Mreža iza mreže

Teorija grafova omogućava modeliranje različitih odnosa s pomoću grafova uvodeći čitatelja u matematički svijet mreža i povezanosti. Članak uključuje elementarne pojmove i koncepte teorije grafova, a dotiče se tema jednostavnih neusmjerenih i usmjerenih grafova, povezanosti te najkraćeg puta. Zatim se prelazi na mreže zbog manjeg stupnja apstrakcije. Navode se vrste mreža — socijalne, informacijske ili računalne — te se objašnjavaju njihova kvantitativna i kvalitativna svojstva, poput gustoće i zajednica. U posljednjem se poglavlju stečena znanja primjenjuju na konkretnom primjeru heterogene mreže, konstruirane na temelju uzorka objava s društvene platforme X. Opisuje se postupak modeliranja te mreže, a rezultirajući model prikazuje odnos između korisničkih (@) i tematskih (#) oznaka vezanih za hrvatsko podneblje. Također, provodi se analiza mreže u kojoj se, primjenom različitih svojstava mreža, otkrivaju neprimijećeni obrasci unutar platforme. Naposljetku, razmatraju se ograničenja podataka upotrijebljenih za izradu ove mreže.

1. Uvod

Društvene platforme predstavljaju općeprihvaćeno sredstvo komunikacije i interakcije u modernom dobu te su neizostavan dio svakodnevnog života. U ovom će im se radu pristupiti kroz prizmu teorije grafova, grane matematike koja se upotrebljava za modeliranje i analizu raznih pojava s pomoću grafova. Njezina primjena prikazat će se na primjeru interakcija na društvenoj platformi X, ujedno ilustrirajući učinkovitost ove teorije.

2. Teorija grafova

Grubo govoreći, graf je matematički objekt koji se sastoji od skupa vrhova (čvorova) i skupa bridova koji povezuju te vrhove. Ova jednostavna struktura omogućuje modeliranje brojnih problema, stoga se u nastavku predstavljaju temeljne definicije i svojstva grafova.

2.1. Jednostavni graf

U okviru ovog članka pojam graf označavat će jednostavne grafove, čija formalna definicija glasi:

Definicija 1. (Jednostavni graf). Jednostavni graf $G$ je uređen par $G = (V (G), E(G))$, pri čemu $V (G)$ predstavlja neprazan konačni skup vrhova (engl. vertices), a $E(G)$ konačni skup dvočlanih podskupova skupa $V (G)$ koje zovemo bridovi (engl. edges). Ako je jasno o kojem je grafu $G$ riječ, skup $V (G)$ skraćeno označavamo s $V$, a $E(G)$ s $E$.

Pored jednostavnih grafova postoje i općeniti grafovi, karakterizirani mogućnošću višestrukih bridova između dvaju vrhova te bridova koji povezuju vrh sa samim sobom (tzv. petlje). Lako se uočava da jednostavni grafovi predstavljaju vrstu općenitog grafa.

Apstraktna građa grafovima nudi i njihovu intuitivnu grafičku reprezentaciju. U grafičkom prikazu vrhove predstavljaju kružići, a bridove predstavljaju linije koje ih povezuju. Ovaj prikaz vrlo je važan jer olakšava prepoznavanje i razumijevanje brojnih svojstava grafa.

Primjer grafičkog prikaza jednostavnog grafa $G$ nalazi se na Slici 1. pri čemu je: $$\begin{equation} \begin{aligned} &V = \{A, B, C, D, E, F, G\}, \\ &E = \{e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7, e_8\}, \text{ gdje je:} \\ &e_1 = \{A, B\}, e_2 = \{A, C\}, e_3 = \{A, D\}, e_4 = \{B, C\}, \\ &e_5 = \{B, F\}, e_6 = \{C, D\}, e_7 = \{E, F\}, e_8 = \{F, G\}. \end{aligned} \end{equation}$$

Definicija 2. (Podgraf). Graf $H = (V (H),E(H))$ podgraf je grafa $G = (V (G),E(G))$, u oznaci $H\subseteq G$, ako je $V (H) \subseteq V (G)$ i $E(H) \subseteq E(G)$.

Za graf $G$, prikazan na Slici 1., primjer podgrafa $H$ jest: $$\begin{equation} \begin{aligned} &V(H) = \{A, B, C\}, \\ &E(H) = \{e_1, e_4\}. \end{aligned} \end{equation}$$

Definicija 3. (Susjedstvo i incidencija). Za brid $e =\{v,w\}$ kažemo da spaja vrhove $v$ i $w$ i kraće ga označavamo $vw$. U toj situaciji kažemo da su vrhovi $v$ i $w$ grafa $G$ susjedni. Također, kažemo da su incidentni s bridom $e$.

Definicija 4. (Stupanj vrha). Stupanj vrha $v$ grafa $G$ broj je bridova koji su incidentni s $v$. Označavamo ga s $deg(v)$. Vrh stupnja $0$ zovemo izoliranim vrhom, a vrh stupnja $1$ zovemo krajnjim vrhom.

Uz grafičku reprezentaciju grafovi se reprezentiraju i računalno, a odlika takvih reprezentacija mogućnost je izvođenja računa nad njima. Računalna reprezentacija zahtijeva formu zapisa koja u potpunosti opisuje graf, a istovremeno sadržava minimalan broj podataka. Takav je zapis lista bridova (vidi primjer nakon Slike 1.), na temelju koje se potom stvaraju prikazi matrice susjedstva i matrice incidencije, opisani u nastavku.

Definicija 5. (Matrica susjedstva). Označimo li vrhove zadanog grafa $G$ s $V = \{v_1, v_2,\ldots, v_n\},$ gdje je $n = |V|$ broj vrhova grafa, definiramo matricu susjedstva $A(G) = [a_{ij} ]$ kao $n\times n$ matricu čiji je element $a_{ij}$ jednak broju bridova koji spajaju vrh $v_i$ s vrhom $v_j$.

Napomena 1. U nastavku članka oznaka $n$ predstavlja broj vrhova u grafu.

Kod jednostavnih grafova matrica susjedstva sastoji se od $0$ i $1$, a za graf sa Slike 1. izgleda ovako:

Iz prikaza matrice susjedstva moguće je izravno/lako odrediti dva strukturna svojstva grafa. Prvo, može se utvrditi koji su vrhovi susjedni, a drugo, zbroj elemenata pojedinog retka ili stupca daje stupanj pripadajućeg vrha.

Napomena 2. Graf u kojem stupanj svakog vrha iznosi $n -1$ naziva se potpunim grafom. Takav graf sadržava maksimalan broj bridova, odnosno vrijedi: $$|E| = \frac{1}{2} \cdot n\cdot(n-1).$$

Definicija 6. (Matrica incidencije). Označimo li dodatno i bridove zadanog grafa $G$ s $E =\{e_1, e_2,\ldots, e_m\}$ gdje je $m =|E|$ broj bridova, definiramo matricu incidencije kao $n \times m$ matricu $B = [b_{ij} ]$ čiji su elementi $$
b_{ij} =
\begin{cases}
1, & \text{ako je vrh $v_i$ incidentan s bridom $e_j$} \\
0, & \text{inače}.
\end{cases}
$$ Može se uočiti kako svaki stupac matrice incidencije grafa sadržava točno dva elementa s vrijednošću $1$ zbog toga što predstavljaju dva vrha koja spaja taj brid. U nastavku je primjer matrice incidencije za graf sa Slike 1.:

2.2. Povezanost

Definicija 7. (Šetnja). Šetnja u grafu $G$ konačan je niz bridova oblika $v_0v_1$, $v_1v_2$,…,$v_{k-1}v_k$ ili često u oznaci $v_0\to v_1\to\ldots\to v_k$, pri čemu su $v_i$ i $v_{i+1}$ susjedni za $i = 0,1, 2,\ldots k-1$.

Vrhovi $v_0$ i $v_k$ nazivaju se redom početak i kraj šetnje. Broj bridova u šetnji naziva se duljina šetnje. Dopušta se i da je $k = 0$ te se tada govori o šetnji duljine nula, a sastoji se od jednog vrha. U primjeni se rijetko razmatraju sve moguće šetnje, uglavnom se proučavaju šetnje koje zadovoljavaju određene dodatne kriterije.

Definicija 8. (Staza, put i ciklus). Staza je šetnja u kojoj su svi bridovi različiti (vrhovi se mogu ponavljati), dok je put staza u kojoj su svi vrhovi (osim možda prvog i zadnjeg) različiti. Put kod kojeg su prvi i zadnji vrh isti nazivamo ciklusom.

Primjer staze s početnog grafa (Slika 1.) je $A\to D\to C\to A\to B\to C$. Budući da se kod navedene staze pojedini vrhovi ponavljaju, ona istovremeno nije put. Primjer puta je $A\to D\to C\to B$. Poseban slučaj puta, odnosno ciklus, jest $A\to B\to C\to A$.

Definicija 9. Graf je povezan ako postoji put između svakih dvaju različitih vrhova. U suprotnom kažemo da je graf nepovezan. Svaki se nepovezani graf dakle može prikazati kao disjunktna unija povezanih grafova. Svaki član te unije zovemo komponentom povezanosti (ili skraćeno komponentom).

Osvrtom na Definiciju 9. slijedi da svaki vrh pripada točno jednoj komponenti.

2.3. Najkraći put

Neka je $G$ graf i neka je svakom bridu $e$ tog grafa pridružen realni broj $w(e)$, težina brida $e$. Graf $G$, kojem je pridružena funkcija $w$, naziva se težinskim grafom.

Definicija 10. (Težinski graf). Težinski graf je graf $G = (V (G),E(G))$ s funkcijom $w : E(G) \to R$ koja svakom bridu pridružuje numeričku vrijednost (težinu).

Dodjeljivanjem težine bridovima vjernije se modeliraju stvarni problemi, čime se ujedno proširuju mogućnosti primjene jednostavnih grafova. Tako na primjer, u mreži cesta težina brida može označavati udaljenost između dvaju gradova ili broj puteva koji ih povezuju.
U nastavku slijedi grafički prikaz primjera težinskog grafa:

Napomena 3. Svaki graf može se smatrati težinskim ako se svakom bridu dodijeli težina 1. Iz tog se razloga težinski grafovi mogu, osim grafički, prikazivati i matricama incidencije te susjedstva, pri čemu se umjesto vrijednosti 1 upisuju odgovarajuće težine. Prethodno definirani koncepti i pojmovi, kao i oni koji će tek biti uvedeni, prilagođavaju se na identičan način.

Udaljenost dvaju vrhova grafa $G$, označena kao $d(v_i, v_j)$, definirana je kao duljina najkraćeg puta između njih (ako ne postoji put između vrhova $v_i$ i $v_j$ , tada definiramo $d(v_i, v_j) = \infty$). Najkraći je put onaj s najmanjim brojem bridova, tj. najmanjom sumom težina bridova koji povezuju te vrhove u smislu Napomene 3. Između dvaju vrhova može postojati više najkraćih puteva.

Primjer najkraćeg puta između vrhova $D$ i $E$ naznačen je na Slici 6. Međutim, kod većih grafova određivanje udaljenosti složen je matematički problem poznat kao problem najkraćeg puta. U svrhu rješavanja ovog problema pronađeni su brojni algoritmi, među kojima se ističu Dijkstrin algoritam, Floyd-Warshallov algoritam te A* algoritam.

Definicija 11. (Promjer). Promjer grafa $G$ najveća je udaljenost između dvaju vrhova u povezanom grafu. $$promjer(G) := \max \{d(v_i, v_j)\,\mid\, v_i, v_j \in V\}$$

2.4. Usmjereni graf

Grafovi koje smo dosad promatrali bili su neusmjereni. No, bridovima se osim težine može pridružiti i orijentacija. Takvi bridovi nose naziv lukovi. Grafovi u kojima bridove zamjenjujemo lukovima (u grafičkom prikazu predstavljeni strelicama) nazivaju se usmjerenim grafovima ili digrafovima (Naziv digraf potječe od engleskog izraza directed graph.).

Definicija 12. (Digraf). Usmjereni graf ili digraf $D$ sastoji se od nepraznog konačnog skupa $V (D)$ i konačne familije $A(D)$ uređenih parova elemenata skupa $V (D)$ koje zovemo lukovima (engl. arc).

Napomena 4. Odnos između neusmjerenih bridova i lukova jest takav da svaki neusmjeren brid odgovara dvama suprotno orijentiranim lukovima.

U slučaju da iz zadanog digrafa $D$ uklonimo orijentaciju, odnosno zamijenimo svaki luk neusmjerenim bridom, dobiveni graf naziva se pripadnim grafom digrafa $D$.

Mnogi pojmovi koji vrijede za grafove primjenjivi su i na digrafove, jedino što oni u vezi s orijentacijom vrijede isključivo za digrafove. Stoga se u nastavku prilagođavaju definicije susjedstva, incidencije i šetnje.

Definicija 13. Vrhovi $v$ i $w$ digrafa $D$ su susjedni ako postoji luk u $ A(D)$ oblika $vw$ ili $wv$. Vrhovi $v$ i $w$ tada su incidentni sa svakim takvim lukom.

Definicija 14. (Dišetnja). Dišetnja $D$ konačan je niz lukova $v_0v_1$, $v_1v_2$,…,$v_{k-1}v_k$. Analogno definiramo distazu, diput i diciklus.

Na kraju, proširuje se definicija stupnja vrha. Umjesto jedinstvene vrijednosti ona se grana na izlazni i ulazni stupanj vrha.

Definicija 15. Izlazni stupanj vrha $v\in V (D)$ broj je lukova oblika $vw$ za neki $w$; označavamo ga s $outdeg(v)$. Ulazni stupanj od $v$ je broj lukova oblika $uv$ za neki $u$; označavamo ga s $indeg(v)$.

Vrh nazivamo izvorom ako mu je ulazni stupanj nula, a izlazni veći od nule. Obrnuto, ako je ulazni stupanj vrha veći od nule, a izlazni jednak nuli, tada vrh nazivamo ponorom.

3. Mreža

Obično se mreža poistovjećuje s grafom, ali za razliku od grafa, pojam se upotrebljava isključivo u kontekstu opisivanja odnosa u stvarnome svijetu. Postoje razne vrste mreža (dijelimo ih po prirodi vrhova i bridova), a neke od njih su:

• biološke
• socijalne
• informacijske
• poslovne
• računalne
• telekomunikacijske
• transportne.

Mreža koja uključuje po prirodi više različitih vrhova i bridova naziva se heterogena mreža. Također, razlikujemo neusmjerene mreže i dimreže, koje odgovaraju redom neusmjerenim i usmjerenim grafovima.

3.1. Svojstva mreža

Proučavanje mreža temelji se na analizi njezinih kvantitativnih (metrika) i kvalitativnih svojstava. Među raznim svojstvima ističu se sljedeća:

• srednji stupanj
• gustoća
• prosječna duljina puta
• zajednice
• koeficijent klasteriranja
• otpornost i
• centralnost.

U nastavku su navedeni njihovi opisi.

3.1.1. Srednji stupanj

Srednji stupanj jest mjera koja izražava prosječan broj bridova po vrhu u mreži. U neusmjerenim mrežama ima vrijednost prosječnog stupnja vrhova, dok se u usmjerenim mrežama razlikuje za prosječan ulazni i izlazni stupanj. Stoga vrijede sljedeće formule: $$\bar{d} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} deg(v_i), \qquad
\bar{d}^{in} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} indeg(v_i), \qquad
\bar{d}^{out} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} outdeg(v_i).$$

3.1.2. Gustoća

Gustoća je mjera povezanosti mreže, definirana kao omjer broja bridova mreže i maksimalnog mogućeg broja bridova. Tako je za neusmjerene mreže iskazana formulom: $$\delta_n = \frac{2 \cdot |E|}{n \cdot (n – 1)},$$ (vidi Napomenu 2.), dok za dimreže formulom: $$\delta_u = \frac{|A|}{n \cdot (n – 1)}$$ jer je maksimalni broj lukova jednak $n\cdot (n – 1)$ (vidi Napomenu 4.).

3.1.3. Prosječna duljina puta

Prosječna duljina puta predstavlja srednju vrijednost udaljenosti između bilo kojih dvaju vrhova povezane mreže. Opisuje se formulama redom za neusmjerenu mrežu i dimrežu: $$\bar{l}n = \frac{2}{n \cdot (n – 1)} \sum_{i \neq j} d(v_i, v_j),$$ $$\bar{l}u = \frac{1}{n \cdot (n – 1)} \sum_{i \neq j} d(v_i, v_j).$$ Prosječna duljina puta odozgo je omeđena promjerom.

3.1.4. Zajednice

Zajednice ili klasteri podmreže su okarakterizirane većom gustoćom u usporedbi s ostatkom mreže. Kod težinskih grafova zajednice se očituju kao podmreže u kojima je suma težina među vrhovima veća nego s ostatkom mreže. Međutim, ne postoji jedinstvena definicija zajednice, nego se često identificiraju prema navedenoj smjernici. Zbog toga njihov broj i veličine variraju ovisno o pristupu i ciljevima analize.

3.1.5. Koeficijent klasteriranja

Povezana podmreža sastavljena od triju vrhova naziva se trijada. Postoje dvije vrste trijada: otvorene koje sadržavaju 2 brida i zatvorene koje sadržavaju 3 brida.

Koeficijent klasteriranja mjera je tendencije vrhova da se povezuju u klastere. Pojedini vrh $v_i$ definiran je kao omjer stvarnog broja bridova između njegovih susjeda i najvećeg mogućeg broja bridova među njima. Također se može interpretirati kao omjer broja zatvorenih trijada koje uključuju vrh $v_i$ i najvećeg mogućeg broja takvih trijada. U slučaju neusmjerenog grafa koeficijent klasteriranja prikazuje se kao: $$ C_{i\,n} = \frac{2 \cdot |{v_j v_k : v_j, v_k \in N_i, v_j v_k \in E}|}{deg(v_i) \cdot (deg(v_i) – 1)} = \frac{2 \cdot n^i_{\Delta}}{deg(v_i) \cdot (deg(v_i) – 1)},$$ dok za usmjereni graf vrijedi: $$C_{i\,u} = \frac{|{v_j v_k : v_j, v_k \in N_i, v_j v_k \in E}|}{deg(v_i) \cdot (deg(v_i) – 1)} = \frac{n^i_{\Delta}}{deg(v_i) \cdot (deg(v_i) – 1)}.$$ Ovdje $N_i$ označava skup svih susjeda vrha $v_i$, dok $n^i_{\Delta}$ predstavlja broj zatvorenih trijada koje uključuju vrh $v_i$. Za izolirane i krajnje vrhove vrijedi $C_i = 0$.

Prosječni koeficijent klasteriranja mreže jednak je srednjoj vrijednosti koeficijenata $C_i$ svih vrhova: $$\bar{C} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} C_i.$$ Pored prosječnog postoji i globalni koeficijent klasteriranja ($C$), odnosno tranzitivnost. Određuje se kao omjer zatvorenih ($Z$) i ukupnih trijada ($U$) u mreži:

$C = \dfrac{Z}{U}.$

Tranzitivnost odražava sklonost mreže trijadnom zatvaranju, pojavi koja se ilustrira izrekom „prijatelji mog prijatelja i moji su prijatelji” i prikazana je na Slici 9.

Prosječni koeficijent klasteriranja važnost pridaje vrhovima nižeg stupnja, za razliku od tranzitivnosti u kojoj veći značaj imaju vrhovi višeg stupnja. U socijalnim mrežama mjera tranzitivnosti obično je vrlo visoka.

3.1.6. Otpornost

Otpornost je mjera sposobnosti mreže da očuva povezanost nakon uklanjanja pojedinih vrhova. Pri mjerenju se najčešće promatra veličina najveće komponente u odnosu na postotak uklonjenih vrhova. Uklanjanje tih vrhova može biti nasumično ili ciljano, a što je komponenta veća pri većem udjelu uklonjenih vrhova, mreža je otpornija. Pored veličine najveće komponente moguće je promatrati srednji stupanj, prosječnu duljinu puta, broj komponenata, tranzitivnost i tako dalje. Mreže visoke otpornosti često odlikuje veća gustoća, no ipak ključnu ulogu ima njihova topologija.

3.1.7. Centralnost

Postoji više mjera centralnosti, a njihov zajednički cilj jest opisati važnost svakog vrha, no s različitih gledišta.

Stupanjska centralnost. Mjera vrha jednaka je njegovu stupnju. Označavamo ju s $dc$.

Centralnost blizine. U nekim slučajevima promatra se koliko je vrh blizu svim drugim vrhovima. Mjera vrha jednaka je inverzu zbroja udaljenosti od danog vrha do svih ostalih vrhova. Veća vrijednost povlači da je vrh bliži svim ostalim vrhovima, time i centralniji. Ova vrijednost dodatno se množi s $n- 1$ kako bi vrijednosti bile normalizirane, odnosno u intervalu $[0, 1]$. Ovu
centralnost blizine označavamo s $cc$.

Centralnost međupoloženosti. Ovom se mjerom kategoriziraju vrhovi prema udjelu najkraćih puteva između svih parova vrhova, a koji prolaze promatranim vrhom. Za razliku od stupanjske centralnosti, koja mjeri lokalni utjecaj, i centralnosti blizine, koja naglašava dostupnost, međupoloženost pokazuje koliku ulogu vrh ima u povezivanju različitih dijelova mreže. Označavamo ju s $bc$.

Značaj centralnosti očituje se kod promatranja zajednica, gdje su vrhovi s visokom centralnošću često vodeći te u određivanju otpornosti jer uklanjanje takvih vrhova značajno narušava povezanost cijele mreže.

4. Primjena

U ovom dijelu članka promatra se konkretna mreža koja prikazuje odnose između korisničkih oznaka (spominjanja označenih s @) i tematskih oznaka (hashtagova označenih s #) hrvatskog podneblja na društvenoj platformi X. Budući da mreža sadržava po prirodi različite vrhove, ona je heterogena. U nastavku se sažeto opisuje postupak njezina modeliranja, a zatim se provodi analiza dobivenog modela. Cilj je izraditi jednostavan, ali informativan model iz kojeg se mogu steći uvidi u strukturu i obrasce komunikacije na društvenoj platformi.

4.1. Modeliranje mreže

Predstavljena mreža konstruirana je na temelju objava tako da, ako se u jednoj objavi pojavljuju dvije ili više oznaka, uključujući korisničku oznaku autora, između njih se uspostavlja brid težine 1. Ako brid već postoji, njegova težina uvećava se za 1.

Naposljetku su uklonjeni vrhovi koji nisu pripadali najvećoj povezanoj komponenti mreže jer su se nalazili u malim komponentama, uglavnom temeljeni na jednoj objavi i stoga nisu relevantni u analizi. Rezultirajuća mreža, temeljem uzorka od 500 objava, sadržava 397 vrhova i 1331 brid. Ostale važne karakteristike skupa podataka, uzimajući u obzir težinu bridova, prikazane su u Tablici 1.

4.2. Analiza mreže

Analiza se temelji na korištenju opisanih svojstava mreža, što uključuje izračun metrika i raspravu o njima te proučavanje zajednica i centralnih vrhova. Drugim riječima, bit će provedeno kvantitativno i kvalitativno istraživanje.

Dobivena je mreža neusmjerena i težinska, a vrijednosti prethodno objašnjenih metrika prikazane su u Tablici 2.

Visoki prosječni koeficijent klasteriranja (0.908) upućuje na prisutnost brojnih zajednica. Relativno visok srednji stupanj (8.282) u kombinaciji s niskom gustoćom (0.017) ukazuje na značajnu povezanost unutar zajednica, ali slabu povezanost između njih. Zaključuje se kako u objavama postoje različiti interesi koji funkcioniraju kao zasebne cjeline i rijetko se isprepliću.

Mala prosječna duljina puta (3.381) u usporedbi s promjerom (10), uz prethodni zaključak, upućuje na postojanje određenog broja „neutralnih” vrhova koji povezuju inače nepovezane zajednice.

Navedeno je moguće potvrditi vizualnim prikazom mreže gdje su istaknutiji bridovi s većom težinom i vrhovi s višim stupnjem, a pritom se uzima u obzir težina bridova. Vizualizacija je izrađena alatom Gephi kojim je također omogućen prikaz klasteriranja tako da različite boje označavaju različite klastere, odnosno zajednice. Konačna vizualizacija mreže prikazana je na Slici 10.

U navedenoj mreži postoji ukupno sedam zajednica čije su veličine, od najveće do najmanje, popisane u Tablici 3.

Analizom zajednica uočavaju se određeni obrasci. Zajednice su oblikovane oko specifičnih tema, a pritom su one tematski sličnije međusobno čvršće povezane. Većina zajednica okupljena je oko jednog tematskog okvira, dok pojedine zajednice obuhvaćaju više različitih okvira. Primjećuje se da manje zajednice često gravitiraju prema većima, pojedine su izolirane, a neke imaju posredničku ulogu povezujući različite dijelove mreže. Svaka zajednica ima vlastite centralne vrhove. Tematski okviri zajednica te njihovi centralni vrhovi prikazani su u Tablici 4. Teme su utvrđene temeljem sadržaja oznaka, dok su centralni vrhovi određeni prema stupnju centralnosti.

Iz prethodne tablice i vizualnog prikaza mreže uočava se zanimljiv odnos između plave i zelene te ružičaste i narančaste zajednice.

Plava i zelena zajednica unatoč sličnim centralnim vrhovima (#croatia i #hrvatska) razilaze se u sferi interesa. Zelena zajednica obuhvaća rasprave o temama od javnog interesa u Hrvatskoj, poput #bojkot, #voting, #zakon, simbolizirajući građane Republike Hrvatske. S druge strane, u plavoj zajednici naglasak je stavljen na Hrvatsku u međunarodnom okruženju i promociju zemlje oznakama poput #travel, #dubrovnik, #europe.

Sličan se odnos uočava između narančaste i ružičaste zajednice koje pak povezuje politički kontekst. S jedne strane, narančasta zajednica, koja predstavlja Vladu (@vladarh), uključuje oznake poput #oecd, #eurozone i #sjednicavrh kako bi ukazala na politička zbivanja s fokusom na institucionalne teme. S druge strane, ružičasta zajednica (@andrejplenkovic), koja predstavlja HDZ kao vodeću stranku vladajuće većine, sadržava oznake poput #zasveizazove, #hrvatskasnaznavazna i #digitaldiplomacy, kojima se promovira stranka i njezin politički utjecaj.

Vizualni prikaz mreže pokazuje veću povezanost ružičaste sa zelenom nego s narančastom zajednicom, što ukazuje na težnju da se politička kampanja približi građanima Republike Hrvatske.

Na samom kraju analize osvrnut će se detaljnije na centralnost vrhova.

U Tablici 5. prikazane su vrijednosti za tri mjere centralnosti — stupanjsku $(dc)$, blizine $(cc)$ i međupoloženosti $(bc)$ — i to za prvih sedam vrhova prema pojedinoj mjeri.

Analizirajući stupanjsku centralnost, uočava se značajan broj veza kod vodećih vrhova, pri čemu #croatia (182) ima oko šest puta veću vrijednost od sedmog na popisu #travel (30). Ovaj trend jasnije je prikazan na Slici 11. gdje broj vrhova po stupnju eksponencijalno pada, što upućuje na jaku centraliziranost mreže.

Promatrajući centralnost blizine, primjećuje se da su vrijednosti unutar raspona $[0.39, 0.52]$, a bez prvih dvaju vrhova raspon se sužava na $[0.39, 0.41]$. Mala razlika između vrijednosti sugerira kako mjera nije ključna za razumijevanje ove mreže. Međutim, oznaka #ukraine ističe se s vrijednošću $0.41$ na četvrtom mjestu po rangu unatoč tomu što ima relativno nizak stupanj vrha koji iznosi devet. Razlog proizlazi iz povezanosti s vrhovima visoke stupanjske centralnosti. U kontekstu stvarnih događaja ova povezanost odražava solidarnost i podršku utjecajnih hrvatskih korisnika prema Ukrajini.

Kod centralnosti međupoloženosti prvih pet vrhova (#croatia (53293), #zagreb (34401), #hrvatska (14242), @andrejplenkovic (9767) i @vladarh (6938)) odgovara centralnim vrhovima zajednica iz prethodnog dijela analize. Ovim se utvrđuje njihova važnost kao posrednika između različitih zajednica. No, zbog korelacija između centralnosti međupoloženosti i stupanjske centralnosti informativna vrijednost ove mjere djelomično je ograničena.

Analiza pokazuje da stupanjska centralnost predstavlja najprimjereniju mjeru centralnosti jer jasno ističe centralne vrhove, a njezino je izračunavanje jednostavno i brzo, što je osobito važno pri analizi većih mreža. Centralnost blizine i međupoloženosti, iako korisne u drugim kontekstima, ovdje su manje informativne zbog specifičnosti strukture mreže i koreliranosti s rezultatima stupanjske centralnosti.

4.3. Nedostatci mreže

Ograničenja podataka utječu na cjelovitost i pouzdanost analize mreže, a njihovi se nedostatci u ovom članku uočavaju u više slučajeva.

Tematske oznake u objavama često su nepravilno formatirane — korisnici ih objavljuju nekonzistentno ili s tipografskim pogreškama. Uz to, uzorak podataka relativno je malen (500 objava), što u kombinaciji s manjom popularnošću platforme X među hrvatskim korisnicima u usporedbi s Facebookom i Instagramom (https://gs.statcounter.com/social-media-stats/all/croatia pristupljeno 13. 5. 2025.), ograničava generalizaciju zaključaka. Također, analiza ne uzima u obzir kontekst objava u kojem se oznake spominju.

Spomenuta ograničenja ukazuju na potrebu za oprezom pri interpretaciji rezultata te sugeriraju potrebu za proširenjem uzorka objava i uključivanje drugih platformi, kao i razmatranje konteksta u budućim istraživanjima.

5. Zaključak

Teorija grafova može se uspješno primijeniti u analizi društvenih platformi. Modeliranjem konkretne heterogene mreže temeljene na uzorku objava s platforme X ispitani su odnosi između korisničkih i tematskih oznaka. Uočava se podjela mreže na zajednice i njihova organizacija oko specifičnih tematskih okvira. Pronađeno je pravilo u distribuciji stupnjeva koje ukazuje na visoku centraliziranost mreže. Identificirani su centralni vrhovi, a stupanjska centralnost pokazala se kao najrelevantnija mjera zbog informativne vrijednosti, ali i zbog svoje računske nezahtjevnosti. Navedeni rezultati pružaju uvid u strukturu i obrasce komunikacije hrvatskih korisnika na platformi X. Mali uzorak i nedostatak konteksta predstavljaju ograničenja koja treba nadvladati. Buduća istraživanja mogu uključiti veći uzorak, kombinirati više platformi i upotrijebiti sadržaj objava za preciznije ili nove zaključke.

Literatura

1. M. Cellich (2023.): Mreže malog svijeta, završni rad, Sveučilište Jurja Dobrile u Puli, Fakultet informatike u Puli, preuzeto s: https://repozitorij.unipu.hr/islandora/object/unipu:8556 (pristupljeno 5. ožujka 2025.)
2. A. Chakraborty, T. Dutta, S. Mondal, A. Nath (2018.): Application of graph theory in social media, International Journal of Computer Sciences and Engineering. 6, 10(2018). 722–729, preuzeto s https://www.ijcseonline.org/full_paper_view.php?paper_id=3090 (pristupljeno 24. prosinca 2024.)
3. Grafovi – X.FER, preuzeto s: https://www.fer.unizg.hr/_download/repository/Osnovni_pojmovi-teorija_grafova.pdf (pristupljeno 10. studenoga 2024.)
4. T. Horina (2018.): Matematička analiza socijalnih mreža, diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, Zagreb, preuzeto s: https://repozitorij.pmf.unizg.hr/islandora/object/pmf:5948 (pristupljeno 1. ožujka 2025.)
5. D. Kovačević, M. Krnić, A. Nakić, M. O. Pavčević (2020.): Diskretna matematika 1, FER
6. M. Marinović (2018.): Mjere centralnosti u kompleksnim mrežama, diplomski rad, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku, Odjel za matematiku, Osijek, preuzeto s: https://repozitorij.mathos.hr/islandora/object/mathos:220 (pristupljeno 24. ožujka 2025.)
7. A. Meštrović, Z. Grubiša (2015.): Preliminarna analiza mreža, koautorstva Sveučilišta u Rijeci, Zbornik Veleučilišta u Rijeci. 3,1(2015). 143–159, preuzeto s: https://hrcak.srce.hr/139725 (pristupljeno 30. ožujka 2025.)
8. E. Murljačić (2020.): Rudarenje podataka o znanstvenoj suradnji iz baze google scholar, diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Prirodoslovno-matematički fakultet, Zagreb, preuzeto s: https://repozitorij.pmf.unizg.hr/islandora/object/pmf:9408 (pristupljeno 24. veljače 2025.)
9. F. Simonovski (2012.): Vizualizacija kompleksnih društvenih mreža, diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, preuzeto s: https://www.bib.irb.hr:8443/573991 (pristupljeno 24. veljače 2025.)
10. D. Veljan (1989.): Kombinatorika s teorijom grafova, Školska knjiga, Zagreb
11. M. Šitum (2013.): Analiza društvenih mreža, diplomski seminar, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet elektrotehnike i računarstva, Zagreb, preuzeto s: Seminar_-_Mirjam_Situm.pdf (pristupljeno 28. veljače 2025.)

---