Neki kombinatorni modeli Čebiševljevih polinoma

Uvod

Definicije i osnovna svojstva

$n$	$T_n(x)$	$U_n(x)$
$0$	$1$	$1$
$1$	$x$	$2x$
$2$	$2x^2-1$	$4x^2-1$
$3$	$4x^3-3x$	$8x^3-4x$
$4$	$8x^4-8x^2+1$	$16x^4-12x^2+1$
$5$	$16x^5-20x^3+5x$	$32x^5-32x^3+6x$

Ideja popločavanja

• kvadratnih pločica dimenzije $1\times 1$
• pravokutnih ili domino pločica dimenzije $1\times 2$.

$n$	sume	broj načina
$1$	$1$	$1=F_2$
$2$	$1+1$, $2$	$2=F_3$
$3$	$1+1+1$, $1+2$, $2+1$	$3=F_4$
$4$	$1+1+1+1$, $1+1+2$, $1+2+1$, $1+1+2$, $2+2$	$5=F5$

Četiri kombinatorna problema za Čebiševljeve polinome

Teorem 1. Ukupna težina svih popločavanja ploče dimenzije $1\times n$ prema modelu I jednaka je $U_n(x)$, za sve $n\ge0$.

Za popločavanje ploče duljine $n$ upotrebljavamo dvije vrste kvadratnih pločica — bijelu i sivu te (bijelu) domino pločicu. Težine pločica zadane su s:

Teorem 2. Ukupna težina svih popločavanja ploče dimenzije $1\times n$ prema modelu II jednaka je $U_n(x)$, za sve $n\ge0$.

Teorem 3. Ukupna težina svih popločavanja ploče dimenzije $1\times n$ prema Modelu III jednaka je $T_n(x)$, za sve $n\ge0$.

Teorem 4. Ukupna težina svih popločavanja ploče dimenzije $1\times n$ prema Modelu IV jednaka je $T_n(x)$, za sve $n\ge0$.

Identiteti

Teorem 8. $$U_n(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k {n-k \choose k} (2x)^{n-2k}, \ n \geq 0$$

• jednog popločavanja bez domino pločica
• pet popločavanja s jednom domino pločicom
• šest popločavanja s dvjema domino pločicama
• jednog popločavanja s trima domino pločicama.

Literatura

1. Z. Drmač, V. Hari, M. Marušić, M. Rogina, Sanja Singer, Saša Singer, Numerička analiza, Sveucilište u Zagrebu, PMF — Matematički odsjek, 2007.
2. J. C. Mason, D. C. Handscomb, Chebyshev Polynomials, Chapman and Hall/CRC, 2002.
3. T. J. Rivlin, Chebyshev Polynomials: From Approximation Theory to Algebra and Number Theory: Second Edition, John Wiley $\&$ Sons, Inc., New York, 1990.
4. D. Walton, A Tiling Approach to Chebyshev Polynomials, Harvey Mudd College, Department of Mathematics, 2007.
5. J. Zubak, Kombinatorni modeli Čebiševljevih polinoma, diplomski rad, PMF-Matematički odsjek, Sveučilište u Zagrebu, 2024.

---