Modeliranje i/ili primjena modela

Modeliraju li naši učenici u srednjim školama ili uglavnom samo primjenjuju već naučene modele?

U nastavku ću objasniti razliku između primjene naučenih modela i modeliranja te argumentirati svoje mišljenje o slaboj zastupljenosti otvorenog modeliranja u srednjoškolskoj matematici na temelju nekoliko primjera zadataka iz svoje nastavne prakse.

Ključne riječi: modeliranje, primjena modela, problemski zadatci

 

Važnost modeliranja – ishodi iz kurikuluma

Vjerujem kako je većini nastavnika matematike glavni cilj poučiti svoje učenike uspješnoj primjeni matematike u svakodnevnom životu, svijetu rada i društvu, razviti kod njih sposobnosti logičkog mišljenja, zaključivanja i generaliziranja te matematičke argumentacije.

Novi kurikulumi matematike upravo naglašavaju važnost primjene raznih područja matematike na probleme iz stvarnog života i modeliranje, pa tako u kurikulumu možemo pročitati sljedeće ishode:

MAT SŠ B.1.4. Primjenjuje linearne nejednadžbe.

• Primjenjuje linearne nejednadžbe u problemskim situacijama.

MAT SŠ B.1.6. Primjenjuje linearnu funkciju pri rješavanju problema.

MAT SŠ D.1.3. Primjenjuje trigonometrijske omjere.

• Primjenjuje trigonometrijske omjere pri modeliranju problemskih situacija i za rješavanje problema u planimetriji

MAT SŠ B.2.1. Rješava i primjenjuje kvadratnu jednadžbu.

• Modelira problemsku situaciju te određuje rješenja.

MAT SŠ B.2.5., MAT SŠ C.2.2. Primjenjuje kvadratnu funkciju.

MAT SŠ B.3.3., MAT SŠ C.3.2. Primjenjuje eksponencijalnu i logaritamsku funkciju.

• Modelira problemsku situaciju, određuje i provjerava rješenja te im utvrđuje smislenost.

MAT SŠ B.3.4. Modelira eksponencijalnom i logaritamskom jednadžbom i nejednadžbom.

• Modelira problemsku situaciju, određuje i provjerava rješenja te im utvrđuje smislenost.

MAT SŠ B.3.7., MAT SŠ C.3.5. Primjenjuje trigonometrijske funkcije. Analizira probleme opisane trigonometrijskom funkcijom i primjenjuje trigonometrijske funkcije za modeliranje.

Dakle, postavljaju se zahtjevi da učenici budu rješavači problema kako bi se mogli suočiti s izazovima na radnome mjestu.

Razlika između primjene i modeliranja

U svom predavanju prije 12 godina na 4. kongresu nastavnika matematike ([1]) prof. Jelena Gusić govorila je o trima pristupima zadatcima modeliranja:

• standardna primjena – učenici nauče model i primjenjuju ga u kontroliranim uvjetima
• direktno modeliranje – učenici rješavaju realan problem odabirući, uz pomoć i nadzor nastavnika, neki od naučenih modela
• otvoreno modeliranje – učenici rješavaju realan problem samostalno.

Govoreći o matematičkom modeliranju u nastavnom procesu na 10. stručno-metodičkom skupu u Puli ([2]), doc. dr. sc. Ivan Dražić je naglasio kako „primjena matematike i matematičko modeliranje nisu sinonimi“. U modeliranju se „kreće od realne pojave i pritom traži adekvatni matematički koncept potreban za njezino opisivanje“.

Primjeri iz nastavne prakse

Moje je mišljenje kako u srednjoškolskoj matematici učenici uglavnom primjenjuju linearnu funkciju, kvadratnu, eksponencijalnu te funkciju sinus kao i linearne, kvadratne, eksponencijalne i trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe, a otvoreno modeliranje se u nastavi rijetko susreće.

U nastavku ću argumentirati svoje mišljenje na nekoliko primjera zadataka kojima se koristim u svojoj nastavnoj praksi, a nalazimo ih u većini srednjoškolskih udžbenika.

Primjer 1. Cjelina Linearna funkcija, 1. razred

Cijena je ulaznice u zabavni park 5 eura, a za svaku vožnju na atrakciji treba platiti 3 eura.
a)  Napiši pravilo pridruživanja (funkciju) koja povezuje količinu potrošenog novca $N(x)$ u ovisnosti o broju vožnji $x$.   $N(x)=5+3x$
b)  Koliko će novca potrošiti Borna za 8 vožnji?   29 eura
c)  Koliko je najviše vožnji mogao platiti Damjan koji je imao 40 eura?    11 vožnji

 
Većina učenika na satu bez većih problema prepoznaje da se radi o linearnoj ovisnosti i u velikom postotku točno rješava b) i c) dio zadatka. Najteže je zapisati pravilo koje opisuje ovaj model. Iako induktivno zapisujemo koliko je potrebno platiti za jednu vožnju, koliko za dvije, učenicima je problem matematički zapisati koliko treba platiti za $x$ vožnji.

Zadani problem je realan i blizak učenicima, a modeliranje je zastupljeno samo u a) dijelu zadatka. U b) dijelu radi se o uvrštavanju argumenta u linearnu funkciju, a u c) dijelu o računanju vrijednosti argumenta za zadanu vrijednost linearne funkcije.

Primjer 2. Cjelina Linearna funkcija, 1. razred ([4])

Marku su pri zapošljavanju za radno mjesto prodavača elektroničkih uređaja u međunarodnoj tvrtki nudili dvije opcije obračunavanja godišnje plaće.
Opcija $A$:  Osnovna plaća od $14\,000$ € godišnje plus $10\,\%$ provizije na iznos od prodaje uređaja.
Opcija $B$:  Osnovna plaća od $18\,500$ € godišnje plus $4\,\%$ provizije na iznos od prodaje uređaja.
a)   Ako je $x$​ iznos u eurima dobiven od prodaje elektroničkih uređaja, izrazi funkcijom $A(x)$  Markovu plaću za opciju $A$ (u eurima).   $A(x)=14\,000+0.1x$
b)   Izrazi funkcijom $B(x)$ Markovu plaću za opciju $B$.   $B(x)=18\,500+0.04x$ 
c)   Koja je opcija povoljnija za Marka ako je procijenio da će prve godine prosječno prodati elektroničke uređaje u vrijednosti od $45\,000$ €? Obrazloži svoj odgovor računom. $A(45\,000)=18\,000$€, $B(45\,000)=20\,300$€,  $\implies$ $B$ opcija je povoljnija.

 
Ovaj je zadatak za učenike bio teži od prethodnoga, pogotovo stoga što su se pojavili i postotci. Modeliranje je zastupljeno u a) i b) dijelu zadatka, a c) dio koji se može riješiti bez matematičkog zapisivanja modela učenici su najbolje riješili.

Modeliranje bi se u ovom zadatku moglo naglasiti dodavanjem d) dijela zadatka:

d)  Koliko bi Marko prosječno trebao prodati uređaja da za njega bude povoljnija opcija $A$, a koliko da za njega bude povoljnija opcija $B$?

 
Učenici rješenje mogu dobiti iz nejednadžbe $14\,000+0.1x>18\,500+0.04x$ ili grafički prikazom u GeoGebri (slika 1) odakle očitaju da će opcija A biti povoljnija ako se proda uređaja za više od 75 000 €, a opcija B ako se proda uređaja za manje od 75 000 €.

Primjer 3. Cjelina Kvadratna jednadžba, 2. razred  ([5])

Igralište je imalo oblik kvadrata. Sa zapadne strane igralište je skraćeno za 3 metra, a zatim je tako skraćeno igralište prošireno sa sjeverne strane za 8 metara. Kolika je bila površina igrališta na početku ako je na kraju iznosila 6 776 m²?

$(x-3)(x+8)=676\implies x_1=80$m $(x_2=-85)\implies P=6400$m² površina igrališta na početku.

 
Postavljeni problem je realan i od učenika traži modeliranje kvadratnom jednadžbom. Koliko su takvi problemi učenicima teški, govori podatak da je u dva razreda na pisanoj provjeri taj zadatak riješilo 5 učenika. Neki su imali dobru ideju, ali nisu obratili pozornost da igralište ima oblik kvadrata te su dobili dvije varijable i tako zakomplicirali zadatak. Učenici su također trebali obratiti pozornost na argumentiranje rješenja i odbacivanje negativne dimenzije igrališta.

Vrlo sličan zadatak postavljen je učenicima 3. razreda na probnoj DM 2022. godine i također traži od njih modeliranje kvadratnom jednadžbom.

Primjer 3.1.  ([6])

U koncertnoj dvorani broj redova u gledalištu jednak je broju stolica u svakome redu. Dogovara se njezino preuređenje. Ako se broj stolica u svakome redu smanji za 15, a broj redova udvostruči, ukupan broj stolica povećat će se za 175. Koliko redova ima koncertna dvorana prije preuređenja?

$(x-15)\cdot 2x=x^2+175\implies x_1=35$ redova ($x_2=-5$).

 
 

Primjer 4.  Cjelina Funkcije,  2. Razred  ([5])

Visina na kojoj se nalazi projektil $t$ sekundi nakon ispaljivanja dana je formulom $h(t)=-2t^2+44t+68$ ($h$ je izražen u metrima). Izračunaj maksimalnu visinu na kojoj se nalazi taj projektil. Na kojoj se visini nalazi projektil nakon 3 sekunde?  

 
Ovaj je „zadatak riječima“ klasičan zadatak primjene kvadratne funkcije koji se svodi na računanje vrijednosti ekstrema kvadratne funkcije i uvrštavanje argumenta te nije zadatak modeliranja jer je model kvadratne funkcije zadan. Učenici su opet mogli rješenja očitati iz grafičkog prikaza u GeoGebri (slika 2) ili analitički izračunati $h_0$ i $h(3)$ po naučenoj proceduri. Na žalost, nisu bili osobito uspješni u tome.

Ponovno je vrlo sličan zadatak postavljen učenicima 3. razreda na probnoj DM 2022. godine.

Primjer 4.1.  ([6])

Visina na kojoj se nalazi projektil t sekundi nakon ispaljivanja dana je formulom $h(t)=-3(t-15)^2+400$, gdje je visina $h$ izražena u metrima.
Koliko će sekundi projektil biti na visini iznad 100 m?

 
U 3. razredu kojem predajem nitko nije riješio ovaj zadatak niti je itko započeo rješavati iako je model kvadratne funkcije zadan. Trebalo se dosjetiti da „iznad“ znači „je veće od“, zatim riješiti kvadratnu nejednadžbu i rješenja oduzeti.

Grafički način rješavanja s pomoću GeoGebre je elegantniji i brži (slika 3).

Primjer 5.  Cjelina  Eksponencijalna i logaritamska funkcija,  3. razred  ([7])

Nakon što je ispio nekoliko čašica, u krvi vozača bilo je 0.2 mg/L alkohola.
Ako se količina alkohola u krvi svakoga sata smanjuje za $\displaystyle \frac14$ , izračunaj:
a)  Koliku će količinu alkohola u krvi vozač imati nakon 2 sata?
b)  Koliku će količinu alkohola u krvi vozač imati nakon 6 sati?
c)  Koliku će količinu alkohola u krvi vozač imati nakon $t$ sati?

 
Ovaj sam problem upotrijebila kao motivaciju za uvođenje eksponencijalne funkcije još dok nije bila prebačena u kurikulum trećeg razreda. Problem je, nažalost, vrlo realan za mladiće te dobi (u mojim razredima su u najvećem dijelu mladići), a traži od njih modeliranje funkcijom koju još nisu upoznali. Učenici računaju vrijednosti u a) i b) dijelu problema i još poneku vrijednost te ih ucrtavaju u koordinatni sustav i opisuju dobiveni grafički prikaz. GeoGebra je ponovno odličan izbor za grafički prikaz (slika 4).

Induktivnim načinom uz moju pomoć dolaze do zapisa novog matematičkog modela za c) dio problema:

$$\begin{aligned}x_0&=0.2\text{mg/L}\\ x_1&=\displaystyle\frac34 x_0\\ x_2&=\displaystyle\frac34 x_1=\displaystyle\left(\frac34\right)^2\cdot x_0\\ x_3&=\displaystyle\frac34 x_2=\left(\frac34\right)^3\cdot x_0\\\vdots\\ x_t&=\left(\frac34\right)^t\cdot x_0=0.2\cdot \left(\frac34\right)^t.\end{aligned}$$

Primjer 6.  Cjelina  Trigonometrijske funkcije,  3. razred  ([8])

Jednog ljetnog dana u pustinji temperatura se mijenjala prema zakonu $\displaystyle T(t)=16\cos\left(\frac{t\pi-15\pi}{12}\right)+32$, gdje je $t$ vrijeme od 0 do 24 sata, a $T$ temperatura u °C.
a)  Kolika je temperatura bila u 7 sati ujutro?   24 °C
b)  U koje je vrijeme poslijepodne temperatura bila 41°C?   U 18 sati i 43 minute
c)  Kolika je bila najniža temperatura toga dana?   16°C

 
Ovaj sam zadatak zadala u pisanoj provjeri u elementu rješavanje problema i bio je vrlo loše rješiv, posebice b) i c) dio zadatka iako je ponovo model funkcije zadan. U a) dijelu zadatka radi se o izračunavanju vrijednosti funkcije za zadani argument, u b) dijelu trebalo je izračunati vrijednost argumenta za zadanu vrijednost funkcije (rješavanje trigonometrijske jednadžbe), a u c) dijelu izračunati najmanju vrijednost zadane funkcije.

Sličan zadatak, ali s modeliranjem trigonometrijskim funkcijama, učenicima je bio još teži.

Primjer 6.1.   ([8])

Temperatura tijela mijenja se od 35°C do 37.7°C tako da se maksimalne vrijednosti ponavljaju svakih 20 dana. Zapišite promjenu temperature tijela ovisno o vremenu izraženom u danima.

 
Pojava je periodična, pa su učenici mogli modelirati funkcijom sinus ili kosinus $T(t)=A\sin(Bt)+C.$ Problem je bio izračunati nepoznate koeficijente $A,$ $B,$ i $C$ primjenjujući svojstva funkcija sinus ili kosinus koja nisu dovoljno dobro usvojili.

Učenici period pročitaju iz teksta $P=20$ te izračunaju koeficijent $B$ iz veze s periodom  $\displaystyle B=\frac{2\pi}P\implies B=\frac{\pi}{10}$. Jednostavnim računom dolaze do vrijednosti amplitude $\displaystyle A=\frac{T_{max}-T_{min}}{2}=1.35$, a zatim i koeficijenta $C\implies C=T_{min}+A=36.35$.

Promjenu temperature tijela $T(t)$ ovisno o vremenu $t$ u danima zapisuju izrazom  $\displaystyle T(t)=1.35\sin\left(\frac{\pi}{10}t\right)+36.35$. Učenici su u većem postotku rješavali ovakav problem u pisanoj provjeri ako smo na satu riješili sličan. Samo nekoliko učenika pokušava riješiti problem koji prije nisu vidjeli.

Zaključak

Da bi učenici spoznali važnost učenja i razumijevanja matematike i uvidjeli kako je ona prisutna svuda oko nas, potrebno je što više primjene naučenih modela na njima bliskim primjerima. Prije primjene učenici trebaju dobro usvojiti matematičke vještine bez kojih primjena samih modela niti modeliranje nisu mogući.

Direktno i otvoreno modeliranje u nastavi može biti zastupljeno kao motivacija za uvođenje novih koncepata, a direktno modeliranje u ponavljanju, vrednovanju naučenog (rješavanje problema) ili kao samostalni ili skupni projektni zadatci koji su se udomaćili u našoj nastavnoj praksi.

Otvoreno modeliranje moglo bi se primijeniti u dodatnoj nastavi s boljim učenicima koji će samostalno istraživati realne probleme.

Literatura

1. J. Gusić (2011): Matematičko modeliranje u srednjoj školi, Poučak, god. 12, br. 45, str. 48-61.
2. I. Dražić (2017): Matematičko modeliranje u nastavnom procesu, Modeliranje i matematika, zbornik radova 10. stručno-metodičkog skupa,  str. 83-95, Pula 2017.
3. https://narodne-novine.nn.hr/clanci/sluzbeni/2019_01_10_209.html  
4. G. Knez, 4. pisana provjera znanja, Linearna funkcija https://www.e-sfera.hr/udzbenicke-serije/podrska/0828ae10-2b6b-41f0-b5c1-fc61771a988a   
5. I. Matić, J. Barišin, Lj. Jukić Matić, M. Zelčić, M. Mišurac, R. Gortan, V. Vujasin Ilić, Ž. Dijanić (2020): Matematika 2,  udžbenik matematike u drugom razredu srednje škole sa zadatcima za rješavanje, 3 i 4 sata tjedno, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb
6.  https://www.ncvvo.hr/probni-ispiti-drzavne-mature-u-sk-god-2021-2022/
7. B. Dakić, N. Elezović (2008): Matematika 2, udžbenik i zbirka zadataka za 2. razred tehničkih škola, 2. dio, Element, Zagreb
8. A. Pletikosić, I. Matić, Lj. Jukić Matić, M. Zelčić, M. Njerš, R. Gortan, T. Srnec, Ž. Dijanić (2020): Matematika 3, udžbenik matematike u trećem razredu srednje škole sa zadatcima za rješavanje, 3 i 4 sata tjedno, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb

---