Između mnogih, veoma domišljatih, približnih konstrukcija broja $\pi$ odabrali smo i u ovom radu prikazali tri konstrukcije.
1. konstrukcija
Ova konstrukcija temelji se na jednakosti $$3.1416=1.4^4-0.7.$$ Neka je polupravcu $m_1$ početna točka $A$ i neka je $|AB|=1$ (jedinična dužina). Nacrtajmo proizvoljan polupravac $m_2$ s početnom točkom $A$ i na tom polupravcu nanesimo točke $S_1$, $S_2,\ldots, S_{24}$ tako da je $$|AS_1|=|S_1S_2|=|S_2S_3|=\ldots=|S_{22}S_{23}|=|S_{23}S_{24}|.$$ Spojimo točke $B$ i $S_{10}$. Točkom $S_{24}$ nacrtajmo pravac paralelan s $BS_{10}$ koji $m_1$ presijeca u točki $C$. Sada je $$\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|AS_{10}|}{|S_{10}S_{24}|}, \quad \frac1{|BC|}=\frac{10}{14}, \quad |BC|=1.4.$$ Nacrtajmo sada proizvoljan polupravac $m_3$ s početnom točkom $A$. Na $m_3$ odredimo točku $D$ tako da je $|AD|=|BC|$. Spojimo točke $B$ i $D$.
Točkom $C$ nacrtajmo pravac paralelan s $BD$ koji $m_3$ presijeca u točki $G$. Tako je $$\frac{|DG|}{|AD|}=\frac{|BC|}{|AB|},\quad \frac{|DG|}{1.4}=\frac{1.4}{1},\quad|DG|=1.4^2.$$
Nacrtajmo proizvoljan polupravac $m_4$ s početnom točkom $D$. Na $m_4$ odredimo točku $E$ tako da je $|DE|=1$ i točku $F$ tako da je $|EF|=|DG|$. Spojimo točke $E$ i $G$. Točkom $F$ nacrtajmo pravac paralelan s $EG$ koji $m_3$ presijeca u točki $H$. Sad imamo: $$\frac{|GH|}{|DG|}=\frac{|EF|}{|DE|},\quad\frac{|GH|}{1.4^2}=\frac{1.4^2}{1},\quad |GH|=1.4^4.$$
Odredimo točku $K$ na polupravcu $m_3$ tako da je $|HK|=|AL|$ (točka $K$ leži između $G$ i $H$), pri čemu je $L$ točka na $AB$ koja dijeli jediničnu dužinu u omjeru $7:3$.
Konačno dobivamo (jer je $|AL|=0.7=|HK|$) $$|GK|=|GH|-|HK|=1.4^4-0.7=3.1416\approx\pi.$$
2. konstrukcija
Poznat nam je zlatni broj $$\phi=\frac{\sqrt5+1}{2}\approx1.618\ldots$$
Vrijedi $\frac{4}{\sqrt{\phi}}\approx3.141654\ldots$, a znamo također da je $\pi=3.14159\ldots$
Pogledajmo sada kako konstruirati dužinu $\frac{4}{\sqrt{\phi}}$ koja je približno jednaka broju $\pi$.
Konstrukcija: Konstruirajmo najprije broj $\phi$. Ovo je jedna od poznatijih konstrukcija. Neka kvadrat $ABCD$ ima duljinu stranice 1 i neka je $E$ polovište stranice $\overline{AB}$. Kružni luk $l(E, |EC|)$ siječe produžetak stranice $\overline{AB}$ preko točke $B$ u točki $F$. Tada je $|AF|=\phi$.
Dokaz: Pitagorin poučak primijenjen na pravokutni trokut $EBC$ daje: $$|EC|^2=|EB|^2+|BC|^2=\left(\frac12\right)^2+1^2=\frac54, \quad |EC|=\frac{\sqrt5}2.$$ Tada je $$|AF|=|AE|+|EF|=|AE|+|EC|=\frac12+\frac{\sqrt5}2=\frac{\sqrt5+1}2=\phi.$$
Dalje imamo ovu konstrukciju.
Konstrukcija: Kružni luk $l_1(A, |AF|)$, tj. $l_1(A,\phi)$ siječe produžetak stranice kvadrata $\overline{DC}$ preko točke $C$ u $G$. Pravac povučen kroz točke $A$ i $G$ presijeca stranicu kvadrata $\overline{BC}$ u točki $H$. U trokutu $ADG$ je $|AG|=\phi$ pa sad imamo $$|DG|^2=|AG|^2-|AD|^2=\phi^2-1=\phi.$$ Odavde je $|DG|=\sqrt{\phi}$, pa je (vidi sliku 2) $|CG|=|DG|-|DC|=\sqrt{\phi}-1$.
Neka je $|BH|=x$. Trokuti $ABH$ i $GCH$ su slični pa iz te sličnosti slijedi $$\frac{|CG|}{|BA|}=\frac{|CH|}{|BH|},\quad \frac{\sqrt{\phi}-1}1=\frac{1-x}x, \quad x\sqrt{\phi}-x=1-x,\quad x=\frac1{\sqrt{\phi}}.$$ Nakon toga lako konstruiramo $\frac4{\sqrt{\phi}}=4\cdot\frac1{\sqrt{\phi}}\approx\pi$.
Napomena: U ovoj konstrukciji uočava se veza između zlatnog broja $\phi$ i broja $\pi$.
Pokažimo i odnos između brojeva $\pi$ i $e$. U jednakostraničnom trokutu čija stranica ima duljinu $\pi$ visina je $h=\frac{\pi}2\sqrt3\approx2.72069905\ldots\approx e\approx2.71828183$ i odavde $\frac{\pi}{e}\approx \frac2{\sqrt3}$.
3. konstrukcija
Ponekad se i broj $\frac1{\phi}=\frac1{\frac{\sqrt5+1}2}=\frac2{\sqrt5+1}\cdot\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5-1}=\frac{\sqrt5-1}2$ naziva zlatnim brojem.
Konstruirajmo pravokutni trokut čije su katete $|BC|=1$ i $|BE|=\frac12$. Tada je $|EC|=\frac{\sqrt5}2$. Kružni luk $l(E, |EC|)$ siječe produžetak katete $\overline{EB}$ preko točke $B$ u točki $F$. Sada imamo $$|BF|=|EF|-|EB|=\frac{\sqrt5}2-\frac12=\frac{\sqrt5-1}{2}=\frac1{\phi}.$$ Konstruirajmo sad kružnicu $k(B, |BF|)$ i iz točke $C$ tangentu na tu kružnicu. Označimo s $D$ diralište te tangente i kružnice $k$. Tako je $|BD|=|BF|=\frac1{\phi}$. Konačno, Pitagorin poučak u trokutu $BDC$ daje $$|CD|=\sqrt{1-\left(\frac1{\phi}\right)^2}=\sqrt{\frac{\phi^2-1}{\phi^2}}=(\text{ zbog } \phi^2-1=\phi)=\sqrt{\frac{\phi}{\phi^2}}=\frac1{\sqrt\phi}$$ i nakon toga lako konstruiramo $4\cdot\frac1{\sqrt\phi}\approx\pi$.
Literatura
- Helmut Heimüller (1974.): Näherungskonstruktion für $\pi$ mit dem ersten Strahlensatz, Praxis der Mathematik
- G. S. Smith (1979.): An approximate construction for $\pi$, The Mathematical Gazette