Jedno od osnovnih pitanja koje se postavlja pri proučavanju pojedine funkcije jest pitanje njezine neprekidnosti, derivabilnosti te mogućeg proširenja do “ljepše” funkcije, tj. do neprekidne i/ili derivabilne funkcije. U ovom radu proučit ćemo funkcije oblika $f(x)=x^n \sin \frac 1x$ ($n\in \mathbb{N}_0$) te odgovoriti na pitanje jesu li neprekidne odnosno derivabilne, a ako nisu, postoje li njihova proširenja koja su neprekidna i derivabilna.
Prvo pogledajmo funkciju $f(x)=\sin \frac 1x$. Njezina je prirodna domena skup svih realnih brojeva različitih od $0$. Budući da se ovdje radi o kompoziciji dviju neprekidnih, pa i derivabilnih funkcija svakog reda na $\mathbb{R}\backslash \{0\}$, ova je funkcija neprekidna i derivabilna funkcija svakog reda u svakoj točki svoje prirodne domene. Međutim, može li se funkcija $f$ proširiti do neprekidne funkcije na cijelom skupu $\mathbb{R}$? Drugim riječima, možemo li funkciju $f$ dodefinirati u nuli tako da je novodobivena funkcija neprekidna?
Pri analizi funkcija, ako je to moguće, dobro je nacrtati njezin graf jer promatranjem grafa možemo naslutiti određena svojstva, postaviti neke hipoteze, koje se dakako trebaju i dokazati.
Promatranjem grafa u okolini točke $0$ i korištenjem funkcije “zumiranja” u GeoGebrinu apletu uočavamo da funkcija titra oko $0$ u rasponu od $-1$ do $1$ te da zumiranjem ne dobivamo neku novu informaciju o tome postoji li neka vrijednost oko koje se funkcija stabilizira. Stoga postavljamo hipotezu da se funkciju $f$ ne može proširiti do neprekidne funkcije u točki $0$.
Dokažimo tu tvrdnju. Poslužit ćemo se sljedećom definicijom neprekidnosti u točki $c$: kažemo da je funkcija $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ neprekidna u točki $c\in I$ ako za svaki niz $(x_n)$, ($x_n\in I$) koji konvergira prema $c$ vrijedi da niz njegovih funkcijskih vrijednosti konvergira broju $f(c)$. Dakle, kažemo da je $f$ neprekidna u $c$ ako je
$$
\lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n)=f(c)
$$ za svaki niz $(x_n)$, ($x_n\in I$) za koji vrijedi $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} x_n=c $.
Ako želimo dokazati da ne postoji neprekidno proširenje funkcije $f$ u točki $c=0$, dovoljno je naći dva niza $(a_n)$ i $(b_n)$ koji konvergiraju k nuli, a nizovi njihovih funkcijski vrijednosti ne konvergiraju k istom broju.
Definirajmo nizove $(a_n)$ i $(b_n)$ ovako: $$ a_n=\frac{1}{n\pi} \quad b_n=\frac{2}{4n\pi + \pi}. $$ Odabrani su tako da niz $(a_n)$ čine nultočke funkcije $f$, a niz $(b_n)$ čine točke u kojima $f$ poprima maksimum $1$. Očito je da vrijedi \begin{align} \lim_{n\rightarrow \infty} a_n&= \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n\pi} = 0,\\ \lim_{n\rightarrow \infty} b_n&= \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2}{4n\pi+\pi} = 0 \end{align} i \begin{align} \lim_{n\rightarrow \infty} f(a_n)&=\lim_{n\rightarrow \infty} 0 = 0,\\[6pt] \lim_{n\rightarrow \infty} f(b_n)&= \lim_{n\rightarrow \infty} 1 = 1. \end{align}
Dakle, funkciju $f$ ne možemo proširiti do funkcije koja bi bila neprekidna u točki $c=0$. Drugim riječima, ne postoji $
\lim\limits_{x\rightarrow 0} \sin \frac 1x$.
Promotrimo sad funkciju $f_1(x)=x\sin \frac 1x$ dobivenu množenjem funkcije $f$ s $x$. Možemo li nju proširiti do funkcije neprekidne na cijelom $\mathbb{R}$?
Graf funkcije $f_1$ nalazi se na donjoj slici.
I ova funkcija titra oko $c=0$, ali za razliku od funkcije $f$ njezine se amplitude smanjuju (zumirajte sliku) te izgleda kao da se funkcija stabilizira u nuli. Kad bismo uzeli ista gornja dva niza $(a_n)$ i $(b_n)$, sad bismo dobili da je $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} f(a_n)=0$ i $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} f(b_n)=0$, tj. imaju isti limes. Ovo, naravno, nije dovoljno za ikakav zaključak o neprekidnosti jer prisjetimo se da u definiciji imamo zahtjev prema kojem svaki niz mora imati jednaki limes funkcijskih vrijednosti.
Promatranjem grafa funkcije postavljamo hipotezu da funkcija ima limes u nuli i da je taj limes jednak $0$, tj. tvrdimo da je $$
\lim_{x\rightarrow 0} x\sin \frac 1x = 0. $$
U dokazu ćemo se poslužiti teoremom o sendviču koji glasi ovako:
Teorem. ${}$ Neka je $I$ interval i $c\in I$. Neka su $f$, $g$ i $h$ funkcije definirane na $I\backslash \{ c\}$ za koje vrijedi $$
f(x) \leq g(x) \leq h(x), \ \mbox{ za sve $x\in I\backslash \{c\}$}. $$ Ako je $$
\lim_{x\rightarrow c} f(x) = L \quad \mbox{i} \quad \lim_{x\rightarrow c} h(x) = L,
$$ tada je $$
\lim_{x\rightarrow c} g(x) = L.$$
Funkcija sinus ograničena je brojevima $-1$ i $1$, pa za svaki $x\not= 0 $ vrijedi $$
0 \leq \left|\sin \frac 1x \right| \leq 1. $$ Množenjem s $|x|$ dobivamo: $$
0 \leq \left|x\sin \frac 1x \right| \leq |x|. $$
Budući da je $$\lim_{x\rightarrow 0} 0 = 0 \quad \mbox{i} \quad \lim_{x\rightarrow 0} |x| =0,$$ prema teoremu o sendviču slijedi da je i $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left|x\sin \frac 1x \right| = 0$, a odatle slijedi da je $\lim\limits_{x\rightarrow 0} x\sin \frac 1x = 0$. Dakle, $f_1$ može se dodefinirati do neprekidne funkcije koju ćemo i dalje zvati $f_1$ i čija formula glasi: $$f_1(x) = \left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle x\sin \frac 1x & \quad \mbox{za} \quad x\not=0 \\ 0 & \quad \mbox{za} \quad x=0 \end{array} \right.\ \ . $$
Istom bismo argumentacijom došli do zaključka da se svaka od funkcija $f_n(x)= x^n\sin \frac 1x$ ($n\in \mathbb{N}$) može dodefinirati do neprekidne funkcije na cijelom $\mathbb{R}$ tako da se za $x=0$ stavi da je $f_n(x)=0$.
Budući da je $f_1$ neprekidna, možemo postaviti i pitanje njezine derivabilnosti. Prisjetimo se definicije derivacije funkcije $f$ u točki $c$. Kažemo da $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ ima derivaciju u točki $c\in I$ ako postoji limes $$
\lim_{x\rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}. $$ Taj se limes naziva derivacija funkcije $f$ u točki $c$ i označava s $f'(c)$.
Izračunajmo taj limes za funkciju $f_1$ u točki $c=0$: $$
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f_1(x)-f_1(0)}{x-0} =
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x \sin \frac 1x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \sin \frac 1x.
$$ Pri analizi funkcije $f$ dokazali smo da taj limes ne postoji. Dakle, funkcija $f_1$ nema derivaciju u točki $c=0$.
U analizi funkcija $f$ i $f_1$ pozitivan se pomak dogodio kad smo funkciju pomnožili s $x$. Hoće li se nešto slično dogoditi i u ovom slučaju? Promatrajmo funkciju $$
f_2(x)=\left\{
\begin{array}{cl}
\displaystyle
x^2\sin \frac 1x & \quad \mbox{za} \quad x\not=0 \\
0 & \quad \mbox{za} \quad x=0
\end{array}\right. \ \ .
$$
Za $x\not=0$ njezina je derivacija: $$
f_2^{\prime}(x)= 2x\sin \frac 1x -\cos \frac 1x.$$ Za $x=0$ računamo derivaciju putem definicije: $$
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f_2(x)-f_2(0)}{x-0} =
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac 1x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} x\sin \frac 1x=0. $$
Stoga je derivacija funkcije $f_2$ jednaka $$ f_2^{\prime}(x) =\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle 2x\sin \frac 1x -\cos \frac 1x & \quad \mbox{za} \quad x\not=0 \\ 0 & \quad \mbox{za} \quad x=0\\ \end{array}\right.\ \ .
$$ Dakle, $f_2$ derivabilna je u $c=0$. Je li derivacija od $f_2$ neprekidna, tj. je li $f_2$ klase $C^1$?
Neprekidnost funkcije $f_2^{\prime}$ provjerit ćemo računanjem limesa $\lim\limits_{x\rightarrow 0} f_2^{\prime}(x)$. Ako je taj limes jednak $f_2^{\prime}(0)$, tj. ako je jednak $0$, tada možemo zaključiti da je $f_2^{\prime}$ neprekidna u nuli.
Dakle, računamo $$\lim_{x\rightarrow 0} f_2^{\prime}(x) = \lim_{x\rightarrow 0} \left( 2x\sin \frac 1x -\cos \frac 1x \right).$$ Na način kako smo dokazali da limes funkcije $\sin \frac 1x$ ne postoji kad $x$ teži k $0$, pokazuje se da niti limes funkcije $\cos \frac 1x$ kad $x$ teži k nuli ne postoji. S druge strane, limes od $2x\sin \frac 1x $ postoji, pa zaključujemo da $\lim\limits_{x\rightarrow 0} f_2^{\prime}(x)$ ne postoji, tj. $f_2^{\prime}$ nije neprekidna u $0$.
Nastavimo povećavati potenciju uz faktor $\sin \frac 1x$. Analizirajmo funkciju $f_3$: $$f_3(x) = \left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle x^3\sin\frac 1x & \quad \mbox{za} \quad x\not=0 \\ 0 & \quad \mbox{za} \quad x=0 \end{array}\right. \ \ .$$ Njezina derivacija glasi: $$ f_3^{\prime}(x) =\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle 3x^2 \sin\frac 1x -x\cos \frac 1x & \quad \mbox{za} \quad x\not=0 \\ 0 & \quad \mbox{za} \quad x=0 \end{array} \right. \ \ ,$$ pri čemu smo $f_3^{\prime}(0)=0$ dobili iz definicije, tj. računajući limes kvocijenta: $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f_3(x)-f_3(0)}{x-0} =
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^3 \sin \frac 1x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} x^2\sin \frac 1x=0. $$ Koristeći se teoremom o sendviču na funkcije $3x^2\sin \frac 1x$ i $x\cos \frac 1x$, dobivamo da one teže k nuli kad $x$ teži k nuli te je derivacija $f_3^{\prime}$ neprekidna u nuli.
Je li $f_3^{\prime}$ derivabilna, tj. je li $f_3$ dva puta derivabilna u nuli? Opet pogledajmo definicijski limes za derivaciju: $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f_3^{\prime}(x)-f_3^{\prime}(0)}{x-0} =
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{3x^2 \sin\frac 1x -x\cos \frac 1x}{x} =
\lim_{x\rightarrow 0} \left(3x\sin \frac 1x – \cos \frac 1x\right). $$ Taj limes ne postoji, pa $f^{”}_3(0)$ ne postoji.
Na sličan način napravili bismo i analizu funkcije $f_4(x)=x^4\sin \frac 1x$ i dobili bismo da njezina druga derivacija nije neprekidna u nuli. Sve dosadašnje rezultate stavimo u preglednu tablicu:
| funkcija $f$ | $f$ | $f_1$ | $f_2$ | $f_3$ | $f_4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f$ neprekidna u $0$ | ne | da | da | da | da |
| $f$ derivabilna u $0$ | ne | da | da | da | |
| $f^{\prime}$ neprekidna u $0$ | ne | da | da | ||
| $f^{\prime}$ derivabilna u $0$ | ne | da | |||
| $f^{”}$ neprekidna u $0$ | ne |
Vidimo da se s povećanjem eksponenta $n$ mijenja neprekidnost i derivabilnost funkcije $f_n$.
Napomena.
Zadatci u kojima se proučava neprekidnost i derivabilnost funkcije te razmatra pitanje njezinog neprekidnog proširenja standardni su zadatci kolegija Matematička analiza na početnim godinama studija na raznim tehničkim fakultetima. Koristeći se ovom zanimljivom klasom funkcija, pokazali smo alat i strategije kojima se rješavaju ovakvi matematički problemi.