Prikazivanje kao matematički proces

Logikom dokazujemo, ali intuicijom otkrivamo.

Jules Henri Poincare, 1854. – 1912.

Način na koji se apstraktne matematičke ideje prikazuju ključan je za to kako ih će pojedinac razumjeti i, što je još važnije, koristiti se njima pri rješavanju problema iz svakodnevice i društvenog života primjenom matematičkog modeliranja. Cilj ovog rada jest istaknuti važnu ulogu koju proces prikazivanja ima u učenju i podučavanju matematike. Vidljivi vanjski prikazi [1] bitan su element u podržavanju razumijevanja apstraktnih matematičkih pojmova i njihovih međusobnih odnosa te u podučavanju načina razmišljanja i predstavljanja ideja. Novija istraživanja ističu važnost mogućnosti prijelaza između različitih vanjskih prikaza za bolje učeničko razumijevanje matematičkih koncepata.

Ključne riječi: matematički procesi, matematički koncept, prikazivanje, reprezentacija, vanjski prikazi, povezivanje

Uvod ili malo motivacije

Zbog složenosti učenja i podučavanja matematike ponekad se događa da u nastavi neki iznimno važni procesi budu pomalo zanemareni. Jedan od takvih matematičkih procesa jest proces prikazivanja koji je uz komunikaciju istaknut kao jedan od pet temeljnih procesa u hrvatskom kurikulu za nastavni predmet Matematiku. Iako tekst koji slijedi nije teorijskog već praktičnog karaktera (zainteresirani čitatelj morat će teorijsko znanje na ovu temu nadopuniti nekim od brojnih metodičkih izvora budući da je uloga prikazivanja (reprezentacije) jedna od gorućih tema suvremene nastave matematike), ovdje ćemo odvojiti najprije nekoliko riječi kako bi se istaknula složenost ovog procesa koji je neizostavni dio svih matematičkih domena. Pritom ćemo istaknuti neke jednostavne primjere rada s prikazima u nastavi matematike putem podučavanja „čitanja prikaza“ i „prijelaza iz jednog u drugi prikaz“.

Prikaz i prikazivanje

Prikazivanje (engl. representation) apstraktnih matematičkih pojmova jest sastavni, ako ne i temeljni, dio matematike. Različiti oblici prikaza dio su svih matematičkih domena i danas se njihova uloga u razvijanju matematičke pismenosti i matematičkom modeliranju pokazuje nezamjenjivom. I dok su neki od oblika prikaza sastavni dio matematike već dugi niz godina (matematički izrazi, jednadžbe, nejednadžbe…), neprestano se javljaju novi prikazi kao posljedica modernog tehnološkog napretka društva u cjelini, a ističemo razvoj digitalnih prikaza (tablice, dijagrami, grafovi, fotografije, projekcije…). 

Sve ove oblike prikaza nužno je prije svega ispravno implementirati u nastavni proces. Naime, s pojedinim prikazima učenici/studenti susreću se u različitim nastavnim predmetima i različitim svakodnevnim situacijama te je stoga važno u nastavi matematike osvijestiti kako se pojedinim prikazom ispravno matematički služiti. Primjerice, tablice i grafovi u nastavi informatike drukčije se obrađuju (i upotrebljavaju) od istih prikaza u nastavi matematike. Za pojedina „čitanja grafova“ nisu potrebne ujednačene jedinične mjere na svim koordinatnim osima, ali vidljivi prikazi nekih matematičkih koncepata ovise o formi grafičkih prikaza (primjerice, nagib pravca odgovara tangensu priklonog kuta pravca). Slično je i s upotrebom specifičnog grafičkog prikaza, fotografija, u nastavi matematike. Može se primijetiti kako se njima u posljednje vrijeme koristi u velikom opsegu, ali nažalost često bez ikakve (ili pogrešne) metodičke vrijednosti. Kako problematika grafičkog prikaza 3D struktura zbog očuvanja bijektivnosti pri projiciranju i dandanas predstavlja izazov niza interdisciplinarnih znanstvenih područja, na kraju ovog teksta istaknut ćemo samo jedan primjer motivacijske primjene fotografije u nastavi geometrije. Podučavanje grafičkim prikazom sastavni je dio metodike geometrije jer geometrija obuhvaća područje matematike koje oduvijek integrira uz simbolički prikaz i brojne druge vidljive prikaze (grafovi, projekcije…). Ali najprije nekoliko riječi o vrstama prikaza i njihovoj ulozi u matematici.

Unutarnji (apstraktni) i vanjski (vidljivi) prikazi

Činjenica je da većina matematičkih koncepata posjeduje visoku razinu apstrakcije i nije ih moguće učiti bez dubokoga razumijevanja i bez uključivanja procesa logičkoga mišljenja. Ali, podučavanje matematičkim idejama uz unutarnje apstraktne prikaze (mentalne slike) uključuje i upotrebu brojnih vidljivih vanjskih prikaza (konkretni modeli, simboli, grafovi, dijagrami, tablice, projekcije…) sastavljenih od niza strukturiranih elemenata s ciljem predstavljanja određene matematičke „stvarnosti“.

Obično se u matematičkoj metodici razlikuju četiri temeljna tipa vanjskih prikaza: i) tekstualni ili verbalni prikaz, ii) grafički prikaz, iii) fizički (konkretni) prikaz, iv) simbolički prikaz, ali suvremena istraživanja veći naglasak stavljaju na jačanje veza između različitih prikaza pa su sve češće podjele prikaza po različitim osnovama. Primjena vanjskih prikaza u nastavi matematike može imati različitu ulogu; od razumijevanja koncepta do rješavanja problema putem manipulacija odgovarajućim prikazima. Ono mora uvijek biti potpomognuto mentalnim naporom i na taj način osiguravati učenicima/studentima razvijanje njihovih sposobnosti logičkog matematičkog razmišljanja i zaključivanja. Istraživanja pokazuju da su vanjski prikazi koji ne zahtijevaju veći mentalni napor metodički neprimjereni i valja ih izbjegavati u nastavi, odnosno postupno ih mijenjati matematički primjerenijim prikazima. Jedna od mogućnosti u nastavi jest da nastavnik, u okviru podučavanja procesa prikazivanja, potakne učenike na kreiranje zamjenskog apstraktnijeg prikaza putem prepoznavanja matematički relevantnih odnosa i struktura u početnom prikazu i njihove zamjene matematički prikladnijim prikazom postupno smanjujući „konkretnost“ u prikazu.

Prikazivanje i prikaz

Prikazi su u matematici dio matematičkih ideja koje predstavljaju, pa time postaju i standardni dio „matematičkog alata“ kojim se proširuje sposobnost logičkog mišljenja, argumentiranja i zaključivanja. Ukratko, konačni proizvod – „prikaz“ (ili „reprezentativna forma“  ili „reprezentacija“) sastavni je dio procesa prikazivanja i ne smije se zasebno promatrati jer može uzrokovati probleme u razumijevanju matematičkih ideja koje često ostaju skrivene. Problematika višestrukog značenja jednog simbola (npr. nerazumijevanje različitih uloga simbola jednakosti kao relacijskog i operacijskog simbola može uzrokovati probleme u radu s matematičkim izrazima i jednadžbama) ili višestrukog značenja nekog simboličkog prikaza sastavni je dio matematičkog obrazovanja (Glasnović Gracin, 2020).  Primjerice, jednostavan simbolički prikaz $x=5$ jednog matematičkog zapisa u različitim situacijama predstavlja drukčije matematičke strukture. Kao rješenje određene jednadžbe $x=5$ može predstavljati samo jednu numeričku vrijednost, npr. broj koji se grafički prikazuje kao točka na brojevnom pravcu. Kao zapis jednadžbe može predstavljati ili jednadžbu vertikalnog pravca u pravokutnom ravninskom koordinatnom sustavu ili jednadžbu vertikalne ravnine u pravokutnom prostornom koordinatnom sustavu. Sam prikaz uvijek je dio procesa prikazivanja uslijed kojeg nastaje.

Prikazivanje i komunikacija

Svi matematički procesi međusobno su povezani kao što je istaknuto u jednom od osnovnih odgojno-obrazovnih ciljeva učenja i podučavanja matematike omogućavajući učenicima primjenu matematičkog jezika u usmenome i pisanome izražavanju, strukturiranju, analizi, razumijevanju i procjeni informacija upotrebom različitih načina prikazivanja matematičkih ideja, procesa i rezultata u matematičkome kontekstu. Poveznica prikazivanja s procesom komunikacije naglašena je činjenicom da su prikazivanje i komunikacija istaknuti kao jedan od pet temeljnih procesa u hrvatskom kurikulu za nastavni predmet. O matematičkoj komunikaciji bilo je puno riječi zadnjih godina ne samo zbog poticanja matematičke preciznosti u iskazivanju tvrdnji, već i s ciljem razvijanja opće kompetencije komunikacije jer se svakom verbalizacijom pojačava odgovarajući misaoni proces (Matešić, 2019) te stoga ovu važnu poveznicu ne treba posebno isticati.

Prikazivanje i podučavanje

Sve više istraživača dolazi do zaključka kako je učinkovitije u podučavanju određenog matematičkog koncepta poticati učenike/studente da glatko i fleksibilno prelaze iz jednog prikaza u drugi jer se na taj način ostvaruje dublje razumijevanje samog koncepta. Izbor prikaza ovisi i o matematičkom kontekstu i o pojedincu koji rješava određeni matematički zadatak ili problem, ali i o samom problemu. Na višim obrazovnim razinama mora rasti i mogućnost odabira različitih prikaza i znanja o tome kako se njima produktivno koristiti. U pojedinim strukama pojedini su vanjski prikazi dominantniji jer omogućavaju određeni uvid pogodan za točno specificirani cilj. Kako bi se osiguralo matematičko manipuliranje tim prikazima, nastava matematike na svim obrazovnim razinama treba omogućavati kontinuitet u osnovnom radu s različitim tipovima vidljivih prikaza.

Naime, uz komunikaciju proces prikazivanja u nastavi matematike odražava ujedno i način razmišljanja (interpretacija prikazanog), ali i način predstavljanja ideja. Ukratko, zbog svoje sveobuhvatnosti ovaj naizgled jednostavan matematički proces prikazivanja, nažalost, često u podučavanju pada u drugi plan. To se događa zbog kontinuiranog nedostatka vremena i zbog činjenice da se pojedini oblici prikaza ne podučavaju jer nastavnik podrazumijeva da ih učenik u potpunosti razumije. Osim toga, još je uvijek duboko ukorijenjena tradicija podučavanja matematike koja preferira rad isključivo sa simboličkim prikazima iako različiti prikazi nude različite informacije. Primjerice, grafovi vizualno (često i brže) prenose određene vrste informacije, dok je simboličke zapise (jednadžbama, funkcijama…) lakše obrađivati, analizirati i transformirati.

Za brojne matematičke strukture moguće je ostvariti različite poveznice između njihovih višestrukih prikaza, bilo da je riječ o različitim simboličkim prikazima istih struktura (primjerice različiti zapisi istih brojeva – decimalni/racionalni/znanstveni… ili različite jednadžbe istih krivulja –  polarne/parametarske/implicitne) ili kombiniranju grafičkih i simboličkih zapisa (pravac možemo grafički povezati s linearnim funkcijama, ali i s linearnim jednadžbama s dvjema varijablama). I povezivanje različitih domena učinkovito se ostvaruje na različitim prikazima. Korištenje matrica za predstavljanje transformacija u ravnini istovremeno prikazuje kako se geometrijska preslikavanja mogu prikazati vizualno, ali su podložna simboličkom predstavljanju i manipulaciji na način koji pomaže učenicima da ih bolje matematički razumiju.

Istraživanja ukazuju da učenici/studenti na svim obrazovnim razinama trebaju razvijati svoje razumijevanje složenih matematičkih ideja istaknutih u različitim vidljivim prikazima. Pritom nije dobro da nastavnik prebrzo ponudi zamjenski prikaz jer se tako može zaustaviti učenički/studentski proces istraživanja koji osigurava temeljno razumijevanje koncepta. Primjerice, učenicima se na nižim obrazovnim razinama nakon fizičkog prikaza, odnosno konkretnog modela nekog matematičkog koncepta (npr. kvadra), često prerano uvodi neki od grafičkih (ponekad i neadekvatnih) prikaza. Najjednostavniji grafički prikazi geometrijskih figura u matematici rezultat su nekog od oblika paralelne projekcije (kosa paralelna ili ortogonalna projekcija), ali danas se sve češće javljaju fotografije kao tipični primjeri perspektivnog prikaza u matematici. Primjena perspektive u nižim obrazovnim razinama metodički je neadekvatna za početno matematički ispravno usvajanje određenog geometrijskog koncepta (prikazi tragova zrakoplova na fotografijama matematički se predstavljaju kao prikazi ukriženih pravaca, dok je u stvarnosti riječ o mimosmjernim pravcima; fotografije objekata iz okruženja na kojima se prepoznaju kvadri, kocke, sfere, kružnice, kvadrati, pravokutnici nisu adekvatne jer se temeljni geometrijski pojmovi paralelnosti i okomitosti prikazuju u deformiranoj grafičkoj formi…).

I dok se s jedne strane s grafičkim prikazom prostornih figura učenici susreću već u prvom razredu osnovne škole, njihovo razumijevanje ovog važnog oblika vidljivog prikaza, grafičkog prikaza, ostaje nepromijenjeno i tijekom osnovnoškolskog i srednjoškolskog obrazovanja. Bilo bi dobro da se učenici tijekom srednjoškolskog matematičkog obrazovanja u okviru osnovnog rada s grafičkim prikazom barem upoznaju sa složenom problematikom projiciranja prostora (3D struktura i odnosa) na ravninu (školsku ploču, zaslon računala, list papira u bilježnici…).  Naime, kada je riječ o prikazu prostornih struktura, korištenje jednog grafičkog prikaza, jednog crteža, u pravilu ne otkriva precizno ni metričke elemente (duljine dužina, mjere kutova…), ni položajne odnose među figurama (sječenje, pripadanje, ležanje na…). Na početku ovog teksta istaknut je grafički prikaz jedne složene prostorne figure sa zakrivljenim i ravnim plohama te njezina paralelna projekcija koja se topološki podudara s često „lako prepoznatljivom“ kosom paralelnom projekcijom kvadra. Drugim riječima, zadatak analiziranja grafičkih prikaza prostornih figura nije isti u svim nastavnim predmetima. Matematičko analiziranje grafičkih prikaza tijekom obrazovanja zahtijeva dublju primjenu matematičkog jezika u usmenom i pisanom izražavanju.

Neki primjeri iz  prakse

Potreba za razumijevanjem i korištenjem matematike u svakodnevnom životu, bilo privatnom ili poslovnom, nikad nije bila toliko izražena. Pa ipak, niz istraživanja posljednjih godina pokazuje da je trećina učenika u Hrvatskoj „matematički nepismena“, odnosno završava obvezno školovanje bez osnovne razine matematičke pismenosti.  Zanimljivo je i da istraživanja na nižim obrazovnim razinama ukazuju da učenici imaju najviše problema pri rješavanju kontekstualiziranih zadataka, odnosno u zadatcima gdje se mijenja vrsta prikaza, zadani problem prevodi se u simbolički prikaz, dok im rutinski zadatci koji obuhvaćaju manipulaciju unutar istog prikaza puno bolje leže (Pavić, 2019), ali nažalost situacija na višim obrazovnim razinama govori drukčije. Naime, čini se da iz godine u godinu raste broj studenata koji sve teže uspješno ispunjavanju ishode visokog obrazovanja „rješavanjem rutinskih zadataka“, dobrim dijelom zbog nerazumijevanja temeljnih matematičkih koncepata, bilo iz područja geometrije bilo iz područja algebre (Antunović i Marušić, 2022).

U svim matematičkim područjima i svim obrazovnim razinama može se pridonijeti jačanju kompetencija u prikazivanju, što uključuje samostalno kreiranje različitih prikaza matematičkih objekata te smisleno rukovanje postojećim prikazima. Pritom je važno da učenici ne osjećaju sputavanje individualnih izričaja (bilo grafičkih, bilo simboličkih), već da prepoznaju prednosti ustaljenih konvencionalnih matematičkih prikaza „pogodnih za obradu“ primjenom različitih matematičkih „alata“ (operacija, funkcija, geometrijskih struktura…). U učenju i podučavanju nove nastavne jedinice važno je da se koristimo različitim prikazima (na matematički ispravan način) te da se s učenicima dovoljno izvježbaju konceptualna pitanja s različitim prikazima. Pokazuje se da neadekvatno operiranje složenijim strukturama često u sebi krije pogrešnu usvojenost nekog prikaza određenog matematičkog koncepta. Prepoznavanje i preoblikovanje matematičkih izraza osnova je za svladavanje naprednijih matematičkih sadržaja. Pritom je važno točno razumjeti izraz koji uz brojeve i računske operacije rabi i slova te je nužno razlikovati veličine koje se mijenjaju, odnosno varijable, od nepromjenjivih veličina, odnosno konstanti. Varijable ne moraju uvijek biti označene slovom $x$, funkcije ne moraju uvijek biti označene slovom $f$… Za primjenu u matematičkom modeliranju potrebno je najprije poraditi na dubljem razumijevanju temeljnih matematičkih pojmova.

Slijedi niz primjera s ciljem provjeravanja temeljnog razumijevanja određenog matematičkog koncepta promjenom odgovarajućeg prikaza. Iako se zadatci ovakvog tipa pojavljuju i u nekim udžbenicima, još uvijek se u nastavi preveliki naglasak stavlja na zadatke operiranja koji primjenom ICT tehnologije sve više gube na svojoj obrazovnoj vrijednosti (Glasnović Gracin, 2020). Pritom se češće javljaju zadatci u kojima se prelazi iz simboličkog u simbolički prikaz (npr. pojednostavljivanje izraza), dok su zadatci kojima se podržava prelazak iz jednog prikaza u drugi manje zastupljeni u udžbenicima, a često im nedostaje metodičke obrade. Posebnu pažnju u podučavanju treba posvetiti prevođenju standardnog govora na matematički jezik koje mora zadovoljavati konvencionalne matematičke norme. Učenike ne treba sputavati u predstavljanju njihovih ideja već ih poticati u prepoznavanju prednosti rada s unificiranim matematičkim simbolima (brže, efikasnije…).

Primjer 1. Simbolički – simbolički prikaz.

Primjer 2. Simbolički – verbalni  prikaz.

1. DA ili NE. Ako je tvoj odgovor NE, navedi primjer.

Jednadžbe. a) Dobivaš li uvijek ekvivalentnu jednadžbu dodavanjem istog broja lijevoj i desnoj strani jednadžbe?$\hspace{1cm}\underline{\hspace{3cm}}$ b) Dobivaš li uvijek ekvivalentnu jednadžbu množenjem istim brojem lijevu i desnu stranu jednadžbe?$\hspace{2cm}\underline{\hspace{3cm}}$ c) Dobivaš li uvijek ekvivalentnu jednadžbu kvadriranjem lijeve i desne strane jednadžbe?$\hspace{3.5cm}\underline{\hspace{3cm}}$

Nejednadžbe. a) Ako je $x\left(x+1\right)>0$, možemo li zaključiti da je $x$ pozitivan?$\hspace{1cm}\underline{\hspace{3cm}}$ b) Ako je $x\left(x+1\right)>5$, možemo li zaključiti da je $x>5$?$\hspace{2.2cm}\underline{\hspace{3cm}}$

2. Istaknuti prostor potrebno je nadopuniti matematičkim izrazima:

a) uvećati $x$ na $\dfrac 54$ od $x$ $\hspace{2cm}x\cdot~\underline{\hspace{3cm}}$ b) uvećati $x$ za $\dfrac 35$ od $x$ $\hspace{2cm}x\cdot~\underline{\hspace{3cm}}$ c) umanjiti $x$ na $\dfrac 23$ od $x$ $\hspace{2cm}\underline{\hspace{3cm}}$ d) umanjiti $x$ za $\dfrac 47$ od $x$ $\hspace{2cm}\underline{\hspace{3cm}}$ e) uvećati $x$ na $135!\%$ od $x$ $\hspace{1.2cm}\underline{\hspace{3cm}}$ f) umanjiti $x$ za $32~\%$ od $x$ $\hspace{1.5cm}\underline{\hspace{3cm}}$

3. Sljedeći odnosi su ili linearni ili eksponencijalni. Postavi jednadžbu funkcije za svaki odnos:

a) Zarada od 42 EUR godišnje naraste za 3 posto.     $z\left(n\right)\dots $ kapital u eurima nakon $n$ godina $\hspace{4em}\underline{\hspace{8em}}$ b) Svijeća visine 40 cm je upaljena. Visina svijeće se smanjuje 3 cm na sat.     $h\left(t\right)\dots $ visina svijeće u cm nakon $t$ sati $\hspace{5em}\underline{\hspace{8em}}$ c) Auto vozi brzinom 30 m/s i počinje kočiti. Brzina opada 6 m/s svake sekunde.     $v\left(t\right)\dots $ brzina u m/s nakon $t$ sekundi $\hspace{6em}\underline{\hspace{8em}}$ d) U krvi je sadržano 70 mg nekog biološki aktivnog sastojka. Svaki se sat razgrađuje četvrtina tog aktivnog sastojka.     $f\left(t\right)\dots $ aktivni sastojak u mg u krvi nakon $t$ sati $\hspace{2em}\underline{\hspace{8em}}$

4.Kojoj od danih funkcija je broj 5 član prirodne domene?

$f\left(x\right)=x^2-3x$         $g\left(x\right)=\dfrac{x-5}{x}$         $h\left(x\right)=\sqrt{x-10}$ Ako je 5 član prirodne domene dane funkcije, odredi njezinu vrijednost u 5. $\hspace{1em}\underline{\hspace{16em}}$

Primjer 3. Simbolički – grafički  prikaz.

1. Poveži dane eksponencijalne funkcije s grafovima označenim redom A, B, C, D.

i. $f(x)=2^x$             ii. $f(x)=-2^{-x}$             iii. $f(x)=-2^x$             iv. $f(x)=2^{-x}$

2. Odredi eksponencijalne funkcije $f(x)=a^x$ čiji grafovi su redom dani na slikama a), b), c), d).

3. Odredi standardnu jednadžbu kružnica prikazanih na donjoj slici.

I naravno, budući da dugi niz godina uz matematiku predajem i nacrtnu geometriju, dio matematike koji u svom fokusu ima matematičku obradu grafičkog prikaza, ne mogu u ovom tekstu zaobići problematiku obrade grafičkog prikaza u nastavi matematike. I dok su se gornji primjeri bavili isključivo „čitanjem prikaza“ ili „zamjenom prikaza“, drugi je problem podučavanje matematičke obrade prikaza koji nije simbolički. Kao što je korištenje različitih algebarskih operacija zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja temeljno za usvajanje različitih algebarskih koncepata, usvajanje različitih geometrijskih koncepata snažno se potiče njihovom primjenom u konstruktivnoj obradi. Primjerice, analiziranjem konstruktivnog problema zadavanjem različitih odnosa među jednostavnijim objektima izgrađuju se složenije figure (npr. Je li kvadrat jednoznačno zadan u ravnini zadavanjem položaja jedne njegove stranice ili jedne njegove  dijagonale?; Je li kvadrat jednoznačno zadan u prostoru zadavanjem položaja jedne njegove stranice (dijagonale)?… Opiši dobiveni skup rješenja.).

No, posljednjih se godina sve češće javlja problem studentskog nerazumijevanja osnovnog rada s grafičkim prikazima (neovisno je li riječ o korištenju računalnih programa ili tradicionalnog geometrijskog pribora) koji dijelom proizlazi iz pogrešne početne obrade danog prikaza. Na primjeru nekih rezultata inicijalne provjere usvojenosti geometrijskog znanja u ak. god. 2022./23. na jednom od tehničkih fakulteta Sveučilišta u Zagrebu istaknut će se problematika podučavanja geometrijskih sadržaja na tehničkim fakultetima. Rezultati inicijalne provjere ne samo da su bili poražavajući, već su ukazali na duboko nerazumijevanje temeljnih geometrijskih koncepata (objekata i njihovih odnosa) te studentsko preferiranje algebarske obrade problema čak i u slučajevima kada to nije zadano.

Primjer 4.

1. Zadatak: Zadana je točka $A$ i pravac $p$. Konstruiraj jednakostranični trokut $ABC$ kojemu jedna stranica leži na zadanom pravcu $p$.

Konstruktivna obrada zadataka pomaže u usvajanju temeljnih svojstava geometrijskih objekata nužnih za primjenu u tehničkim područjima. Njihovo rješavanje s matematičkog stajališta uključuje prepoznavanje nužnih i dovoljnih uvjeta za jednoznačno rješavanje nekog problema. U istaknutim primjerima vidljivo je da studenti teško uspostavljaju veze između različitih vanjskih prikaza istih geometrijskih koncepata što može upućivati i na nerazumijevanje temeljnih geometrijskih koncepata (figura i odnosa, položajnih i metričkih). Na slici 1 (a) vidljivo je da student razumije (često i preferira) algebarsku obradu pojma jednakostraničnog trokuta, ali ne razumije konstruktivno obrađivanje ovog pojma koje između ostalog uključuje primjenu „ležanja” stranice na pravcu. Mnogi studenti preferirali su primjenu algebarskih operacija u rješavanju „svojih novih problema“, ali su pritom zanemarili rješavanje zadanog problema. Važno je prepoznati kako je kontinuirano jačanje poveznica između algebre i geometrije nužno za razvijanje niza matematičkih kompetencija. Iako je apstraktna simbolička obrada geometrijskih pojmova primjenom različitih matematičkih operacija nužna na višim obrazovnim razinama, u matematičkom modeliranju ona često proizlazi iz ispravnog razumijevanja geometrijskog problema zadanog grafičkim prikazom. Primjerice, na slici 1 (b) nerazlikovanje pojmova „konstrukcija“ i „skica“ dovodi do pogrešnog korištenja simboličkog zapisa unutar konstrukcije i ne daje rješenje. Razlikovanje konstrukcije i skice nužno je za simboličku obradu problema koja uključuje „matematiziranje problema“ što jednostavnijim uvođenjem koordinatne ravnine u ravninu crteža te daljnjim npr. „algebarskim rješavanjem“ danog problema. Slika 1 (c) također pokazuje jednu od češćih pogrešaka nerazumijevanja „ležanja” stranice na pravcu.

2. Zadatak: Zadani su pravac $p$ čija je jednadžba $y=x-2$ i parabola čija je jednadžba $y=x^2+2$. Koliko ima sjecišta između tog pravca i parabole? Izračunaj koordinate sjecišta.

Za razliku od prethodnog primjera u ovom primjeru zadatka grafički prikaz je „višak“ i nije nužan za samo rješavanje zadatka. Algebarskim računom trebalo je odrediti koordinate sjecišta pravca i parabole zadanih jednadžbama uz njihov istaknuti položaj u koordinatnoj ravnini. Iako je iz samog grafičkog zapisa bilo jasno da dani objekti nemaju zajedničkih realnih točaka, većina studenata je ignorirala istaknuti grafički prikaz. Neki su ga pak pokušavali „konstruktivno“ iskoristiti na njima prihvatljiv način (npr. sjecišta su određena dodavanjem pomoćne dužine okomite na dani pravac kao što je istaknuto na slici 2 (a)). Slika 2 (b) ističe učestalu primjenu „metode pokušaja i pogrešaka“ na prijediplomskoj razini studija pri rješavanju jednostavnih algebarskih jednadžbi, a slika 2 (c) pokazuje nerazumijevanje povezivanja algebarskog s istaknutim grafičkim rješenjem (u ovom slučaju čak pogrešno provedenog postupka). Student ističe dva realna rješenja i zapisuje ih ispravno u obliku koordinata dviju točaka, ali ne uočava njihovu vezu s pripadnim objektima istaknutim u koordinatnom sustavu.

Jedan od ciljeva ovog posljednjeg zadatka u inicijalnoj provjeri bio je ojačati poveznicu između različitih zapisa istih geometrijskih struktura (tekstualna, simbolička i grafička) te potaknuti njihovu interakciju. Osim toga, grafički zapis i konstruktivna obrada konjugirano-kompleksnih brojeva nalaze široku primjenu u računalnoj grafici i oslanjaju se na važan koncept imaginarnih brojeva. Pokazalo se da studenti nemaju dovoljno iskustva s korištenjem grafičkih prikaza i ne znaju ih povezati s pripadnim simboličkim zapisima.

I za kraj malo matematiziranja na temu najvažnije sporedne stvari na svijetu – nogometa – primjenom fotografije kao jednog vida vanjskog prikaza u nastavi matematike radi podizanja motivacije za učenjem matematike. 

Primjer. Gool!? ili Dvije slike govore više od riječi.

Crteži kao vrste grafičkih prikaza u nastavi matematike mogu imati različite uloge što je važno osvijestiti pri njihovoj upotrebi. Primjer nogometa koji slijedi jedan je od primjera koji ističem na uvodnom satu s ciljem osvješćivanja kompleksnosti „čitanja grafičkog prikaza“ koja naravno tek prethodi daljnjoj „obradi grafičkog prikaza“. Budući da se primjer izvodi u okviru predavanja unutar kolegija Nacrtna geometrija (dio je matematičke grupe kolegija na razini visokog obrazovanja) sve teme obrađuju se na matematički prepoznatljiv način; ističući najprije definicije pojmova, zatim navodeći teoreme (svojstva struktura/preslikavanja…) te primjenjujući matematički jezik u usmenom i pisanom izražavanju, strukturiranju, analizi, razumijevanju i procjeni informacija preferirajući u rješavanju problema obradu grafičkih, a ne simboličkih prikaza (bilo primjenom jednostavnijih tradicionalnih pomoćnih alata, bilo primjenom složenijih računalnih konstrukcijskih programa).   

Različiti početni motivacijski primjeri služe samo kao jačanje poveznica između matematike i svakodnevnih situacija u privatnom i poslovnom okruženju, ali trebaju ojačati direktnu poveznicu s odabranim matematičkim sadržajem. U ovom primjeru riječ je o jednoj fotografiji s utakmice Engleska – Ukrajina na Europskom nogometnom prvenstvu 2012. godine preuzetoj iz novinskog online članka (https://www.zeit.de/sport/2012-06/em-schnack-interview-sergej-bubka?utm_referrer=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F). U navedenoj utakmici Engleska je pobijedila rezultatom 1 : 0 nakon što nije uvažen gol ukrajinskog igrača jer je golman uspio izbiti loptu iz gola. Iako gol nije prihvaćen, kasnijom se analizom došlo do ispravnog uvida u situaciju i utvrđeno je da je lopta u trenutku izbačaja već u potpunosti prešla liniju gola.

Iako nisam nogometni fan, privlači me matematiziranje grafičkih prikaza. Očito je da jedan prikaz situacije nije dovoljan da se utvrdi je li lopta u golu, no prirodno se nameće pitanje, jesu li dva prikaza iste situacije dovoljna. Odgovor je naravno: da, dvije slike su dovoljne. Neću ovdje rješavati ovaj problem (studentima tehničkih fakulteta rješavanje ovakvog problema ponudi se tek nakon nekoliko tjedana nastave).  Ideja je naravno matematizirati ovu situaciju pojednostavljivanjem danog prikaza identificirajući matematički važne elemente i njihove odnose, npr. gol prikazan kvadrom i loptu prikazanu točkom. Zanima nas njihov međusobni odnos, nalazi li se točka unutar ili izvan četverostrane prizme. Zadatak se može konstruktivno rješavati primjenom različitih metoda projiciranja.

Na slici 4. problem je predstavljen primjenom metode kosog paralelnog projiciranja. Važno je uočiti da ovako dani elementi nisu dovoljni za rješavanje problema pa se zato u praksi pri konstruktivnoj obradi nude najmanje dva prikaza iste situacije samo iz različitog kuta gledanja (slika 5.). Tek istovremenom konstruktivnom obradom slike 4 i slike 5 moguće je doći do točnog odgovora.

Zadatci ovakvog tipa često se obrađuju u konstruktivnoj geometriji i ulaze u grupaciju položajnih zadataka. Najjednostavniji primjeri obuhvaćaju istovremenu obradu dva pogleda, dvije pravokutne projekcije (tlocrt i nacrt) korištenjem Mongeove metode projiciranja. Ponuđeni primjer koji rabi kosu paralelnu projekciju je nešto složeniji (problem s perspektivom je još složeniji), ali idejno sve metode projiciranja slijede iste korake u rješavanju ovog problema. Kako je za primjenu bilo koje od spomenutih metoda projiciranja nužno dodatno geometrijsko znanje o projiciranju i samoj metodi, rješenje neće biti prikazano u ovom tekstu. Zainteresirani čitatelj može pokušati samostalno doći do rješenja primjenom nekih temeljnih geometrijskih znanja dostupnih u nekim od udžbenika nacrtne geometrije.

Literatura:

1. S. Antunović, K. Marušić (2022.): Gdje je nestalo logičko zaključivanje?, Matematika i škola 118, str. 99-102.
2. D. Glasnović Gracin (2020.): Izrazi i jednakost – temeljni, a zanemareni pojmovi, Matematika i škola 105 str. 195-201.
3. I. Matešić (2019.): Jasniji zahvaljujući matematici. Kako učenici primjenjuju matematičko izražavanje Matematika i škola 98 str. 99-103.
4. M. Pavić (2019.): Matematička pismenost (diplomski rad), Odjel za matematiku Sveučilišta J. J. Strossmayera u Osijeku

---