Kako bih nastavu matematike učinila zanimljivom, kreativnom i izazovnom, uključila sam deset zainteresiranih učenica iz 2. razreda Tehničke škole Virovitica, smjer medicinska sestra / medicinski tehničar, u međunarodni eTwinning projekt ,,Math Travellers”, koji se provodio od rujna 2021. do svibnja 2022. godine. Projekt je bio ispunjen raznovrsnim aktivnostima, a za svoje sudjelovanje učenice i ja nagrađene smo Nacionalnom i Europskom oznakom kvalitete.
Zašto eTwinning u nastavi matematike?
Razmišljajući kako potaknuti učenike (ili bar dio njih) na otkrivanje novih matematičkih spoznaja s pomoću različitih digitalnih alata te na komunikaciju i suradnju s učenicima iz drugih škola, odlučila sam u travnju 2021. godine uključiti se u naš prvi domaći eTwinning projekt ,,Vizualna matematika”. Učenici su sa zanimanjem osmišljavali zadatke i izrađivali prezentacije s pomoću novih digitalnih alata. Pritom su i učenici koji nisu toliko uspješni u redovnoj nastavi imali priliku pokazati svoju kreativnost i stjecati nova znanja na nešto drukčiji način. Bilo im je također zanimljivo vidjeti radove učenika iz ostalih škola te komunicirati s njima na online sastancima. Kao nastavnici matematike s višegodišnjim radnim iskustvom, svidjela mi se suradnja s kolegama iz različitih škola i dijeljenje učeničkih uradaka te sam na taj način unaprijedila svoju nastavu novim idejama i metodama.
Nakon pozitivnih reakcija učenika novi izazov bio je međunarodni eTwinning projekt Math Travellers, u kojemu je komunikacija bila na engleskom jeziku.
O projektu Math Travellers
U projekt je bilo uključeno ukupno 285 učenika iz 12 partnerskih škola iz Moldove, Grčke, Turske, Portugala, Rumunjske, Armenije i Tehničke škole Virovitica kao jedine iz Hrvatske te ukupno 17 nastavnika. Učenici su tijekom raznovrsnih aktivnosti otkrivali ljepote matematike, posebice geometrije uz pomoć digitalnog alata GeoGebra, izrađivali su radne listiće, u međunarodnim timovima osmišljavali te rješavali zadatke. Izradom plakata i prezentacija, kalendara, digitalnih igara, videouradaka i online sastancima svih sudionika obilježili su i važne datume: Dan Fibonaccijevih brojeva 23. studenog, Božić i Novu godinu, Dan sigurnijeg interneta 8. veljače, Dan broja $\pi $ 14. ožujka i Dan eTwinninga 9. svibnja.
Ciljevi projekta bili su: razvijanje vještina u matematici, znanosti i tehnologiji, poticanje kritičkog razmišljanja, razvijanje kreativnosti i mašte kod učenika, poticanje učenika na suradnju s drugima i zajednički rad te unapređenje digitalnih i komunikacijskih vještina.
U tekstu koji slijedi prikazat će se projektne aktivnosti i neki od mnoštva učeničkih radova.
Zastava i spirale
Prva učenička aktivnost bila je izraditi svoj avatar u alatu Bitmoji i postaviti ga na Padlet ploču uz podatke o razredu, školi, mjestu, državi te školskim i izvanškolskim zanimacijama. Potom su izradili i digitalni portfolio u alatu Wakelet u koji će postavljati svoje radove tijekom trajanja projekta. Prvi pravi izazov za učenike bila je izrada zastave svoje države u alatu dinamične geometrije GeoGebra.
Moje znanje o GeoGebri bilo je do ovoga projekta prilično oskudno jer sam do tada izradila samo nekoliko jednostavnih uradaka za svoje učenike. Znanje mojih deset učenica o GeoGebri bilo je gotovo nikakvo te sam brinula hoće li moći sudjelovati u projektnim aktivnostima jer im na redovnoj nastavi nisam imala vremena objasniti neke pojedinosti. Vrijedna učenica Valentina ipak me zadivila svojom izvedbom hrvatske zastave koju je izradila uz puno truda i mojih sugestija (slika 1).
Ostale učenice priključile su se svojim radovima spirala nakon što sam im na platformi Teams, kojom smo se koristili u online nastavi, počela postavljati videolekcije u kojima korak po korak objašnjavam kako izraditi zadanu aktivnost u GeoGebri. Snimila sam tako 14 videolekcija, od kojih sam neke objavila i na svojem YouTube kanalu (https://www.youtube.com/@vlatkahizman-trzic8843/videos). Prije izrade videolekcija prvo sam trebala proučiti kako napraviti zadano. Također sam objasnila učenicama kako pristupiti online eTwinning platformi TwinSpace na kojoj su svi sudionici objavljivali svoje radove, fotografije i komentare.
Učenice su istraživale zanimljiva svojstva spirala, koje su savršeni estetski fenomen prirode (i matematike) te su s pomoću GeoGebre izradile spirale trokuta (slika 2 i slika 3), spirale kvadrata (slika 4), Fibonaccijevu spiralu (slika 5) i Theodorusovu spiralu (slika 6). Proučile su Fibonaccijeve brojeve i konstrukciju drugog korijena prirodnih brojeva te se poigrale s izradom spirala s pomoću kružnica (slika 7). Za izrađenu spiralu trokuta i spiralu kvadrata u GeoGebri trebalo je također osmisliti zadatke u kojima se računa površina, udaljenost točaka, jednadžba pravca i slično. Osmišljeni su zadatci potom ponuđeni učenicima iz ostalih škola na rješavanje.
Primjeri zadataka vezanih za sliku 2:
1) Izračunaj udaljenost između točaka $A$ i $B$ čije su koordinate zadane na slici.
2) Izračunaj površinu prikazanog jednakostaničnog trokuta $ABC$.
3) Izračunaj zbroj površina triju najvećih trokuta nastalih s pomoću homotetije i rotacije uz zadani koeficijent sličnosti (klizač $k$ na slici).
Primjeri zadataka vezanih za sliku 3:
1) Izračunaj površinu trokuta sa zadanim koordinatama vrhova na kateti.
2) Izračunaj jednadžbu pravca koji prolazi zadanim točkama.
3) Zapiši paralelne pravce.
4) Nađi sve kutove čija je mjera $135\deg$.
5) Izračunaj opseg trokuta iz 1. zadatka.
Primjeri zadataka vezanih za sliku 4:
1) Izračunaj površinu najvećeg kvadrata sa zadanim koordinatama dijagonalnih vrhova.
2) Izračunaj jednadžbu pravca koji prolazi tim vrhovima.
Radove sudionika projekta objedinjene po temama možete pogledati na poveznicama:
- Spirale i trokuti https://www.geogebra.org/m/xw2cs3uc
- Spirale i kvadrati https://www.geogebra.org/m/yufsr4st
- Fibonaccijeva spirala https://www.geogebra.org/m/unh73vnt
- Theodorusova spirala https://www.geogebra.org/m/znesj9k3
- Kružnice i spirale https://www.geogebra.org/m/q6rxpxvh
Fraktali
Jedna od vrlo zanimljivih, ali i zahtjevnih aktivnosti bila je izrada fraktala u GeoGebri, posebice izrada Pitagorina stabla, trokuta Sierpinskog i Baravelleova spirala (slika 8).
Kako izraditi Pitagorino stablo i trokut Sierpinskog s pomoću novog alata u GeoGebri, možete saznati u snimljenim videolekcijama za moje učenice na poveznicama https://bit.ly/3qf86uZ i https://bit.ly/44UdKl8.
Učenice su istražile što su fraktali, gdje ih možemo pronaći u prirodi i umjetnosti te izradile plakate u Canvi (slika 9).
Radove sudionika projekta objedinjene po temama možete pogledati na poveznicama:
- Geometrijski fraktali https://www.geogebra.org/m/svcpgzpj
- Pitagorino stablo https://www.geogebra.org/m/aun7eeys
Umjetnost iglom i koncem i parabola, parabole u stvarnom životu
Engleska matematičarka Mary Everest Boole osmislila je krajem 19. st. vrlo praktičnu metodu poučavanja matematike tehnikom šivanja krivulja (engl. curve stitching). Konac se provlači kroz rupice na kartonskoj podlozi kako bi se dobili željeni oblici, a oni ovise o položaju rupica i redoslijedu povezivanja. Kasnije se razvija tehnika igle i konca kojom uz pomoć zabijanja čavlića/iglica u podlogu i provlačenjem konaca oko njih također dobivamo razne oblike. Na tragu ovih praktičnih vještina šivanja nastala je još jedna zanimljiva i poticajna aktivnost u projektu Math Travellers – izrada matematičkih uradaka tehnikom virtualne igle i konca (engl. string art) u GeoGebri. Na taj smo način dobili estetski vrlo lijepe uzorke (slika 10), a trebalo je osmisliti i radni list s koracima izrade te s pomoću klizača naći jednadžbu parabole koja najbolje odgovara dizajnu (slika 11).
Učenice su parabolu i slične krivulje potražile i u stvarnom životu (putanja skoka dupina, mostovi, vodoskoci, razni lukovi). Potom su u GeoGebri odredile jednadžbe parabola koje dobro opisuju te krivulje (slika 12).
Krugovi i poligoni
U posljednjoj projektnoj aktivnosti učenice su istražile krugove i kružnice u stvarnom životu. Slike pronađenih krugova smjestile su u koordinatni sustav u GeoGebri te s pomoću GeoGebre odredile površinu i opseg kruga (slika 13).
Svoj je uradak i korake izrade trebalo opisati u radnom listu – primjer kako je to učinila Nika pogledajte na poveznici https://bit.ly/445eMJQ.
Učenice su vrlo maštovito u GeoGebri konstruirale proizvoljni poligon u obliku cvijeta, rakuna, zeca ili kućice s drvećem te osmislile za svoje kolege zadatak u kojemu treba izračunati tražene veličine s pomoću zadanih koordinata točaka (slika 14). Na Slici 14 lijevo treba izračunati površinu žuto obojenog pravilnog šesterokuta kojemu su poznate koordinate dvaju susjednih vrhova, a na istoj slici desno površinu i opseg označenog trokuta kojemu su poznate koordinate svih triju vrhova.
European Code Week 2021 i STEM Discovery 2022 Campaign
Osim redovitih mjesečnih projektnih aktivnosti učenice su sudjelovale i u dodatnim aktivnostima od kojih je jedna bila European Code Week u listopadu 2021. godine. Zadatak je bio kreirati različite oblike spajanjem njihovih koordinata po određenom redoslijedu u koordinatnom sustavu, bilo na papiru ili s pomoću GeoGebre. Budući da je to bio period upoznavanja mojih učenica s GeoGebrom, većina je uradak napravila na papiru, a vrijedna Ana ipak je izradila lijepog Mickeyja Mousea s pomoću GeoGebre (slika 15). Tu smo aktivnost jedinu uspjeli odraditi na satu u školi (slika 16).
Tim Tehničke škole Virovitica u aktivnosti ,,STEM for all” sudjelovao je modelirajući kvadratnom funkcijom u tri zanimljiva primjera, a rad je prikazan s pomoću prezentacije u Canvi i možete ga pogledati na poveznici https://bit.ly/3DOvwdI.
Završni osvrt
U ovaj smo projekt moje učenice i ja uložile puno vremena i truda, ali i dobile puno novih znanja i iskustava. Postavljeni ciljevi projekta su u potpunosti ispunjeni. Učenice i ja unaprijedile smo svoje IKT vještine koristeći se mnogim novim digitalnim alatima (najviše GeoGebrom), a upoznale smo i koristile se digitalnom platformom TwinSpace kao i engleskim jezikom u govoru i pismu. Nakon svake aktivnosti sudionici projekta imali su priliku izraziti kako su ga doživjeli i što im se posebno svidjelo raspravom na TwinSpace platformi gdje su postavljene i fotografije učenika tijekom izrade uradaka. Projektne aktivnosti bile su odlično integrirane u kurikul matematike za drugi razred srednje škole jer su se obrađivale funkcije (kvadratna funkcija i primjene), planimetrija (krug i kružnica) i mnoge međupredmetne teme. Jedini je nedostatak što su gotovo sve aktivnosti učenice odrađivale kod kuće većinom slijedeći upute iz snimljenih videolekcija jer nismo mogli biti u informatičkoj učionici, a u GeoGebri se ne može raditi na mobitelima.
,,Ovim sam projektom shvatila da je matematika svuda oko nas i da učenje o tome može biti zabavno”, napisala je po završetku projekta Katarina, a slično su komentirale i ostale učenice. Njihovi komentari bili su potvrda da učenike svakako treba uključiti u ovakve aktivnosti i da su dobrobiti za sve sudionike višestruke. Ja sam shvatila da se ne treba bojati učenicima postaviti izazovne zadatke jer su me iznenadili svojom marljivošću, kreativnošću, suradničkim radom i snalaženjem u novim situacijama. Posebna nagrada bile su nam prvo Nacionalna oznaka kvalitete za sudjelovanje koju smo dobili u ljeto 2022. te Europska oznaka kvalitete koju smo dobili u svibnju 2023. godine.
Zato hrabro nastavljamo dalje s eTwinning avanturom na novoj europskoj platformi European School Education Platform (ESEP). Pozivam i vas da se, ako već niste, pridružite sa svojim učenicima!