Vizualizacija operacija množenja i dijeljenja razlomaka

U radu su ilustrirani geometrijski modeli kojima se ostvaruje vizualizacija operacija množenja i dijeljenja razlomaka.

Ključne riječi: razlomak, množenje, dijeljenje, vizualizacija

Svima koji se bave podučavanjem matematike poznato je kako učenici nailaze na brojne poteškoće pri izvođenju računskih operacija s razlomcima. Jedan od mogućih uzroka takvim poteškoćama jest podučavanje isključivim navođenjem pravila za provedbu računskih operacija zbog čega učenici propuštaju uočiti njihovu smislenost. Iz tog razloga smatramo važnom primjenu odgovarajućih geometrijskih modela koji omogućuju vizualizaciju računskih operacija s razlomcima. Primjenom geometrijskih modela poput dijelova kruga i pravokutnih mreža učenici lakše uočavaju odnose između razlomaka i razumiju njihove međusobne povezanosti. Vizualizacija operacija s razlomcima zasigurno je posebno korisna za učenike koji imaju poteškoća s apstraktnim matematičkim pojmovima jer im olakšava prepoznavanje obrazaca i rješavanje problema. U ovome radu predstavljena su dva jednostavna geometrijska modela za operacije množenja i dijeljenja razlomaka.

Prilikom upoznavanja učenika s razlomcima često se prikaže čokolada ili torta koju je potrebno podijeliti među djecom. Na taj način učenici vizualiziraju razlomke i lakše usvajaju razlomak kao dio cjeline. Kako čokoladu, odnosno tortu možemo zamijeniti odgovarajućim geometrijskim likom, možemo naslutiti da se i računske operacije s razlomcima mogu prikazati s pomoću odgovarajućeg geometrijskog modela. 

Za početak pogledajmo jednostavan primjer modeliranja operacije množenja razlomka prirodnim brojem. Uzmimo da je potrebno izračunati umnožak $2\cdot\dfrac{3}{8}$. Kako množenje prirodnim brojem shvaćamo kao uzastopno zbrajanje jednakih pribrojnika, i umnožak $2\cdot\dfrac{3}{8}$ shvaćamo kao zbroj $\dfrac{3}{8}+\dfrac{3}{8}$. Stoga navedeni umnožak možemo jednostavno vizualizirati na način da obojimo tri osmine kruga te zatim obojimo još tri osmine kruga i vidimo da njihov zbroj iznosi šest osmina kruga, tj. $2\cdot\dfrac{3}{8}=\dfrac{3}{8}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{2\cdot3}{8}=\dfrac{6}{8}$.

Operacija množenja dvaju razlomaka može se vizualizirati i s pomoću jednostavne aktivnosti savijanja papira, koja je posebno prikladna za množenje razlomaka čiji su brojnici jednaki 1. Ovakva aktivnost prikazana na slici 2 prati postupak za računanje umnoška $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}$. Učenici trebaju slijediti sljedeće korake:

1. Uzmite pravokutni list papira i presavijte ga na pola.
2. Zatim preklopite jednu polovicu na tri jednaka dijela.
3. Obojite jedan od presavijenih dijelova kako biste označili jednu trećinu polovice.
4. Ponovno otvorite list papira.
5. Odredite koji dio cijelog lista predstavlja obojeni dio.

Prethodnu aktivnost možemo zamijeniti geometrijskim modelom koji je prikladan za množenje bilo koja dva razlomka. Predstavljeni geometrijski model ilustrirat će računanje umnoška razlomaka $\dfrac{5}{6}$ i $\dfrac{3}{4}$​ (Slika 3). Prvi korak je nacrtati pravokutnik i podijeliti ga vodoravnim crtama na onoliko jednakih dijelova koliko iznosi nazivnik prvog razlomka, te obojiti odgovarajuće dijelove koji predstavljaju prvi razlomak. Nakon toga, isti pravokutnik dijelimo okomitim crtama na broj jednakih dijelova koji odgovara nazivniku drugog razlomka te ponovno bojimo odgovarajuće dijelove koji predstavljaju drugi razlomak. Konačno, umnožak odgovara dijelu površine u kojem se preklapaju obojeni dijelovi obaju razlomaka.

Vizualizacija dijeljenja dvaju razlomaka ostvaruje se slično kao za množenje razlomaka.

Recimo da je potrebno podijeliti broj $3$ brojem $\dfrac{1}{3}$. Cilj je vizualizirati koliko puta broj $3$ sadrži broj $\dfrac{1}{3}$. Broj $3$ vizualiziramo kao tri sukladna pravokutnika te svaki pravokutnik podijelimo na 3 jednaka dijela koji predstavljaju $\dfrac{1}{3}$.  Kako svaki pravokutnik sadrži $3$ takva dijela, zaključujemo da $3$ pravokutnika sadrže $9$ takvih dijelova, tj. $3:\dfrac{1}{3}=3\cdot3=9$.

Sličnim modelom možemo predstaviti operaciju dijeljenja dvaju razlomaka, kako je ilustrirano u sljedećem primjeru gdje je potrebno podijeliti $\dfrac{8}{10}$ s $\dfrac{2}{5}$. Podijelimo pravokutnik na $10$ jednakih dijelova te obojimo takvih $8$ dijelova. Isti pravokutnik sada podijelimo na $5$ jednakih dijelova i obojimo $2$ takva dijela. Uspoređivanjem obojenih dijelova uočimo da u $\dfrac{8}{10}$ pravokutnika imamo $2$ puta dio koji odgovara $\dfrac{2}{5}$, tj. $\dfrac{8}{10}:\dfrac{2}{5}=\dfrac{8:2}{10:5}=\dfrac{4}{2}=2$.

U prethodnim primjerima prikazana je vizualizacija dijeljenja dvaju razlomaka gdje je količnik cijeli broj te je djelitelj bio manji od djeljenika. U slučaju kad je djelitelj veći od djeljenika možemo se poslužiti sljedećim modelom. Recimo da trebamo podijeliti $\dfrac{1}{3}$ s $\dfrac{1}{2}$. Postupak se svodi na otkrivanje koliki dio djelitelja zauzima djeljenik.

Podijelimo pravokutnik na $3$ jednaka dijela i istaknimo jedan takav dio kao plavi pravokutnik. Raspolovimo polazni pravokutnik te presložimo pravokutnike koji predstavljaju trećine tako da se plavi pravokutnik nađe u cijelosti unutar jedne polovine velikog pravokutnika. Sada jednostavnim prebrojavanjem vidimo kako plavi pravokutnik zauzima $\dfrac{2}{3}$ žutog pravokutnika. Dakle, $\dfrac{1}{3}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}$ .

Na sličan način možemo vizualizirati dijeljenje razlomaka čiji brojnici nisu jednaki 1. Vizualizaciju ćemo prikazati na primjeru dijeljenja brojeva $\dfrac{5}{7}$ i $\dfrac{3}{4}$.

Pravokutnik podijelimo na $7$ jednakih dijelova vodoravnim crtama te označimo $5$ takvih dijelova. Zatim pravokutnik podijelimo okomitim crtama na $4$ jednaka dijela i označimo žutom bojom $3$ takva dijela. Presložimo plave dijelove tako da se svi nađu unutar žutog pravokutnika i prebrojavanjem odredimo koliki dio žutog pravokutnika zauzimaju plavi pravokutnici.

Učenici mogu uočiti: budući da smo $5$ plavih dijelova dijelili na $4$ jednaka dijela, dobit ćemo $20$ sukladnih pravokutnika, dok unutar velikog žutog pravokutnika imamo $21$ manji pravokutnik jer smo $7$ jednakih dijelova dijelili na $3$ jednaka dijela. Stoga vrijedi $\dfrac{5}{7}:\dfrac{3}{4}=\dfrac{5\cdot4}{7\cdot3}=\dfrac{20}{21}$, što možemo utvrditi prebrojavanjem.

Za kraj spomenimo kako sve vizualizacije gdje nam je kao model služio pravokutnik možemo ostvariti slaganjem lego kockica. Crtanjem geometrijskih modela, odnosno slaganjem lego kockica, možemo učenike potaknuti na aktivno učenje što će olakšati razumijevanje matematičkih operacija s razlomcima.

LITERATURA:

1. T. Brešćanski, T. Soucie: Matematika 6: Razlomci, https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/20de11be-7247-43b7-b6a7-39a0eaecedaa/html/246_razlomci.html pristupljeno: 15. 4. 2025.
2. E. Erdem, B. Gökkurt, Ö. Şahin, K. Başıbüyük i Y. Soylu (2015.): Examining Prospective Middle School Mathematics Teachers’ Modelling Skills of Multiplication and Division in Fractions, Croatian Journal of Education Vol.17; No.1, /doi.org/10.15516/cje.v17i1.830
3. S. Lamon (2020.): Teaching fractions and ratios for understanding, essential content knowledge and instructional strategies for teachers, 4. edition, Routledge, New York
4. https://www.splashlearn.com/blog/how-to-multiply-divide-fractions-steps-with-visual-models/, pristupljeno: 15. 4. 2025.
5. M. Hegol (2022.): Vizualizacija razlomaka i operacija s njima, Diplomski rad, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku, Odjel za matematiku

---