Metodika

Niz i njegova gomilišta
Može li niz imati beskonačno mnogo gomilišta?

Sanja Varošanec (Zagreb)  
Godište XXV / Broj 125. / 2024.
8. Sonja slaže kuglice na stepenice kao na slici. Kako će izgledati niz kuglica na stepenici s upitnikom?
A.
B.
C.
D.
E.
Slika 1. Klokan 2016, III. razred OŠ
19. Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $a_1=2017$, $a_{n+1}=\dfrac{a_{n-1}}{a_n}$. Odredi $a_{2017}$.
A. $-2017$ B. $\dfrac{-1}{2016}$ C. $\dfrac{2016}{2017}$ D. $1$ E. $2017$
Slika 2. Klokan 2017, IV. razred SŠ
Slika 3. Graf niza $(a_n)$ gdje je $a_n=\frac{n}{2n-5}$ u ravnini (lijevo) i na brojevnom pravcu (desno)

Podniz niza

Slika 4. Na slici je plavom bojom označen graf podniza $(a_{2n})$, a crvenom graf podniza $(a_{2n-1})$.

Limes niza i gomilište niza

Primjer 1. Promotrimo niz $(a_n)$ gdje je $a_n=\dfrac1n$.
a) Nacrtajmo graf niza i istaknimo točke za koje je $|a_n|<\dfrac15$. Koliko ih ima? Nakon kojeg mjesta $n_0$ u nizu vrijedi $|a_n|<\dfrac15$ za sve $n\ge n_0$? Koliko ima članova niza za koje ne vrijedi $|a_n|<\dfrac15$?
b) Broj $\dfrac15$ zamijenimo s $\dfrac1{10}$ i odgovorimo na ista pitanja kao u a) dijelu.
c) Broj $\dfrac15$ zamijenimo bilo kojim pozitivnim brojem $\varepsilon$ i odgovorimo na ista pitanja kao u a) dijelu.

Rješenje.
a) Točke za koje vrijedi da im je ordinata po apsolutnoj vrijednosti manja od $\dfrac15$ nalaze se u pruzi između pravaca $y=-\dfrac15$ i $y=\dfrac15$. Ima ih beskonačno mnogo jer za sve $n\ge6$ vrijedi $|a_n|=\left|\dfrac1n\right|=\dfrac1n<\dfrac15$. Dakle, za traženi $n_0$ možemo uzeti $n_0=6$. Izvan pruge nalazi se konačno mnogo točaka niza, preciznije njih $5$.
graf niza u koordinatnom sustavu
prikaz brojeva $a_n$ na brojevnom pravcu
b) Jediničnu ćemo dužinu na $y$-osi povećati kako bi nam slika bila što čitljivija. Promotrimo nejednakost $|a_n|<\dfrac1{10}$. Za koje $n$ ona vrijedi? $$ \dfrac1n<\dfrac1{10}\ \ \ \text{vrijedi za}\ \ \, n>10.
$$

Za $n_0\ge11$ vrijedi $|a_n|=\left|\dfrac1n\right|<\dfrac1{10}$. U pruzi omeđenoj pravcima $y=\dfrac1{10}$ i $y=-\dfrac1{10}$ nakon mjesta $10$, nalaze se svi članovi niza $(a_n)$. Izvan pruge nalaze se članovi za $n=1,2,\ldots,10$, njih konačno mnogo i za njih ne vrijedi $|a_n|<\dfrac1{10}$.

c) Za bilo koji pozitivni broj $\varepsilon$ slika bi bila slična slikama iz podzadataka a) i b).


Kad je $|a_n|< \varepsilon$? Riješimo nejednadžbu $\dfrac1n< \varepsilon\implies > \dfrac1{\varepsilon}$. Znači, čim je broj $n$ veći od $\dfrac1{\varepsilon}$, vrijedi $|a_n|< \varepsilon$. Za $n_0$ uzimamo bilo koji prirodni broj veći od $\dfrac1{\varepsilon}$. To na primjer može biti $n_0=\left\lfloor\dfrac1{\varepsilon}\right\rfloor+1$. Ovdje je $\left\lfloor x\right\rfloor$ oznaka za najveće cijelo od broja $x$, tj. to je najveći broj koji je cijeli i manji ili jednak $x$. Tako je $\lfloor3\rfloor=3$, $\lfloor3.8\rfloor=3$, $\lfloor-3.8\rfloor=-4$.

Za koliko članova niza ne vrijedi $|a_n|< \varepsilon$? Samo za konačno mnogo njih.

Istaknimo svojstvo koje ima broj $0$. Oko broja $0$ uzmemo bilo koji otvoreni interval $I$ (u ovom slučaju radi se o intervalu $\langle 0-\varepsilon, 0+\varepsilon \rangle$, koji kratko zovemo $\varepsilon$-okolina broja $0$). Na grafu u koordinatnom sustavu javlja se pruga ograničena pravcima $y=-\varepsilon$ i $y=\varepsilon$. Izvan te pruge nalazi se samo konačno mnogo članova niza $(a_n)$. Naravno, unutar pruge nalaze se svi članovi niza $(a_n)$ nakon nekog mjesta, tj. unutar pruge nalazi se beskonačno mnogo članova niza $(a_n)$.
Ovo svojstvo vrijedi za bilo koji otvoreni interval $I$ oko $0$. Zato broj $0$ nazivamo limes niza $(a_n)$ i označavamo: $$
\lim_{n\rightarrow \infty } \frac 1n = 0.$$ Ovo se svojstvo ponekad uzima kao definicija limesa niza.
Primjer 2. Odredimo gomilišta niza $(a_n)$ koji su limesi podnizova $(a_{2n})$ i $(a_{2n-1})$, ako je $$a_n= (-1)^{n-1}\frac{2n+1}{n+3}.$$
Plavom su bojom označeni članovi niza s parnim indeksima, a crvenom s neparnim indeksima

Rješenje.
Opći član podniza s parnim indeksima glasi ovako:$$a_{2n}=(-1)^{2n-1}\frac{2\cdot 2n +1}{2n+3}= – \frac{4n+1}{2n+3}.$$ Njegov je limes jednak $-2$. Naime, dijeljenjem brojnika i nazivnika racionalne funkcije s najvećom potencijom (a to je $n$) dobivamo ovaj račun: $$\lim_{n \rightarrow \infty} a_{2n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(-\frac{4n+1}{2n+3}\right) = \lim_{n \rightarrow \infty}\left( – \frac{4 + \frac 1n }{2+\frac 3n}\right)=-\frac 42=-2.$$Opći član podniza s neparnim indeksima glasi ovako: $$a_{2n-1}=(-1)^{2n-2}\frac{2\cdot (2n-1) +1}{(2n-1)+3}= \frac{4n-1}{2n+2}.$$Njegov je limes jednak $2$. Brojevi $-2$ i $2$ su gomilišta niza $(a_n)$.

Koliko gomilišta može imati niz?

Slika 5. Graf niza $(a_n)$ gdje je $a_n=n$
Slika 6. Graf niza $(b_n)$
Slika 7. Shema u kojoj su zapisani svi pozitivni razlomci
Slika 8. Prateći upisane strelice sve brojeve iz sheme zapisujemo u niz
Primjer 3. Neka je niz $(a_n)$ zadan ovako: $$a_n = \left\{ \begin{array}{cl} p + \dfrac{1}{p^k} & \mbox{ ako je $n=p^k$ za neki prosti broj $p$ i neki prirodni broj $k$} \\ n & \mbox{inače}. \end{array} \right. $$ Pokažimo da ovaj niz ima prebrojivo mnogo gomilišta.

Rješenje.
Neka je $p$ bilo koji prosti broj. Formiramo podniz $$p+\frac 1p, \ p+\frac{1}{p^2}, \ p+\frac{1}{p^3}, \ p+\frac{1}{p^4}, \ \ldots$$ Taj podniz teži prema broju $p$, tj. broj $p$ je gomilište niza $(a_n)$, a budući da prostih brojeva ima beskonačno mnogo i to prebrojivo mnogo, ovo je primjer niza koji ima prebrojivo mnogo gomilišta.
LITERATURA
  1. M. Ćulav Markičević, N. Lukač, M. Marić, S. Stilinović, S. Varošanec, Z. Varošanec, Matematičko natjecanje Klokan bez granica 2015.-2017., HMD, Zagreb, 2018.
  2. S. Varošanec, Matematika 4, udžbenik za 4. razred gimnazija i strukovnih škola, Element, Zagreb, 2012.
prof. dr. sc. Sanja Varošanec, Matematički odsjek, Prirodoslovno-matematički fakultet Sveučilišta u Zagrebu