Od samih početaka matematičkog obrazovanja učenici susreću trokut, osnovne pojmove o trokutu i svojstva vezana za trokut. Tako već u osnovnoj školi upoznaju i četiri karakteristične točke trokuta: težište, ortocentar, središte opisane kružnice i središte upisane kružnice. Kada promislimo o definicijama spomenutih točaka, uočavamo da se dobivaju kao presjeci triju odgovarajućih pravaca. Nastavkom svog školovanja, učenici se susreću i s dokazima koji osiguravaju da su te točke dobro definirane. Odnosno, sami dokazuju da se sve tri težišnice stvarno sijeku u jednoj točki, kao i simetrale stranica, simetrale kutova te okomice na stranice iz vrhova. Nadalje, u srednjoj se školi kao jedan dio nastavnog sadržaja pojavljuje i Eulerov pravac, dok učenici koji se pripremaju za natjecanja obično tom prilikom susretnu i Simsonov pravac.
U ovom radu promatrat ćemo još neke osobite pravce trokuta koje nije uobičajeno susresti u osnovnoj i srednjoj školi. Naime, kao što možemo i pretpostaviti, postoje još mnogi primjeri zanimljivih pravaca koji su vezani za trokut, a problemska situacija koja se javlja uvijek je ista – pravac je jedinstveno određen dvjema točkama. Međutim, kada dvije točke u trokutu zadovoljavaju neko svojstvo, tada se javlja i treća točka s tim istim svojstvom. Prema tome, karakteristično se pitanje otvara samo: “Leži li i ta treća točka na pravcu koji određuju prve dvije promatrane točke?”
1. Gaussov pravac
Započnimo jednim zanimljivim primjerom takvog pravca, koji nosi ime poznatog matematičkog genija i izuzetnog velikana ove znanosti – Gaussovim pravcem, [1].
Teorem 1. Pravac $p$ siječe pravce na kojima leže stranice $\overline{BC}$, $\overline{AC}$, $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ u točkama $A_1, B_1, C_1.$ Tada polovišta $A_2, B_2, C_2$ redom dužina $\overline{AA_1}$, $\overline{BB_1}$, $\overline{CC_1}$ leže na jednom pravcu $g$ koji nazivamo Gaussov pravac.
Prije dokaza teorema o Gaussovu pravcu navedimo Menelajev teorem koji nećemo posebno dokazivati, ali poslužit će nam kao pomoćni teorem pri dokazivanju tvrdnji u ovom članku.
Menelajev teorem.
Neka su točke $B_1$ i $C_1$ na stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{AB}$, a točka $A_1$ na produžetku stranice $\overline{BC}$, trokuta $ABC$. Točke $A_1, B_1, C_1$ su kolinearne ako i samo ako vrijedi
$$
\frac{|AC_1|}{|C_1B|} \cdot \frac{|BA_1|}{|A_1C|} \cdot \frac{|CB_1|}{|B_1A|}=1.
$$
Dokaz Teorema 1.
Uočimo trokut $A’B’C’$ na slici 1. čiji su vrhovi polovišta stranica danog trokuta $ABC$. Tada su dužine $\overline{A’B’}$, $\overline{B’C’}$ i $\overline{A’C’}$ srednjice trokuta te su paralelne s odgovarajućim stranicama trkouta $ABC$. Tada vrijede sljedeće jednakosti: $$\frac{|AC_1|}{|BC_1|}=\frac{|B’C_2|}{|A’C_2|}$$ $$\frac{|BA_1|}{|CA_1|}=\frac{|C’A_2|}{|B’A_2|}$$ $$\frac{|CB_1|}{|AB_1|}=\frac{|A’B_2|}{|C’B_2|}.$$
Prema Menelajevu teoremu vrijedi:
$$\frac{|AC_1|}{|BC_1|} \cdot \frac{|BA_1|}{|CA_1|} \cdot \frac{|CB_1|}{|AB_1|}=1,$$
no onda vrijedi i:
$$\frac{|B’C_2|}{|A’C_2|} \cdot \frac{|C’A_2|}{|B’A_2|} \cdot \frac{|A’B_2|}{|C’B_2|}=1.$$
Opet prema Menelajevu teoremu vrijedi da su točke $A_2, B_2, C_2$ kolinearne, odnosno da pripadaju jednom pravcu $g$ koji zovemo Gaussov pravac.
$\square$
2. Ortocentrični trokut i pridruženi mu pravac
U ovom poglavlju predstavit ćemo ortocentrični trokut te promatrati karakterističan mu pravac. Prvo definirajmo ortocentrični trokut.
Definicija 1.
Trokut $DEF$ kojemu su vrhovi nožišta okomica spuštenih iz ortocentra $H$ na pravce koji sadrže stranice danog trokuta $ABC$ zovemo ortocentričnim trokutom trokuta $ABC$.
Slijedi zanimljivo svojstvo ortocentričnog trokuta koje nam donosi još jedan osobiti pravac trokuta, [2].
Teorem 2.
Neka je trokut $DEF$ ortocentričan trokut trokutu $ABC$ tako da $D\in \overline{BC}$, $E\in \overline{AC}$, $F\in \overline{AB}$. Neka su točke $X,Y,Z$ dobivene presjekom pravaca na kojima leže stranice ortocentričnog trokuta s pravcima na kojima leže stranice zadanog trokuta, pri čemu je
$$\overline{AC} \cap \overline{DF} = { X }, \quad \overline{AB} \cap \overline{DE} = { Y }, \quad \overline{BC} \cap \overline{FE} = { Z }. $$ Tada su točke $X$, $Y$ i $Z$ kolinearne.
Prije samog dokaza iskažimo poznati Cevin teorem.
Cevin teorem.
Neka su $A_1, B_1$ i $C_1$ točke na stranicama $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ trokuta $ABC$, redom. Pravci $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ prolaze jednom točkom ako i samo ako vrijedi $$\frac{|AC_1|}{|C_1B|}\cdot\frac{|BA_1|}{|A_1C|}\cdot\frac{|CB_1|}{|B_1A|}=1.$$
Dokaz Teorema 2.
Neka je zadan trokut $ABC$ sa svojim ortocentrom $H$ i neka je trokut $DEF$ njemu ortocentričan trokut.
Prema Cevinu teoremu u trokutu $ABC$ s obzirom na točku $H$ vrijedi jednakost
\begin{equation}
\frac{|AF|}{|FB|} \cdot \frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{|CE|}{|EA|} =1.\tag1
\end{equation}
Nadalje, primjenjujemo Menelajev teorem na trokutu $ABC.$ U odnosu na točke $D, E$ i $Y$ vrijedi
\begin{equation}
\frac{|BY|}{|YA|} \cdot \frac{|AE|}{|EC|} \cdot \frac{|CD|}{|DB|} =1.\tag2
\end{equation}
S obzirom na točke $D, F$ i $X$ vrijedi
\begin{equation}
\frac{|BF|}{|FA|} \cdot \frac{|AX|}{|XC|} \cdot \frac{|CD|}{|DB|} =1.\tag3
\end{equation}
Analogno, za točke $Z, F$ i $E$
\begin{equation}
\frac{|BF|}{|FA|} \cdot \frac{|AE|}{|EC|} \cdot \frac{|CZ|}{|ZB|} =1.\tag4
\end{equation}
Sređivanjem jednakosti (2), (3) i (4) dobivamo
$$\frac{|BY|}{|YA|} \cdot \frac{|AX|}{|XC|} \cdot \frac{|CZ|}{|ZB|} = \left( \frac{|FA|}{|BF|} \cdot \frac{|DB|}{|CD|} \cdot \frac{|EC|}{|AE|} \right) ^2 =1,$$
što prema Menelajevu teoremu znači da točke $X, Y$ i $Z$ pripadaju istom pravcu.
$\square$
Pravac povezan sa simetralama vanjskih kutova
U ovom poglavlju razmatramo pravac koji je povezan sa simetralama vanjskih kutova zadanog trokuta, [2]. Na početku navodimo pomoćni teorem bez vlastitog dokaza, kojim ćemo se koristiti u dokazu glavne tvrdnje ovog poglavlja.
Teorem o simetrali vanjskog kuta trokuta.
Simetrala vanjskog kuta trokuta dijeli nasuprotnu stranicu u omjeru preostalih stranica.
Naravno, uočavamo da je ovaj teorem vrlo sličan teoremu o simetrali unutarnjih kutova trokuta, a kao što je već spomenuto, slijedi teorem o pravcu povezanom sa simetralama vanjskih kutova trokuta.
Teorem 3.
Simetrale vanjskih kutova sijeku pravce na kojima leže nasuprotne stranice trokuta u tri kolinearne točke.
Dokaz.
Neka je zadan trokut $ABC$ te neka simetrala vanjskog kuta od $\angle CBA$ siječe $AC$ u točki $X$, simetrala vanjskog kuta od $\angle ACB$ siječe $AB$ u točki $Y$ te simetrala vanjskog kuta od $\angle BAC$ siječe $BC$ u točki $Z$.
Prema teoremu o simetrali vanjskog kuta vrijedi: \begin{equation}
\frac{|AX|}{|XC|}=\frac{|AB|}{|BC|}\tag5
\end{equation} \begin{equation}
\frac{|AY|}{|YB|}=\frac{|AC|}{|BC|}\tag6
\end{equation} \begin{equation} \tag7
\frac{|BZ|}{|ZC|}=\frac{|AB|}{|AC|}
\end{equation} Rješavanjem sustava i sređivanjem izraza iz jednakosti (5), (6) i (7) slijedi $$\frac{|AX|}{|XC|} \cdot \frac{|CZ|}{|ZB|} \cdot \frac{|BY|}{|AY|} =1,$$ pa prema Menelajevu teoremu vrijedi da su točke $X, Y, Z$ kolinearne.
$\square$
Dakle, kao što vidimo, ova spomenuta tri pravca, koji su tek jedni od mnogih o kojima bi se moglo pisati, sami za sebe predstavljaju zanimljive i pomalo nezastupljene probleme unutar nastavnog sadržaja matematike. Takvi problemi nude široki spektar zanimljivih matematičkih pitanja koja bi učenicima, između ostalog, mogla predstavljati inspirativan izazov i poticaj u daljnjem istraživanju karakterističnih pravaca vezanih za trokut, taj neiscrpan izvor proučavanja u geometriji.
Literatura
- D. Palman, Trokut i kružnica, Element, Zagreb, 1994.
- K. Tokić, Osobiti pravci trokuta, diplomski rad, PMF Matematički odsjek, Zagreb, 2024.