Povijesni razvoj infinitezimalnog računa

Infinitezimalni račun, koji obuhvaća diferencijalni i integralni račun, proučava neprekidne promjene na primjeru beskonačno malih veličina. Njegovi začetci sežu u antiku, od Zenonovih paradoksa i Eudoksove metode ekshaustije pa do brojnih djela indijskih i kineskih drevnih matematičara o vrijednosti broja π. Tijekom renesanse dolazi do novih pristupa s pojavom radova Keplera, Cavalierija i Fermata, a u 17. stoljeću slijedi kulminacija u radovima Newtona i Leibniza koji nezavisno jedan o drugome razvijaju formalne temelje računa. Njihove ideje kasnije usavršavaju Euler, Lagrange, Cauchy te Weierstrass putem rigoroznijih definicija temeljenih na limesima i epsilon-delta definicijama. Time se infinitezimalni račun pretvara u temeljnu i univerzalno primjenjivu granu moderne matematike.

1. Uvod

Infinitezimalni račun objedinjeni je naziv za diferencijalni i integralni račun. Preciznije, radi se o grani matematike koja se bavi kontinuiranim promjenama. Riječ infinitezimal dolazi iz latinskog i označava beskonačno malu veličinu, a upravo je ona predmet promatranja ove grane matematike. Primjerice, kako će varirati visina vode u posudi oblika pješčanog sata s obzirom na vrijeme (u što manjoj mogućoj jedinici vremena) ako smo konstantnom brzinom ulijevali vodu. Iako primjer možda zvuči nematematički, moguće ga je modelirati u funkciju te promatrati kako se mijenja vrijednost njezine derivacije u vremenu. To bi bio diferencijalni aspekt ovog primjera, dok bi integralni bila promjena u razini vode između dvaju zadanih vremena. Preciznije, derivacija bi, u ovom slučaju, oslikavala brzinu promjene razine vode u određenom trenutku. Veza između tih dvaju, jako dugo vremena, razdvojenih računa nalazi se u osnovnom teoremu infinitezimalnog računa koji ih povezuje te nam pokazuje kako se zapravo radi o dvama međusobno povezanim inverznim računima.

Teško je nabrojiti u kojim se sve granama znanosti primjenjuje, obratno bi vjerojatno bilo lakše. Istaknut ćemo fiziku, kemiju, biologiju, ekonomiju, statistiku, medicinu, računarstvo – zapravo se primjenjuje u bilo kojoj grani znanosti, industrije ili svakodnevice koja se može opisati matematičkim modelom. Uistinu je teško opisati značaj i sveprisutnost infinitezimalnog računa, a da ga se nepravedno ne umanji.

Kao što ćemo primijetiti u ovome članku, probleme na koje bismo mogli primijeniti infinitezimalni račun nalazimo od samih začetaka matematike u antici, davno prije formalizacije računa u 17. stoljeću. Osvrnut ćemo se na rane ideje, pretpostavke i probleme koji su mučili antičke mislioce, a koji u svojoj srži sadrže infinitezimalni račun. Potom ćemo uočiti razvitak tih ideja u renesansi te način na koji su simultano procvale u radovima formalnih utemeljitelja u 17. stoljeću te konačno standardizaciju koja je nastupila u 19. stoljeću.

2. Povijesni razvoj

2.1. Začetci ideja i rane pretpostavke

Kao što i sama matematička znanost na europskom kontinentu potječe iz beskonačnih rasprava grčkih filozofa, isti je slučaj i s infinitezimalnim računom.

Najraniji spomen nalazimo u Platonovu dijalogu Paramenid gdje citira Zenona iz Eleje [18] koji je s pomoću beskonačno malih veličina branio učenje svoga učitelja Paramenida. Naime, Paramenid je naučavao kako ne postoji prazan prostor, ništa ne može postojati jer ako bi postojalo, onda bi bilo nešto. Stoga ne postoji beskonačno mnoštvo stvari, već je sve što postoji jedna stvar. A kako je sve jedna stvar, promjena ne može postojati jer je promjena mijenjanje jedne stvari u drugu pa bi onda postojala i druga stvar. Filozofima poput Heraklita (grč. Panta rhei. – Sve teče, sve se mijenja.) to se nikako nije činilo ispravnim, što je dovelo do brojnih kasnijih rasprava o kojima ovdje neće biti riječi.

Zenon je branio učenje svoga učitelja pretpostavkom kako postoji beskonačni broj stvari čime se dolazi do paradoksa, tj. kontradikcije. Poznati primjer njegovih paradoksa jest utrka Ahileja i kornjače. Ako postoji beskonačno mnogo stvari i Ahilej prepusti bilo kakvu prednost kornjači u utrci, on je nikad ne bi mogao prestići. Budući da za vrijeme dok Ahilej prijeđe put do kornjače, ona je već prešla neki drugi, kraći put. No dok prijeđe i taj kraći put, ona je opet prešla novi, još kraći put. Ako pustimo da se ta utrka odvija beskonačno dugo, kornjača će uvijek biti barem malo ispred Ahileja upravo zato što postoji beskonačno mnogo stvari, što je očito nemoguće pa ne može postojati beskonačno mnoštvo stvari.

Nama je danas jasno kako beskonačno male veličine postoje, ali će Ahilej svejedno prestići kornjaču, no u svoje je vrijeme ovo bio vrlo zanimljiv misaoni eksperiment. Ovo je bio među najstarijim očuvanim primjerima spominjanja beskonačno malih veličina te poprilično dobro oslikava njezinu ideju.

Primjer stvarne praktične primjene beskonačno malih veličina u antici jest metoda ekshaustije za računanje površine nekog geometrijskog lika. Metodu je razvio Eudoks iz Kinda [7], grčki matematičar koji je živio u stoljeću prije Krista. Prema ovoj se metodi u geometrijski lik nepoznate površine ubacuje niz mnogokuta čije površine znamo te čija se suma približava stvarnoj površini lika što više mnogokuta dodajemo. Kada dodamo dovoljno velik broj mnogokuta, razlika između sume njihovih površina i površine lika postaje dovoljno (beskonačno) mala da je možemo zanemariti i tako smo odredili površinu proizvoljnog geometrijskog lika.

Arhimed je kasnije usavršio tu metodu te ju je primijenio kako bi odredio vrijednost broja $\pi$. Možemo uočiti sličnost njegove metode i načina određivanja vrijednosti integrala s pomoću gornjih i donjih Darbouxovih suma. Naime, Arhimed je upisivao i opisivao krugu mnogokute sa sve većim brojem stranica te na taj način dolazio do preciznije gornje i donje granice za površinu istoga. Na taj je način dokazao da se broj $\pi$ nalazi u intervalu $\left[3\dfrac{10}{71}, 3\dfrac{10}{70}\right]$.

U svojoj knjizi Aryabhatiyam indijski matematičar Aaryabhata I. [3] u 5. stoljeću aproksimira broj π na sljedeći način: “Dodaj četiri stotini, zatim pomnoži s osam i dodaj još 62 000. Ovim pravilom približavamo se opsegu kruga promjera 20 000.” Dakle, Aaryabhata je ustvrdio kako je $\pi\approx\dfrac{62832}{20000}= 3.1416$ što je iznimno precizan rezultat za to doba. Zbog upotrebe izraza “približavamo se” pretpostavlja se kako je također primjenjivao metodu ekshaustije za računanje površine/opsega kruga, a to bi značilo da je poznavao ideju beskonačno male veličine, no ne možemo u potpunosti biti sigurni u to. Poznato je kako se bavio problemom kretanja planeta te ga je zapisao u obliku diferencijalne jednadžbe. Kasnije je jednadžbu indijski matematičar Bhaskara II. [15] dodatno razradio te zaključio kako je u najvišoj točki trenutačna brzina kretanja planeta 0, što bi nam također trebalo evocirati brzinu promjene vrijednosti funkcije pri lokalnom ekstremu. Osim toga, Bhaskara II. došao je i do zaključka kako za $x\approx y$ vrijedi $\sin x – \sin y \approx (x − y) \cos y$, što nas usmjerava prema derivaciji funkcije sinus iako nije razvio pojam derivacije.

No čak i prije njega u Kini, otprilike u isto vrijeme kao i Arhimed, kineski matematičar Liu Hui [11] dolazi do daleko preciznije aproksimacije broja $\pi$. Naime, služio se istom metodom kao i Arhimed, metodom ekshaustije, no umjesto da je upisao i opisao 96−erokut kao Arhimed, Liu Hui je upotrijebio 3072−kut te na taj način dobio precizniji rezultat. Treba napomenuti da što više povećamo broj stranica $n$-terokuta kojim računamo površinu kruga, dobivamo precizniji odgovor. Naime, razlika između aproksimacija postaje sve manja i manja, neki bi rekli i beskonačno mala, pa čak i zanemariva. Osim ovoga primjera, Liu Hui značajan je po svojim komentarima na Devet poglavlja matematičkog umijeća te su oni odigrali sličnu ulogu u kasnijim razmatranjima kineskih matematičara kao što su odigrali Euklidovi Elementi u Europi.

Na Bliskom je istoku u međuvremenu egipatski matematičar Hasan ibn al-Haytham [1], na Zapadu znaniji pod latiniziranim imenom Alhazen, došao do otkrića formula s pomoću kojih je računao površinu ispod krivulja $y = x^k$, gdje je $k \in\mathbb{N}$. Time efektivno računa $\int x^k\, \text{d}x$ bez poznavanja koncepta integrala. Ti će izračuni za vrijeme renesanse naći put do europskih matematičara te sudjelovati u otkriću infinitezimalnog računa.

2.2 Renesansne preteče

Najveći zamah u otkrivanju infinitezimalnog računa odvija se u renesansnoj Europi, preciznije na prijelazu iz 16. u 17. stoljeće kada djeluju matematičari koji će pomaknuti dotadašnje shvaćanje ove grane matematike.

Prvo ćemo navesti Johannesa Keplera [15], njemačkog znanstvenika, prije svega poznatog po svojim otkrićima u polju astronomije, no značajan je i za matematiku te infinitezimalni račun zahvaljujući svojoj knjizi Nova stereometria doliorum vinariorum ili Nova stereometrija vinskih bačava [13]. U toj se knjizi bavi dotad neobrađenom problematikom vjerodostojnosti metoda kojima trgovci vinom dolaze do zapremnine bačve, a time i njezine cijene. Bio je inspiriran kupnjom bačve vina za svatove u Austriji. Provjeravajući njihovu metodu, došao je do problema kako smjestiti što više vina u bačvu te je mijenjajući visinu bačve, ispitivao kako se mijenja njezina zapremnina. Primijetio je kako ipak nije bio prevaren jer se ispostavilo da su austrijske bačve normirane na optimalnoj visini kako bi u njih stalo što više vina, što nije bilo slučaj u Porajnju iz kojeg je potekao. Može se pretpostaviti kako je netko prije njega provodio sličan račun te tako došao do optimalne visine iako u to ne možemo biti sigurni. Kako se visinom približavao optimalnoj visini bačve, Kepler je zaključio da je razlika u zapremnini sve manja i manja, što je nama danas očito. Ipak, u to je doba ovo bila vrlo zanimljiva opservacija, sjetimo se Bhaskare II. Također, u zemljama njemačkog govornog područja Simpsonovo se pravilo za približno određivanje vrijednosti integrala naziva i pravilo Keplerove bačve, tj. Keplersche Fassregel (njem.).

Inspiriran Keplerovim otkrićima i metodom ekshaustike, talijanski matematičar Bonaventura Cavalieri otkriva Cavalierijevo načelo [6]. Najlakše ga je objasniti u tri dimenzije: zamislimo da imamo dva stupa od deset kovanica i neka su kovanice na prvom stupu poredane točno jedna na drugu, a na drugome tako da bar dio strši naspram kovanica na prvom stupu. Iako su različitog oblika, ta dva stupa imaju jednaku zapremninu. Isto se načelo onda može primijeniti na sva geometrijska tijela. Dakle, imamo li na nekoj ravnini dva geometrijska tijela jednakih visina za koja vrijedi da presjek svake ravnine paralelne s onom na kojoj stoje ima jednaku površinu za oba tijela, tada se radi o tijelima jednake zapremnine. Analogno načelo vrijedi i za površinu likova koji se nalaze između dvaju pravaca, samo tu promatramo duljine presjeka paralelnih pravaca s likovima. Infinitezimalne se vrijednosti ovdje pojavljuju zbog toga što ravnine imaju samo dvije “konkretne” dimenzije, dok im je treća beskonačno mala.

Upravo se u tome nalazila revolucionarnost njegova načela – odredio je kako se višedimenzionalni objekti sastoje od beskonačnog broja manjedimenzionalnih npr. ravnina od beskonačnog broja pravaca. To je razmišljanje potaklo daljnji razvoj infinitezimalnog računa. Iako je načelo bilo revolucionarno za onovremenu Europu, neki aspekti Cavalierijeva načela bili su poznati i ranije. Primjenjivao ih je Arhimed kao i kineski matematičari Zu Chongzhi te Zu Gengzhi, no bili su nepoznati u Europi tog doba.

U samom osvitu formalnog otkrića infinitezimalnog računa radio je francuski matematičar Pierre de Fermat [15]. Iako je poznatiji po svojim otkrićima u teoriji brojeva, Fermat i Descartes smatraju se ranim utemeljiteljima analitičke geometrije. Fermat otkriva ključne rezultate koji su u mnogome olakšali posao formalnim utemeljiteljima. Naime, Fermat je prva osoba za koju znamo da je računala integrale polinoma te je razvio metodu adekvatnosti s pomoću koje je računao minimume, maksimume te tangente raznih krivulja što je ekvivalentno diferencijalnom računu, no bez korištenja istog. Bio je u sukobu s Descartesom koji ga je kritizirao upravo radi te metode, no smatra se da je razlog tomu bilo njegovo neovisno otkriće načina za računanje gore spomenutih stvari – metoda normala. Iako je Descartesova metoda imala jači trenutačni utjecaj na razvoj infinitezimalnog računa, Fermatova je metoda bila bliža njegovu daljnjem razvoju.

2.3 Formalni utemeljitelji

Dotadašnji napredak u razvoju infinitezimalnog računa kulminirao je krajem 17. stoljeća radovima dvojice znanstvenika Isaaca Newtona i Gottfrieda Leibniza koji su paralelno i nezavisno jedan o drugome te s različitom motivacijom došli do istog rezultata zbog čega se nazivaju utemeljiteljima infinitezimalnog računa.

Isaac Newton [15] engleski je znanstvenik koji se bavio širokim spektrom znanstvenih disciplina. Najpoznatija je anegdota iz njegova života o padu jabuke na glavu koja ga je navodno inspirirala za ideju gravitacije. Iako mu matematika nije bila primarno područje istraživanja, posjedovao je matematičko znanje koje je sustavno primjenjivao u ostalim znanstvenim područjima. Upravo je proučavajući problem izračuna brzine u određenom trenutku došao do ideje infinitezimalnog računa. Znamo da se brzina računa kao omjer prijeđenog puta i vremena za koje je taj put pređen, no problem nastaje kad se vremenski interval smanjuje tako da se približava nuli, što je potrebno kako bismo odredili trenutačnu brzinu, a ne prosječnu brzinu u nekom intervalu. Newton je pristupio tom problemu uvodeći koncept fluksiona (engl. fluxion [10]) te je pokušao izbjeći uporabu infinitezimala tako što će promjenu definirati kao omjer promjene vrijednosti funkcije te argumenta funkcije. Naime, neka je $y = t^2$ funkcija koja opisuje brzinu nekog tijela s obzirom na proteklo vrijeme te neka je $t = 3$. Tada je vrijednost fluksiona (derivacije) u toj točki: $$\dot{y}=\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{(3+o)^2-3^2}{(3+o)-3}=\frac{9+6o+o^2-9}{3+o-3}=\frac{6o+o^2}{o},$$ gdje je $o$ beskonačno mala veličina. Uzmemo li u obzir da smo $o$ kvadrirali u nazivniku, može se zanemariti pa ćemo dobiti: $$\dot{y}=\frac{6o}{o}=6.$$

Jednako bismo dobili i kad bismo odredili vrijednost derivacije funkcije $y$ po $t$ u točki $t = 3$. Problem ovakvog pristupa jest upravo u tom “$o$”. Naime, matematika je prije svega precizna te ne možemo nešto samo tako zanemariti. Upravo je to bila glavna zamjerka njegovih suvremenika, kao i samog Newtona. Njegovi su kritičari tvrdili da zbog upotrebe beskonačno malih veličina zapravo “prikriveno” dijeli s nulom, što je i njemu samom predstavljalo nedoumicu. Stoga je pred kraj života revidirao veličinu “$o$” shvaćajući je kao vrijednost koja teži k nuli (umjesto beskonačno male vrijednosti), slično kasnijoj ideji limesa. No, tada je već bilo prekasno jer je prevladala Leibnizova ideja derivacije, kao i njegova notacija.

Gottfried Wilhelm Leibniz [15] bio je njemački polihistor – svestran čovjek. Bavio se raznim znanstvenim disciplinama, no pretežito se fokusirao na matematiku, filozofiju te fiziku. Njegova motivacija za pristup infinitezimalnom računu bila je u problemu određivanja tangente u točkama neprekidnih krivulja. Jednako kao i Newton, Leibniz je također primjenjivao omjere u svojim računima, no nije odbacio uporabu infinitezimala, već ju je prigrlio. Naime, shvaćao je tangentu kao omjer vrijednosti ordinata i apscisa, dok je onda površina pod grafom neke krivulje zapravo suma ordinata za infinitezimalno male intervale na apscisi. Iz ovakvih definicija veza između diferencijalnog i integralnog računa postaje vrlo očita. Leibniz je dosta vremena posvetio notaciji kojom se koristio te se ista primjenjuje i danas u neznatno promijenjenom obliku. Simbol $\text{d}$ u $\text{d}x$ dolazi iz latinskog differentia dok je $\int$ zapravo izduženo $s$, od latinskog summa.

Kruna rada na diferencijalnom računu oba utemeljitelja osnovni je teorem infinitezimalnog računa, a naziva se još Newton-Leibnizov teorem. On povezuje diferencijalni i integralni račun u izrazu: $$\int^a_b f’ \text{d} x=f(a)-f(b).$$

Pojava infinitezimalnog računa u Europi jedan je od zanimljivijih događaja u povijesti matematike jer se rijetko događa da dvije različite osobe, neovisno jedna o drugoj, gotovo istodobno dođu do tako važnog znanstvenog otkrića. Mnogi su sumnjali u ovaj događaj pa nije trebalo puno da započnu rasprave o tome tko je prvi došao do otkrića te tko je kopirao koga. Čini se kako je ovaj trivijalan razlog doveo do cijepanja europskog matematičkog društva na kontinentalno i englesko te su engleski matematičari gotovo čitavo stoljeće bili izolirani od kolega na kontinentu. Leibnizova inačica diferencijalnog računa u Engleskoj je bila prihvaćena tek 1820-ih. Danas obojicu znanstvenika držimo utemeljiteljima infinitezimalnog računa jer je konsenzus da su nezavisno jedan o drugome došli do istog zaključka.

2.4 Epsilon-delta

Na radove Newtona i Leibniza nadovezali su se mnogi matematičari, a prvi među njima bili su Leonhard Euler i Joseph-Louis Lagrange.

Euler [8] je bio njemački polihistor čiji je veliki doprinos matematici daljnji razvoj ideje redova čije je sume često dokazivao intuitivnim metodama. Danas takvi dokazi ne bi prošli ispit matematičke rigoroznosti ma koliko bilo točno ono što su tvrdili, no za ono su vrijeme bili općeprihvaćeni. Kakogod, najvažniji mu je doprinos bila popularizacija i širenje ideje infinitezimalnog računa u brojnim fizikalnim i inženjerskim problemima. Nalazi se i među prvim matematičarima koji su se bavili parcijalnim diferencijalnim jednadžbama te se smatra ocem tog polja. [15]

Lagrange [15] je bio francuski matematičar, iako talijanskog podrijetla, čiji se interes za matematiku javio relativno kasno, no njegov fokus na infinitezimalni račun bio je izrazito plodonosan, naročito njegov pokušaj preciziranja pojma derivacije. Tada je pretpostavio kako se svaka funkcija može razviti u Taylorov red te je onda derivacije definirao s pomoću koeficijenata toga reda. Matematičarima je primarno poznat po svojem teoremu srednje vrijednosti ([14], tm. 2.4.), koji nam kazuje da ukoliko imamo sekantu koja siječe neprekidnu krivulju u dvjema točkama $a$ i $b$, tada na intervalu $\langle a, b\rangle$ postoji točka $c$ u kojoj tangenta ima isti nagib kao i gore spomenuta sekanta. Njemu također dugujemo i oznake derivacija funkcija na kakve smo navikli, $f'(x)$.

Upravo su problemi s rigoriznošću infinitezimalnog računa bili okidač za njegovo konkretnije formaliziranje. Infinitezimali su smatrani više intuitivnim, nego precizno određenim veličinama, što je bilo izrazito problematično u vidu prosvjetiteljskih učenja koja su tada prevladavala. Bilo je potrebno sve jasno opisati te precizno matematički definirati. Tim će se problemom baviti francuski matematičar Augustin-Louis Cauchy te Karl Weierstrass, njemački matematičar.

Cauchy [4] je također pripadao onima koji su bili nezadovoljni dotadašnjim definicijama infinitezimalnog računa pa je razvio svoju. Naime, uveo je precizniji pojam limesa, kao i formalizirao definicije konvergencije nizova te derivacije funkcije bez pozivanja na infinitezimale. Nastavio je koristiti se Leibnizovom notacijom, ali je definirao $\dfrac{\text{d}y} {\text{d}x}$ kao limes količnika $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ kada se nazivnik približava nuli. Time je infinitezimale zamijenio nizovima realnih brojeva koji konvergiraju k nuli. Osim rigoroznije definicije infinitezimala značajan je za infinitezimalni račun i po tome što je prvi dokazao Taylorov teorem dokazom koji bi bio prihvaćen i danas te nam je dao test apsolutne konvergencije nizova.

Weierstrass [17] se nastavio na Cauchyjeva djela te je prvi uveo epsilon-delta definicije, primarno kao definiciju neprekidnosti, a kasnije i kao definicije limesa te konačno i samih derivacija. One se, naime, javljaju i u ranijim djelima raznih autora, Cauchy ih spominje, no opisuje ih isključivo riječima te zanemaruje određene ključne koncepte poput uniformne konvergencije, koju ne razlikuje od obične te stoga dolazi do krivih zaključaka kod limesa. Epsilon-delta definicije spominju se i u djelima Bernarda Bolzana [5], češkog matematičara talijanskog podrijetla, no njegova su djela tek nakon njegove smrti otkrivena, te je Weierstrass nezavisno od njega došao do svojih zaključaka. Još jedno njegovo nezaobilazno djelo jest Bolzano-Weierstrassov teorem ([14] tm. 2.2.) o neprekidnoj funkciji ograničenoj na segmentu, čija je slika također segment.

Nakon Weierstrassa infinitezimali su gotovo potpuno nestali iz formalne matematike. Račun se dalje razvijao realnom analizom gdje su svi pojmovi bili definirani s pomoću realnih brojeva. Ova je reforma dovela do stvaranja moderne matematičke analize kakvu danas poznajemo te je omogućila rješavanje novih problema koji nisu mogli biti riješeni dotadašnjim alatima. Iako izbačeni iz formalne matematike, ostali su prisutni u intuiciji iz koje će ponovno izroniti u 20. stoljeću u vidu nestandardne analize koju je otkrio američki matematičar Abraham Robinson [16], no to se ubraja u matematičku apstrakciju u koju nećemo zalaziti.

Literatura

1. Alhazen, https://www.britannica.com/biography/Ibn-al-Haytham, (pristupljeno 25. 5. 2025.)
2. Arhimed, Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje, Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2013. – 2025., https://enciklopedija.hr/clanak/arhimed (pristupljeno 29. 5. 2025.)
3. Aryabhata, https://www.britannica.com/biography/Aryabhata-I, (pristupljeno 25. 5. 2025.)
4. F. M. Brückler (2009.): Augustin Louis Cauchy, Osječki matematički list 9(2009), 107-114
5. B. Cavalieri, Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje, Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2013. – 2025., https://enciklopedija.hr/clanak/cavalieri-bonaventura (pristupljeno 29. 5. 2025.)
6. B. Bolzano, Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2013. – 2025., https://enciklopedija.hr/clanak/bolzano-bernard> (pristupljeno 29. 5. 2025.)
7. Eudoxus of Cnidus, https://www.britannica.com/biography/Eudoxus-of-Cnidus, (pristupljeno 25. 5. 2025.)
8. L. Euler, Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje, Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2013. – 2025., https://enciklopedija.hr/clanak/euler-leonhard, (pristupljeno 29. 5. 2025.)
9. P. de Fermat, Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje, Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2013. – 2025., https://enciklopedija.hr/clanak/fermat-pierre-de, (pristupljeno 29. 5. 2025.)
10. Fluxion, https://www.britannica.com/science/fluxion, (pristupljeno 27. 5. 2025.)
11. Liu Hui, https://www.britannica.com/biography/Liu-Hui, (pristupljeno 25. 5. 2025.)
12. N. Ivačić (2014.): Osnovni teorem infinitezimalnog računa i njegova realizacija u srednjoškolskoj nastavi matematike, Prirodoslovno-matematički fakultet -Matematički odsjek, Sveučilište u Zagrebu, diplomski rad
13. Kepler: The Volume of a Wine Barrel – Solving the Problem of Maxima: Wine Barrel Design, https://old.maa.org/press/periodicals/convergence/kepler-the-volume-of-a-wine-barrel-solving-the-problem-of-maxima-wine-barrel-design, (pristupljeno 27. 5. 2025.)
14. M. Klasanović (2023.): Ekstremi funkcija jedne varijable, Fakultet primijenjene matematike i informatike, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku, završni rad
15. M. Rasonja (2012.): Povijesni razvoj diferencijalnog i integralnog računa, Odjel za matematiku, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku, diplomski rad
16. A. Robinson, https://www.britannica.com/biography/Abraham-Robinson, (pristupljeno 29. 5. 2025.)
17. K. Weierstrass, Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje. Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2013. – 2025., https://enciklopedija.hr/clanak/weierstrass-karl (pristupljeno 29. 5. 2025.)
18. Zenon iz Eleje, Hrvatska enciklopedija, mrežno izdanje, Leksikografski zavod Miroslav Krleža, 2013. – 2025., https://enciklopedija.hr/clanak/zenon-iz-eleje (pristupljeno 29. 5. 2025.)

---