carlu Friedrichu Gaussu (1777. – 1855.) svestranom matematičkom geniju i jednom od najvećih matematičara uopće. određenoj jednadžbom ${y=e^{-x^2} }$ koja se zbog njezine primjene u teoriji vjerojatnosti naziva i krivuljom vjerojatnosti, vidi [5].

3.1. Konstrukcija krivulje Marije Agnesi

Konstrukcija krivulje Marije Agnesi popraćena je odgovarajućim slikama izrađenih s pomoću besplatne mrežne aplikacije GeoGebre [7] , a započinje na sljedeći način.

U pravokutnom Kartezijevu koordinatnom sustavu ravnine, kojemu je točka $O(0,0)$ ishodište, na pozitivnom dijelu $y$-osi odaberimo točku $S(0,a)$, ${a>0}$ različitu od ishodišta, a potom nacrtajmo kružnicu $k$ sa središtem u točki $S$ polumjera ${r=d(O,S)=a}$ koja je određena sljedećom jednadžbom \begin{equation}x^2+(y-a)^2=a^2.\tag{4}\label{jkr}\end{equation} Kružnica $k$ siječe $y$-os u ishodištu $O(0,0)$ i točki $M(0,2a)$, stoga je njihova udaljenost jednaka promjeru te kružnice i pišemo ${d(O,M)=2a}$.

Nadalje, na kružnici $k$ odaberimo proizvoljnu točku $A(x_1,y_1)$ različitu od ishodišta $O$, a zatim ishodištem $O$ i točkom $A$ povucimo pravac$^{10}$U slučaju kada je proizvoljna točka $A(x_1,y_1)$ jednaka ishodištu, taj pravac je jednak $x$-osi koja je ujedno tangenta u ishodištu kružnice $k$, stoga se ovaj slučaj ne razmatra u navedenoj konstrukciji. koji nazivamo sekantom $s$ na kružnicu $k$. U točki $M(0,2a)$ kružnice $k$ postavimo tangentu $t$ i označimo točkom $N$ presjek sekante $s$ i tangente $t$, vidi sliku 3.

Uzimajući u obzir da je tangenta $t$ u točki $M(0,2a)$ kružnice $k$ paralelna s $x$-osi, direktno proizlazi da je ona određena jednadžbom ${y=2a}$. Primjenom poznate formule za određivanje jednadžbe pravca koji prolazi dvjema različitim točkama ravnine, dobivamo da je sekanta na kružnicu $k$ kroz ishodište $O(0,0)$ i točku $A(x_1,y_1)$ različitu od ishodišta određena jednadžbom
\begin{equation}
y=\dfrac{y_1}{x_1}x,\tag{5}\label{sek}
\end{equation}
gdje su ${x_1\ne 0}$, ${y_1\ne 0}$ realni brojevi (koordinate točaka $(x_1,y_1)$ na kružnici $k$) za koje vrijedi identitet
\begin{equation}
x_1^2+(y_1-a)^2=a^2.\tag{6}\label{koorkr}
\end{equation}
Ovdje treba naglasiti, iako su ishodište ${O(0,0)}$ i točka ${M(0,2a)}$ također točke na kružnici $k$ čije koordinate zadovoljavaju identitet \eqref{koorkr}, one se izostavljaju u jednadžbi \eqref{sek} jer je jednadžba \eqref{sek} dobro definirana samo za one točke kružnice $k$ čija je apscica $x_1$ različita od nule$^{11}$Za sve točke $(x_1,y_1)$ razmatrane kružnice $k$ za koje je ${x_1\ne 0}$ ujedno vrijedi da je i ${y_1>0}$, stoga jednadžba \eqref{sek} može biti razmatrana kao jednadžba familije svih pravaca koji prolaze ishodištem osim koordinatnih osi; podsjećamo ${y=0}$ je jednadžba $x$-osi, a ${x=0}$ je jednadžba $y$-osi. Zapravo, ishodište ${O(0,0)}$ je direktno izostavljeno pretpostavkom da je točka $A(x_1,y_1)$ na kružnici $k$ različita od ishodišta. S druge strane, uvjetom ${x_1\ne 0}$ u jednadžbi \eqref{sek} izostavlja se točka ${M(0,2a)}$ kružnice $k$ jer jednadžba \eqref{sek} nije definirana za koordinate ${x_1=0}$ i ${y_1=2a}$ točke ${M(0,2a)}$. Time se nameće potreba određivanja jednadžbe sekante na kružnicu $k$ kroz ishodište i točku ${M(0,2a)}$. Koristeći se svojstvom da su apscise točke $M(0,2a)$ i ishodišta ${O(0,0)}$ jednake nuli, odnosno da su to dvije točke na $y$-osi, zaključujemo da je sekanta kroz ishodište i točku $M(0,2a)$ određena jednadžbom $y$-osi, odnosno jednadžbom ${x=0}$.

Dakle, jednadžbom \eqref{sek} određene su sve sekante kroz ishodište i bilo koju proizvoljnu točku ${A(x_1,y_1)\ne O(0,0)}$ na kružnici $k$ različitu od točke $M(0,2a)$, a jednadžbom ${x=0}$ određena je sekanta kroz ishodište i točku $M(0,2a)$, stoga pri određivanju koordinata presjeka razmatranih sekanti i tangente ${t\, \dots\, y=2a}$ treba razlikovati sljedeća dva slučaja.

1. Ako je ${A(x_1,y_1)\ne O(0,0)}$ proizvoljna točka na kružnici $k$ različita od točke $M(0,2a)$, onda je svaka sekanta kroz ishodište i točku $A$ određena jednadžbom \eqref{sek}, stoga rješavanjem sustava jednadžbi ${y=\dfrac{y_1}{x_1}x}$ i ${y=2a}$ dobivamo da su ${x=\dfrac{2ax_1}{y_1}}$ i ${y=2a}$ njegova rješenja, gdje je ${y_1>0}$.
   Time je bilo koja varijabilana točka ${N\left(\dfrac{2ax_1}{y_1}, 2a\right)}$ osim točke $(0,2a)$ na tangenti $t$ traženi presjek tangente ${t\, \dots\, y=2a}$ i odgovarajuće sekante određene jednadžbom \eqref{sek}.
2. Ako je točka $A{(x_1,y_1)}$ na kružnici $k$ jednaka točki $M(0,2a)$, onda je ${x_1=0}$ i ${y_1=2a}$. U ovom slučaju je točka $N_1(0,2a)$ presjek sekante ${s\, \dots\, x=0}$ kroz ishodište i točku $A(0,2a)$ sa zadanom tangentom ${t\, \dots\, y=2a}$, čime je ${N_1(0,2a)=A(0,2a)=M(0,2a)}$.

Uspoređivanjem apscisa dobivenih točaka ${N\left(\dfrac{2ax_1}{y_1}, 2a\right)}$ i $N_1(0,2a)$ iz prvog i drugog slučaja lako se može uočiti da se apscisa točke $N_1$ može dobiti iz apscise točke $N$ u specijalnom slučaju kada je ${A(0,2a)=M(0,2a)}$ jer za ${x_1=0}$ proizlazi ${\dfrac{2ax_1}{y_1}=0}$.

Na taj način, neovisno o prethodno navedenim jednadžbama sekanti na kružnicu $k$, mogu se promatrati samo koordinate točke ${N\left(\dfrac{2ax_1}{y_1}, 2a\right)}$ u ovisnosti o koordinatama proizvoljne točke ${A(x_1,y_1)\ne O(0,0)}$ na kružnici $k$. Drugim riječima, promatraju se sve točke ${N\left(\dfrac{2ax_1}{y_1}, 2a\right)}$ na tangenti ${t\, \dots\, y=2a}$ čiji položaj na tangenti $t$ ovisi o položaju točke ${A(x_1,y_1)\ne O(0,0)}$ na kružnici $k$, pri čemu je za ${x_1=0}$ točka $N$ jednaka točki $A$.

Označimo sa $p_1$ pravac paralelan s $x$-osi koji prolazi točkom $A(x_1,y_1)$ i sa $p_2$ pravac paralelan s $y$-osi koji prolazi točkom ${N\left(\dfrac{2ax_1}{y_1}, 2a\right)}$. Tada je ${y=y_1}$ jednadžba pravca $p_1$, a ${x=\dfrac{2ax_1}{y_1}}$ jednadžba pravca $p_2$.
Označimo li točkom $P$ presjek pravaca $p_1$ i $p_2$, tada iz njihovih jednadžbi proizlazi da su ${x=\dfrac{2ax_1}{y_1}}$ i ${y=y_1}$ koordinate točke $P$ i pišemo: ${P\left(\dfrac{2ax_1}{y_1},y_1\right)}$.

Tako dobivena točka $P$ je točka koja pripada krivulji Marije Agnesi, vidi sliku 4. Dakle, točke krivulje Marije Agnesi one su točke ravnine koje su ujedno presjeci odgovarajućih prethodno konstruiranih pravaca $p_1$ i $p_2$ čije jednadžbe ovise o vrijednostima koordinata varijabilne točke $A(x_1,y_1)$ kružnice $k$, gdje je točka $A$ različita od ishodišta.

Drugim riječima,

• krivulju Marije Agnesi čini skup svih točaka ravnine za koje vrijedi da im je apscisa jednaka apscisi točke ${N\left(\dfrac{2ax_1}{y_1},2a\right)}$ i da im je ordinata jednaka ordinati točke $A(x_1,y_1)$, gdje je $A$ bilo koja točka kružnice $k$ sa središtem u točki $S(0,a)$ polumjera ${r=a}$ (${a>0}$) koja je različita od ishodišta pravokutnog Kartezijeva koordinatnog sustava ravnine.

Dakle, položaj točke $P$ na krivulji Marije Agnesi direktno ovisi o položaju točke $A$ na kružnici $k$, odnosno njezinom gibanju po kružnici $k$, što je dodatno popraćeno slikama 5, 6 i 7, gdje se pretpostavlja da se točka $A$ po kružnici $k$ giba u negativnom smjeru$^{12}$Negativan smjer rotacije je slijeva udesno, odnosno u smjeru vrtnje kazaljke na satu. od ishodišta čineći puni krug prema ishodištu. Pritom treba naglasiti da se pod iskazom ,,gibanje točke $A$ po kružnici $k$ od ishodišta” misli na točku koja je slijeva na kružnici ,,vrlo bliska” ishodištu, ali nije ishodište. Naime, svakoj je točki na kružnici $k$ osim ishodištu pridružena odgovarajuća točka na krivulji Marije Agnesi, stoga se u tom kontekstu promatra i gibanje točke $A$ po kružnici $k$. Pokušavajući zornije pojasniti, uvedimo najprije termine lijeva i desna polukružnica. Pritom se pod lijeva (desna) polukružnica podrazumijeva polukružnica kružnice $k$ koja je slijeva (zdesna) u odnosu na $y$-os. Pretpostavimo li da se točka $A$ giba po lijevoj polukružnici počevši od točke $M(0,2a)$ prema ishodištu u pozitivnom smjeru$^{13}$Pozitivan smjer rotacije je zdesna ulijevo, odnosno u smjeru suprotnom od vrtnje kazaljke na satu., tada (obzirom na opisanu konstrukciju točke na krivulji Marije Agnesi) proizlazi da se krivulja Marije Agnesi asimptotski približava negativnoj beskonačnosti $x$-osi, što se može vidjeti i na slici 5. Potrebno je obzirom na navedeno gibanje točke $A$ po kružnici $k$ najprije promatrati donji, a zatim gornji dio te slike.

Analogno, ako se točka $A$ giba po desnoj polukružnici prema ishodištu u negativnom smjeru, onda se krivulja Marije Agnesi asimptotski približava pozitivnoj beskonačnosti $x$-osi, što se može vidjeti na slici 6. Potrebno je obzirom na navedeno gibanje točke $A$ po kružnici $k$ najprije promatrati gornji, a zatim donji dio te slike.

Time je $x$-os ujedno i horizontalna asimptota krivulje Marije Agnesi. Slikama 5 i 6 u danom redoslijedu od njezinih gornjih prema donjim dijelovima prikazana je postupna konstrukcija krivulje Marije Agnesi u ovisnosti o gibanju točke ${A(x_1,y_1)\ne O(0,0)}$ po kružnici $k$ u negativnom smjeru od ishodišta čineći puni krug prema ishodištu. Pritom su koordinate ${x=\dfrac{2ax_1}{y_1}}$ i ${y=y_1}$ točaka $P$ na krivulji Marije Agnesi pridružene tako da rastućim apscisama ${x\in\left\langle -\infty, 0\right]}$ odgovaraju rastuće ordinate ${y\in\left\langle 0, 2a\right]}$ i da rastućim apscisama ${x\in \left[0,+\infty\right\rangle}$ odgovaraju padajuće ordinate ${y\in\left[2a, 0 \right\rangle}$, stoga je tjeme ${M(0,2a)}$ krivulja Marije Agnesi ujedno i njezin maksimum, vidi sliku 7.

Opisana konstrukcija izrađena u donjoj GeoGebri, čitatelju omogućuje aktivno sudjelovanje u pokretanju/zaustavljanju konstrukcije krivulje Marije Agnesi za vrijednost (polumjera kružnice) konstante ${a=1}$.

3.2. Izvod jednadžbi krivulje Marije Agnesi

U pravokutnom Kartezijevu koordinatnom sustavu ravnine krivulja Marije Agnesi najčešće se određuje odgovarajućom eksplicitnom ili implicitnom jednadžbom. Međutim, ona se može odrediti i odgovarajućim parametarskim jednadžbama koje ćemo u nastavku izvesti koristeći se prethodno opisanom konstrukcijom krivulje Marije Agnesi.

Dakle, pokušavajući odrediti parametarske jednadžbe krivulje Marije Agnesi i koristeći se činjenicom da su u parametarskim jednadžbama varijable $x$ i $y$ zapravo realne funkcije koje ovise o istom parametru (varijabli), u nastavku ćemo koordinate varijabilne točke ${P\left(\dfrac{2ax_1}{y_1},y_1\right)}$ na krivulji Marije Agnesi označiti s $x$ i $y$, stoga ćemo točku $P$ pisati u obliku $P(x,y)$, gdje je ${y>0}$.

Nadalje, koristeći se navedenim svojstvom krivulje Marije Agnesi, prema kojemu za sve njezine točke vrijedi da im je apscisa jednaka apscisi točke ${N\left(\dfrac{2ax_1}{y_1},2a\right)}$ i da im je ordinata jednaka ordinati točke ${A(x_1,y_1)\ne O(0,0)}$ na kružnici $k$, u nastavku ćemo točke $N$ i $A$ pisati u obliku $N(x,2a)$ i $A(x_1,y)$, gdje je ${y>0}$.

Podsjećamo da je $k$ kružnica sa središtem u točki $S(0,a)$ polumjera ${r=a}$ (${a>0}$) određena jednadžbom \eqref{jkr}, $t$ je tangenta u točki ${(0,2a)}$ kružnice $k$ određena jednadžbom ${y=2a}$, a točka $N$ presjek je tangente $t$ i sekante $s$ na kružnicu $k$ kroz ishodište i točku $A$ različitu od ishodišta, kako je prikazano slici 8.

$\def\ctg{\,\mathrm{ctg}}\def\arcctg{\,\mathrm{arcctg}}$

Označimo s $\varphi$ kut između tangente $t$ i sekante $s$ ($\varphi$ je jednak kutu između pozitivnog dijela $x$-osi i sekante $s$) i nadalje označimo točkom $A_1$ nožište okomice iz točke $A$ na $x$-os i točkom $N_1$ nožište okomice iz točke $N$ na $x$-os. Pretpostavimo li da je $\varphi$ šiljasti kut, tada u odnosu na kut $\varphi$ razlikujemo dva pravokutna trokuta $NON_1$ i $AOA_1$. Pritom je ${d(O,N_1)=x}$ duljina priležeće katete kuta $\varphi$, a ${d(N_1,N)=2a}$ duljina nasuprotne katete kuta $\varphi$ pravokutnog trokuta $NON_1$ i analogno je ${d(O,A_1)=x_1}$ duljina priležeće katete kuta $\varphi$, a ${d(A_1,A)=y}$ duljina nasuprotne katete kuta $\varphi$ pravokutnog trokuta $AOA_1$, vidi sliku 8. Primjenom definicije trigonometrijske funkcije kotangensa za šiljasti kut $\varphi$ u pravokutnom trokutu $NON_1$ dobivamo da se apscisa točke $N$, a time i apscisa točke $P$ na krivulji Marije Agnesi može pisati u obliku
\begin{equation}
x=2a\ctg{\varphi}.\tag{7}\label{Pctg}
\end{equation}

Analogno, primjenom definicije trigonometrijske funkcije kotangensa za šiljasti kut $\varphi$ u pravokutnom trokutu $AOA_1$ dobivamo da se apscisa točke $A$ na kružnici $k$ može pisati u obliku
\begin{equation}
x_1=y\ctg{\varphi}. \tag{8}\label{Actg}
\end{equation} Koristeći se činjenicom da se identitetom ${\varphi_1=\pi-\varphi}$ svakom šiljastom kutu ${0<\varphi < \dfrac{\pi}{2}}$ može pridružiti odgovarajući tupi kut ${\dfrac{\pi}{2}<\varphi_1 <\pi}$ te da za trigonometrijsku funkciju kotangens vrijedi ${\ctg{\varphi}=-\ctg{(\pi-\varphi)}}$, zaključujemo da su identiteti \eqref{Pctg} i \eqref{Actg} dobro definirani za svaki ${\varphi\in \langle 0,\pi\rangle}$. Odredimo sada ordinatu točke $A(x_1,y)$ na kružnici $k$ koja je ujedno jednaka ordinati točke $P(x,y)$ na krivulji Marije Agnesi. Budući da je kružnica $k$ određena jednadžbom \eqref{jkr}, za koordinate $x_1$ i $y$ točke $A$ na kružnici $k$ vrijedi ${x_1^2+(y-a)^2=a^2}$, odakle primjenom identiteta \eqref{Actg} proizlazi ${y^2 \ctg^2{\varphi}+y^2-2ay+a^2=a^2}$, odnosno ${y^2\,(\ctg^2{\varphi}+1) -2ay=0}$, što se može pisati u obliku
\begin{equation}
\dfrac{y^2}{\sin^2{\varphi}}-2ay=0,\tag{9}\label{ykr}
\end{equation}
gdje se primjenom svojstva ${\ctg{x}=\dfrac{\cos x}{\sin x}}$ dobiva ${\ctg^2{\varphi}+1=\dfrac{\cos^2 {\varphi}}{\sin^2 {\varphi}}+1=\dfrac{\cos^2 {\varphi}+\sin^2 {\varphi}}{\sin^2 {\varphi}}=\dfrac{1}{\sin^2 {\varphi}}}$.

Ako jednadžbu \eqref{ykr} pomnožimo sa ${\sin^2 {\varphi}}$, gdje je ${\sin^2 {\varphi}\ne 0}$ za svaki ${\varphi\in \langle 0,\pi\rangle}$, dobivamo jednadžbu $$y^2-2ay\sin^2{\varphi}=0$$ čiju lijevu stranu možemo nadopuniti na potpuni kvadrat na sljedeći način $$y^2-2ay\sin^2{\varphi}+a^2\sin^4{\varphi}-a^2\sin^4{\varphi}=0.$$ Time dobivamo jednadžbu ${(y-a\sin^2{\varphi})^2=a^2\sin^4{\varphi}}$, odnosno ${y-a\sin^2{\varphi}=\pm\,a\sin^2{\varphi}}$ čija su rješenja ${y_1=2a\sin^2{\varphi}}$ i ${y_2=0}$ ordinate traženih točaka ${A(x_1,y)\ne O(0,0)}$ na kružnici $k$. Pritom se drugo rješenje ${y=0}$ odbacuje jer se po početnoj pretpostavci razmatraju samo one točke $A(x_1,y)$ na kružnici $k$ koje su različite od ishodišta, a ishodište je jedina točka na kružnici $k$ čija je ordinata jednaka nuli, stoga je ordinata točke $A(x_1,y)$ na kružnici $k$ dana izrazom \begin{equation}
y=2a\sin^2{\varphi}, \tag{10}\label{Pord}
\end{equation} gdje je ${\varphi\in \langle 0,\pi\rangle}$. Nadalje, rješavanjem sustava jednadžbi \eqref{Actg} i \eqref{Pord} metodom supstitucije, dobivamo ${x_1=2a\sin^2{\varphi}\ctg{\varphi}=2a\sin{\varphi}\cos{\varphi}=a\sin{2\varphi}}$, na temelju čega proizlazi da se sve točke na kružnici $k$ osim ishodišta mogu pisati u obliku$^{14}$Uočimo da su $x=a\sin 2\varphi$, $y=2a\sin^2\varphi$ za $\varphi\in [0,\pi\rangle$ parametarske jednadžbe kružnice $k$, pri čemu se njezina točka $O(0,0)$ (ishodište) isključuje uvjetom $\varphi\in \langle 0,\pi\rangle$. $A(a\sin{2\varphi},2a\sin^2{\varphi})$ za ${\varphi\in \langle 0,\pi\rangle}$. S druge strane, uzimajući u obzir da je ordinata točke $P(x,y)$ na krivulji Marije Agnesi također zadana izrazom \eqref{Pord} i da je njezina apscisa zadana izrazom \eqref{Pctg}, zaključujemo da se sve točke na krivulji Marije Agnesi mogu pisati u obliku $P(2a\ctg{\varphi},2a\sin^2{\varphi})$, gdje je ${\varphi\in \langle 0,\pi\rangle}$. Time se parametarske jednadžbe krivulje Marije Agnesi mogu pisati u obliku \begin{align}
x&=2a\ctg{\varphi} \nonumber \\
y&=2a\sin^2{\varphi}\tag{11}\label{parjed}
\end{align} gdje je ${\varphi\in \langle 0,\pi\rangle}$, iako se one uglavnom ne zapisuju na ovaj način, već se uvodi supstitucija
\begin{equation}
\ctg{\varphi}=t \tag{12}\label{kotan}
\end{equation}
s pomoću koje se dobiva da je ${x=2at}$. Pritom ${\varphi\in \langle 0,\pi\rangle}$ implicira ${t\in\mathbb{R}}$.

Nadalje, primjenom formule ${\sin x=\dfrac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 {x}}}}$ i identiteta \eqref{kotan} dobivamo ${\sin^2 {\varphi}=\dfrac{1}{1+\ctg^2 {\varphi}}}=\dfrac{1}{1+t^2}$, odnosno ${y=\dfrac{2a}{1+t^2}}$. Time jednadžbe \eqref{parjed} zapisujemo u obliku \begin{align}
x&=2at \nonumber \\
y&=\dfrac{2a}{1+t^2}\tag{13}\label{pjkMA}
\end{align} gdje je ${t\in\mathbb{R}},$ a konstanta ${a\in\mathbb{R}\backslash \{0\}}$ je bilo koji realan broj različit od nule. Jednadžbe \eqref{pjkMA} nazivamo parametarskim jednadžbama krivulja Marije Agnesi kojima je tjeme u točki ${(0,2a)},$ gdje je konstanta $2a$ jednaka promjeru kružnice $k$.

Eliminacijom parametra $t$ iz parametarskih jednadžbi \eqref{pjkMA} dobiva se odgovarajuća eksplicitna i implicitna jednadžba krivulje Marije Agnesi. Konkretno, iz ${x=2at}$ slijedi ${t=\dfrac{x}{2a}},$ što uvrštavanjem u jednadžbu ${y=\dfrac{2a}{t^2+1}}$ proizlazi da je ${y=\dfrac{2a}{\dfrac{x^2}{4a^2}+1}}$, odakle se dobiva da je $$y=\dfrac{8a^3}{x^2+4a^2}$$ eksplicitna jednadžba krivulje Marije Agnesi, koju smo prethodno označili s \eqref{ejk}. Pomnožimo li tu jednadžbu s ${x^2+4a^2},$ dobiva se jednadžba \begin{equation}
x^2y+4a^2y-8a^3=0 \tag{14}\label{impjk}
\end{equation} koju nazivamo implicitnom jednadžbom krivulje Marije Agnesi. Pritom je eksplicitnom jednažbom \eqref{ejk}, odnosno implicitnom jednažbom \eqref{impjk} kao i parametarskim jednadžbama \eqref{pjkMA} određena familija krivulja Marije Agnesi kojima je tjeme u točki ${(0,2a)}$, ${a\ne 0}$, vidi slike 1 i 2.

Uspoređivanjem eksplicitnih jednadžbi \eqref{jkMA} i \eqref{ejk} krivulja Marije Agnesi, lako se može uočiti da je jednadžbom \eqref{jkMA} određena (familija) krivulja Marije Agnesi kojima je tjeme u točki ${(0,a)}$, ${a\ne 0}$, što se može dokazati na prethodno opisani način tako da se pri konstrukciji krivulje Marije Agnesi razmatra kružnica sa središtem u točki ${S(0,\dfrac{a}{2})}$ polumjera ${\dfrac{a}{2}>0}$. Pritom se pokazuje da eksplicitnoj jednadžbi \eqref{jkMA} krivulje Marije Agnesi odgovaraju parametarske jednadžbe oblika ${x=at}$, ${y=\dfrac{a}{1+t^2}}$, odnosno implicitna jednadžba oblika ${x^2y+a^2y-a^3=0}$.

U ovisnosti o vrijednostima konstante ${a\ne 0}$ krivulja Marija Agnesi izravnava se prema $x$-osi ili izdužuje uz $y$-os, vidi sliku 9 za ${a>0}$. Konkretno, ako konstanta $a$ teži prema nuli, onda se krivulja izravnava prema $x$-osi, odnosno njezinoj horizontalnoj asimptoti. S druge strane, ako konstanta $a$ teži prema $+\infty$, onda ordinata tjemena (maksimuma) krivulje Marije Agnesi teži prema $+\infty$, a ako koeficijent $a$ teži prema $-\infty$, onda ordinata tjemena (minimuma) krivulje Marije Agnesi teži prema $-\infty$, što ima za posljedicu da se u ovim slučajevima krivulja strmo ,,izdužuje” uz $y$-os.

U GeoGebri se nalazi animacija kojom se omogućava čitatelju da vidi krivulju Marije Agnesi s odgovarajućom kružnicom $k$ sa središtem u točki ${(0,a)}$ polumjera $a$, gdje je ${0 \le a \le3}$). Pomicanjem točke na klizaču može se odabrati konkretna vrijednost konstante (polumjera) $a$ iz intervala $\left[0,3\right]$ za koju se dobiva odgovarajuća krivulja Marije Agnesi i njoj pridružena kružnica $k$.

4. Dodatni izračuni

Promatrajmo lik određen krivuljom Marije Agnesi i $x$-osi uz pretpostavku da je vrijednost konstante $a$, odnosno polumjera kružnice $k$ sa središtem u točki $(0,a)$ bilo koji pozitivan realan broj, vidi sliku 10.

Pretpostavimo li da je krivulja Marije Agnesi određena eksplicitnom jednadžbom \eqref{ejk}, tada se površina (u oznaci $P$) tog lika izračunava primjenom nepravog integrala ${\int_{-\infty}^{+\infty}y\,dx}$ s beskonačnim granicama, gdje je varijabla $y$ određena jednadžbom \eqref{ejk}. Time dobivamo $\displaystyle{P=\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{8a^3}{x^2+4a^2}\,dx}$,
odnosno \begin{equation}
P=8a^3\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2+4a^2},\tag{15}\label{pov}
\end{equation}
pri čemu smo primijenili svojstvo linearnosti integrala.

Koristeći se svojstvom da se neodređeni integral ${\int \dfrac{dx}{x^2+4a^2}}$ (pridružen nepravom integralu u izrazu \eqref{pov}) rješava primjenom formule $\def\arctg{\,\mbox{arctg}}{\int \dfrac{dx}{x^2+\alpha^2}=\dfrac{1}{\alpha}\arctg{\dfrac{x}{\alpha}}}$, gdje je ${\alpha\in\mathbb{R}\backslash\{0\}}$ (realan broj različit od nule), proizlazi da je
\begin{equation}
\int \dfrac{dx}{x^2+4a^2}=\dfrac{1}{2a}\arctg{\dfrac{x}{2a}}.\tag{16}\label{nint}
\end{equation}

Nadalje, iz svojstva da je podintegralna funkcija ${g(x)=\dfrac{1}{x^2+4a^2}}$ parna$^{15}$Uočimo da je $g(-x)=\dfrac{1}{(-x)^2+4a^2}=\dfrac{1}{x^2+4a^2}=g(x)$ za svaki $x\in\mathbb{R}$, $a\ne 0$., izraz \eqref{pov} možemo pisati u obliku
\begin{equation}
P=16a^3\int_{0}^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2+4a^2}\tag{17}\label{pov1}
\end{equation}
iz kojeg se upotrebom definicije nepravog integrala i dobivenog neodređenog integrala dobiva \begin{align} P&=16a^3 \lim_{R \to +\infty} \int_{0}^{R}\dfrac{dx}{x^2+4a^2}\\
& = 16a^3\lim_{R \to +\infty}\left(\dfrac{1}{2a}\left.\arctg{\dfrac{x}{2a}}\right|_{0}^{R}\right) \\
& = 8a^2\left(\lim_{R \to +\infty}\arctg{\dfrac{R}{2a}-\arctg 0} \right) \\
& = 8a^2 \left(\dfrac{\pi}{2} -0 \right),
\end{align}
odakle proizlazi da je tražena površina dana izrazom
\begin{equation}
P=4a^2\pi.\tag{18}\label{povsina}
\end{equation}

Uspoređivanjem dobivene površine \eqref{povsina} s površinom kruga $k$ sa središtem u točki ${S(0,a)}$ polumjera ${a>0}$ koja iznosi $a^2\pi$, možemo primijetiti da je površina između krivulje Marije Agnesi i njezine horizontalne asimptote ($x$-osi) četiri puta veća od površine kruga $k$ pridruženog krivulji Marije Agnesi.

Pretpostavimo sada da krivulja Marije Agnesi određena jednadžbom \eqref{ejk} za ${a>0}$ (vidi sliku 1) rotira oko $x$-osi (njezine horizontalne asimptote) za puni krug (${360^\circ}$). Tada tom rotacijom nastaje rotacijska ploha prikazana na slici 11 koja omeđuje rotacijsko tijelo prikazano na slici 12. Primijetimo da se to rotacijsko tijelo može dobiti rotacijom lika određenog krivuljom Marije Agnesi i $x$-osi (vidi sliku 10) oko $x$-osi za puni krug.

Dakle, rotacijsko tijelo omeđeno je rotacijskom plohom.

Odredimo sada volumen (oznaka $V$) rotacijskog tijela (slika 12) primjenom nepravog integrala ${\pi \int_{-\infty}^{+\infty} y^2\,dx}$ s beskonačnim granicama, gdje je $$V=\pi \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\dfrac{8a^3}{x^2+4a^2}\right)^2dx=64a^6\pi \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{dx}{(x^2+4a^2)^2}$$ ili \begin{equation} V=128a^6\pi \int_{0}^{+\infty} \dfrac{dx}{(x^2+4a^2)^2}\tag{19}\label{vol}
\end{equation} ako se uzme u obzir da je podintegralna funkcija parna.

Nepravom integralu u izrazu \eqref{vol} pridružen je neodređeni integral ${\int \dfrac{dx}{(x^2+4a^2)^2}}$ koji se rješava primjenom formule $$\int \dfrac{dx}{(x^2+\alpha^2)^2}=\dfrac{x}{2\alpha^2(x^2+\alpha^2)}+\dfrac{1}{2\alpha^2}\int \dfrac{dx}{x^2+\alpha^2}$$
iz koje za ${\alpha^2=4a^2}$ i primjenom identiteta \eqref{nint} proizlazi $$\int \dfrac{dx}{(x^2+4a^2)^2}=\dfrac{x}{8a^2(x^2+4a^2)}+\dfrac{1}{16a^3}\arctg \dfrac{x}{2a}.$$ Time je
\begin{align} \int_{0}^{+\infty} \dfrac{dx}{(x^2+4a^2)^2}&=\lim_{R \to +\infty}\int_{0}^{R} \dfrac{dx}{(x^2+4a^2)^2}\\
&= \lim_{R \to +\infty} \left(\left.\left(\dfrac{x}{8a^2(x^2+4a^2)}+\dfrac{1}{16a^3}\arctg \dfrac{x}{2a}\right)\right|_{0}^{R}\right) \\
&= \lim_{R \to+\infty}\left(\dfrac{R}{8a^2(R^2+4a^2)}+\dfrac{1}{16a^3}\arctg \dfrac{R}{2a} – 0 – \underbrace{\dfrac{1}{16a^3}\arctg 0}_{=0}\right) \\
&= \underbrace{\lim_{R \to+\infty}\,\dfrac{1}{8a^2R\left(1+\dfrac{4a^2}{R^2}\right)}}_{=0} + \dfrac{1}{16a^3}\lim_{R \to+\infty} \arctg \dfrac{R}{2a} \\
&= \dfrac{1}{16a^3}\cdot\dfrac{\pi}{2}= \dfrac{\pi}{32a^3}. \end{align} Uvrštavanjem dobivene vrijednosti u \eqref{vol} dobivamo ${V=128a^6\pi \cdot \dfrac{\pi}{32a^3}}$, stoga je volumen rotacijskog tijela prikazanog na slici 12 dan izrazom \begin{equation}\label{volt}
V=4a^3\pi^2.
\end{equation} Presjek rotacijskog tijela prikazanog na slici 12 i $xy$-ravnine jest lik prikazan na slici 13 koji je određen krivuljom Marije Agnesi i njezinom osnom simetrijom u odnosu na njezinu horizontalnu asimptotu ($x$-os). Taj se lik može ujedno dobiti osnom simetrijom lika prikazanog na slici 10 u odnosu na $x$-os, stoga je površina (u oznaci $P_1$) lika prikazanog na slici 13 dana izrazom ${P_1=2P}$, odakle primjenom identiteta \eqref{povsina} slijedi da je ${P_1=8a^2\pi}$.

Iz navedenog direktno slijedi da je presjek rotacijske plohe (vidi sliku 11) i $xy$-ravnine zapravo krivulja Marije Agnesi i njezina osna simetrija u odnosu na njezinu horizontalnu asimptotu ($x$-os).

U donjoj GeoGebri prikazana je rotacijska ploha u trodimenzionalnom prostoru koja nastaje rotacijom krivulje Marije Agnesi oko $x$-osi, gdje je krivulja Marije Agnesi određena jednadžbom (2) za $a=1$.

Literatura

1. S. Kurepa (1997.): Matematička analiza I, Tehnička knjiga, Zagreb.
2. S. Kurepa (1997.): Matematička analiza II, Tehnička knjiga, Zagreb.
3. E. Mikulić (2022.): Krivulja Marije Agnesi, završni rad na preddiplomskom studiju matematike, Fakultet za matematiku, Sveučilište u Rijeci.
4. A. A. Savelov (1979.): Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb.
5. Hrvatska enciklopedija,
   https://enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=21410
6. MacTutor Biographies: Maria Gaëtana Agnesi,
   https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Agnesi/
7. Programski paket GeoGebra, https://geogebra.org

---