U prvom dijelu članka o vertikalnoj korelaciji predstavljena su dva teorijska okvira u edukacijskoj matematici. Vertikalna matematizacija i didaktička transpozicija naglašavaju važnost razvijanja matematičkih sadržaja po složenosti. Nastavak donosi pojam koherentnog kurikuluma i još jedan primjer povezanosti matematičkih sadržaja i aktivnosti vertikalno po različitim razinama matematičkog obrazovanja.
6. Koherentnost kurikuluma
Pojam koherentnosti upotrebljavali su Schmidt i suradnici kako bi opisali karakteristike kurikula zemalja koje su bile najuspješnije na međunarodnom istraživanju kompetencija u matematici i prirodoslovlju, TIMSS. Kurikul nastavnog predmeta jest koherentan ako je redoslijed iskazanih sadržaja i postignuća usklađen s logičkom i hijerarhijskom strukturom odgovarajuće znanstvene discipline [1]. To posebno znači da se kurikulski sadržaji trebaju razvijati od jednostavnih prema složenim strukturama unutar jednog razreda, ali i tijekom cijelog obrazovanja.
Istraživanje koje su proveli Schmidt i suradnici pokazalo je da najuspješnije zemlje tipično imaju kurikul koji se može podijeliti na tri razine.
- razina odgovara prvim četirima razredima osnovne škole u hrvatskom obrazovnom sustavu. Predviđeni sadržaji obuhvaćaju prirodne brojeve i računanje s njima, jednostavne razlomke i decimalne brojeve te procjenjivanje i zaokruživanje.
- razina obuhvaća peti i šesti razred i realizira se kao prijelazno razdoblje između dviju razina, od konkretnih sadržaja i aktivnosti na prvoj razini prema apstraktnima na trećoj razini. Predviđeni sadržaji obuhvaćaju razlomke, decimalne i negativne brojeve, računanje i svojstva brojeva i računskih operacija, postotke, proporcionalnost, koordinatnu geometriju i geometrijske transformacije.
- razina su završni razredi osnovne škole, a predviđeni su sadržaji eksponenti, korijeni, svojstva racionalnih brojeva, funkcionalna ovisnost i posebno linearna funkcija, sukladnost i sličnost te stereometrija.
Osim ove tipične raspodjele sadržaja Schmidt i suradnici uočili su kako se neke teme sustavno provlače i zadržavaju na svim trima razinama kurikula. To su mjerenje, opseg, površina i obujam, jednadžbe, analiza i prikazivanje podataka te ravninska geometrija. Još jedna istaknuta odrednica jest zadržavanje tema u kurikulu tijekom nekoliko uzastopnih razreda, u prosjeku tri godine. Usporedbom Schmidtova kurikula s Nastavnim planom i programom iz 2006. i Kurikulom predmeta Matematike iz 2019. vidljive su promjene u kurikulskoj strukturi. Što se tiče ključnih sadržaja, jednostavni razlomci i decimalni brojevi te proporcionalnost su pri izmjeni kurikula ostali na višoj razini za razliku od postotaka i koordinatne geometrije koji su stavljeni na nižu razinu u odnosu na Schmidtov kurikul. Procjenjivanje i zaokruživanje dio su ishoda u domeni Brojevi, dok su jednadžbe te analiza i prikazivanje podataka sadržaji domena Algebra i Podatci tijekom cijelog osnovnoškolskog obrazovanja. Neki su sadržaji i dalje rezervirani za razdoblje jednog razreda, poput negativnih brojeva u 6. razredu te osne i centralne simetrije u 5. razredu. Mjerenje je kao domena u kurikulu zastupljeno tijekom svih razreda, ali je svako od mjerivih obilježja rezervirano za točno određeni razred. Ovdje je odgovornost nastavnika aktualizirati sadržaje iz domene Mjerenje pri realizaciji drugih sadržaja. Uobičajeno je ponoviti odnose između mjernih jedinica i pretvarati mjerne jedinice pri računanju s decimalnim brojevima i razlomcima, no sadržaji iz domene Mjerenje izrazito su zahvalni za vertikalnu i horizontalnu korelaciju.
7. Izoperimetrijski problem
Izoperimetrijski problem bogat je za izučavanje na svim razinama matematičkog obrazovanja. Iskazuje se za različite likove, a temeljni izoperimetrijski poučak glasi:
Među likovima jednakog opsega najveću površinu ima krug.
Iako je poznat iz antičkog doba, dokazan je tek krajem 19. stoljeća primjenom rezultata o neprekidnim funkcijama [2]. Među lemama izoperimetrijskog poučka primjerenima za istraživanje u nastavi matematike izdvajamo [3]:
Među svim pravokutnicima jednake površine najmanji opseg ima kvadrat.
Učenici četvrtog razreda istraživali su situaciju postavljenu u realističan kontekst sljedećim zadatkom:
Primjer 5. Osmisli travnjak u obliku pravokutnika koji se sastoji od 36 kvadratnih blokova, a da je pritom ograda najkraće moguće duljine.
Korištena je odgovarajuća, svojevremeno besplatna, simulacija Fido’s flower bed [4] u kojoj Fido osmišljava oblik travnjaka popunjavajući ga travnatim blokovima i potom ga ograđuje ogradom (Slika 5).
Učenici su sustavno ispisivali moguće ishode, primjenjivali poznate procedure, prepoznavali oblike i njihova obilježja kako bi riješili problem i otkrili pravilnost. Pri postavljanju zadatka odabire se takva površina čiji je mjerni broj kvadrat prirodnog broja kako bi jedan od pravokutnika s cjelobrojnim duljinama stranica bio kvadrat. Učenici četvrtog razreda iskazali su uočenu pravilnost (Slika 6).
Druga lema izoperimetrijskog poučka primjerena za istraživanje u nastavi matematike koristi se obrnutom situacijom – zadan je opseg pravokutnika:
Među svim pravokutnicima jednakog opsega najveću površinu ima kvadrat.
Učenici viših razreda osnovne škole istražuju problem povezivanjem i interpretiranjem različitih prikaza. Može se izraditi simulacija problema u programu dinamičke geometrije i grafički prikazati odnos između duljine stranice pravokutnika zadanog opsega i njegove površine (Slika 7). Učenici će ovaj problem iskazati algebarskim izrazom $P=a\cdot\left(\frac{o}{2}-a\right)$ pri čemu su $a$ i $b$ duljine stranica i $o=2(a+b)$ opseg pravokutnika. Do odgovora će doći istraživanjem vrijednosti ili grafičkog prikaza pri čemu duljine stranica ne moraju biti prirodni brojevi kao što je u slučaju razredne nastave. Nadalje, učenici mogu određivati kolika treba biti duljina stranice pravokutnika zadanog opsega kako bi pravokutnik bio određene površine.
Učenici srednje škole mogu dokazati ovu tvrdnju na dva načina. Prvi način je određivanje ekstrema, u ovom slučaju maksimuma, kvadratne funkcije koja opisuje problem. Za dani opseg $o$ površina pravokutnika duljine stranice $x$ vrijednost je funkcije $P(x)=x\cdot\left(\frac{o}{2}-x\right)$ pri čemu je duljina stranice $x$ manja od polovine opsega, $x\in\left\langle0,\frac{o}{2}\right\rangle$. Najveća vrijednost postiže se u tjemenu $\left(\frac{o}{4},\frac{o^2}{16}\right)$, odnosno najveća površina postiže se za duljinu stranice koja iznosi četvrtinu danog opsega pa je traženi pravokutnik kvadrat!
Drugi način je ispitivanje algebarskih nejednakosti. Ako se odabere pravokutnik stranica duljine $a,b$ i kvadrat opsega jednakog opsegu pravokutnika, odnos između površine kvadrata $\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$ i površine pravokutnika $a\cdot b$ slijedi iz nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine: $$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{a\cdot b}\Rightarrow \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\geq a\cdot b.$$
Neke leme izoperimetrijskog problema primjerene su za istraživanje u dodatnoj nastavi matematike u osnovnoj i srednjoj školi [3].
- Između dvaju pravilnih mnogokuta jednakog opsega veću površinu ima mnogokut s većim brojem stranica. Uspoređuju se površine zadanih pravilnih mnogokuta jednakog opsega, primjerice jednakostraničnog trokuta, kvadrata i pravilnog šesterokuta. Provjeravanje tvrdnje za dane likove svodi se na uspoređivanje iracionalnih brojeva. Za druge pravilne mnogokute potrebno je primijeniti trigonometriju pravokutnog trokuta.
- Između dvaju raznostraničnih trokuta jednakih osnovica i jednakog opsega manje je površine onaj kojemu pripada najveći i najmanji kut od četiriju kuta uz osnovicu. Vrh trokuta zadanog opsega nasuprot zadanoj osnovici opisivat će elipsu kojoj su fokusi krajnje točke osnovice trokuta. Slijedi tvrdnja: Među trokutima jednakog opsega i jednake osnovice najveću površinu ima jednakokračan trokut.
- Među svim trokutima jednakog opsega, jednakostranični trokut ima najveću površinu. Tvrdnja se dokazuje primjenjujući Heronovu formulu za površinu trokuta i aritmetičko-geometrijsku nejednakost.
| Domene: Oblik i prostor, Mjerenje, Algebra i funkcije Procesi: Prikazivanje i komunikacija, Logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje, Primjena tehnologije Aktivnosti: Među likovima jednakog opsega određuje se lik najveće površine. |
Zaključak
Teorijski i praktični sadržaji opisani u tekstu mogu biti inspiracija za različite aktivnosti. Istraživački problemi iz matematike mogu biti jednako motivirajući, korisni i zanimljivi kao i problemi izvan matematike, iz svakodnevnog života. Situacije, odnosno zadatci mogu proizaći iz vertikalne korelacije jednako kao iz horizontalne korelacije. Ista, čisto matematička situacija problemska je na nižim razinama i rutinska na višim razinama matematičkog obrazovanja. Istoj se situaciji na različitim razinama pristupa primjerenim alatima koji rastu po složenosti aktiviranih procesa od konkretizacije u razrednoj nastavi matematike, preko primjene, prikazivanja i povezivanja sve do vrednovanja tijekom srednjoškolskog obrazovanja. Učenici koji su jedan sadržaj obradili u nižim razredima primjerenim aktivnostima mogu povući vertikalu kad se tom sadržaju pristupa na apstraktnoj razini. Tu je važna koherentnost kurikula i kompetencije nastavnika. S jedne strane, sadržaji predviđeni kurikulom moraju biti rastući po složenosti, međusobno povezani, aktualizirani tijekom duljeg razdoblja i usklađeni s matematičkim sadržajima. S druge strane, kako bi učitelj djelovao uspostavljajući veze unutar i uzduž kurikula, mora poznavati matematički sadržaj i koncepcije učenika o tom sadržaju ne samo na obrazovnoj razini na kojoj djeluje nego na različitim obrazovnim razinama. Vertikalna prohodnost sadržaja odgovornost je kurikula i time odgovornost zajednice interesa za obrazovanje. Kako bi vertikalna prohodnost bila ostvariva, ključna je suradnja dionika na različitim razinama obrazovanja.
Literatura
- Schmidt, W. H., Wang, H. C. i McKnight, C. C., Curriculum coherence: An examination of US mathematics and science content standards from an international perspective, Journal of Curriculum Studies, 37(5), 525–559., 2005.
- Blåsjö, V., The Evolution of the Isoperimetric Problem, The American Mathematical Monthly, 112, 526–566, 2005.
- Pavleković, M., Matematika i nadareni učenici, Element, 2009.
- Fido’s Flower Bed (Perimeter and Area) Gizmo : Lesson Info: Explore Learning, https://gizmos.explorelearning.com/index.cfmmethod=cResource.dspDetail&resourceID=1011