U matematici, ali i u drugim područjima, susrećemo različite krivulje. Možemo ih podijeliti na algebarske i transcendentne, ravninske i prostorne, zatvorene i otvorene; a podjelu također možemo napraviti i s obzirom na stupanj (red) krivulje. Svaka krivulja krije u sebi neku osobitost. Neke će nas zainteresirati svojim oblikom, a neke zanimljivom poviješću. Među pedesetak najznačajnijih krivulja našle su se i dvije neobičnih imena: vražja krivulja i vještica Marije Agnesi. Priča o njima može poslužiti u nastavi kao motivacijski uvod u proučavanje krivulja drugog reda. Već samo spominjanje vraga i vještice sigurno će privući pozornost učenika. Pa i vas je privukao ovaj naslov, zar ne?
Vražja krivulja (engl. Devil’s Curve)
Algebarska jednadžba vražje krivulje glasi: $y^4 – x^4 – a^2 y^2 + b^2 x^2 = 0,$ pri čemu su $a$ i $b$ realni brojevi različiti od nule. Prvi su je proučavali švicarski matematičar Gabriel Cramer i francuski matematičar Sylvestre Lacroix u 18. i 19. stoljeću. Cramer je proučavao krivulju zadanu jednadžbom $y^4 – x^4 – 96y^2 + 100x^2 = 0,$ a Lacroix familiju krivulja $y^4 – x^4 – 96 a^2 y^2 + 100 a^2 x^2 = 0.$ Ovisno o koeficijentima $a$ i $b$, takva krivulja može poprimiti različite oblike. Na Slici 1 prikazan je slučaj kad je $a<b$ $(y^4 – x^4 – y^2 + 2x^2 = 0)$, na Slici 2 je $a>b$ $(y^4 – x^4 – 3y^2 + x^2 = 0)$, a na Slici 3 $a=b$ $(y^4 – x^4 – y^2 + x^2 = 0)$.
Naziv joj potječe od drevnog rekvizita za žongliranje – diabolo koji vuče korijene iz kineske yo-yo igračke, no zapravo je posljedica zabune. Pojam diabolo nije preuzet iz talijanskog jezika (tal. diavolo = vrag), iako je igra bila veoma popularna u Italiji, već iz grčkog (grč. dia bolo = baciti preko). Početkom dvadesetoga stoljeća igračka je ponovno postala popularna zahvaljujući engleskom sportašu i znanstveniku Charlesu Burgessu Fryu i francusko-belgijskom inženjeru Gustaveu Philippartu, a igračka se može nabaviti i danas u Hrvatskoj. Diabolo je žonglirajući rekvizit oblika dvaju spojenih tijela nalik stošcima. On se vrti, baca u zrak i hvata s pomoću užeta koje je pričvršćeno na dva štapića pa se zato ova igra naziva i „vrag na dva štapića“.
Vještica Marije Agnesi (engl. Which of Agnesi, Versiera)
I ova krivulja svoje neobično ime duguje pogreškama u prijevodu. U drugoj polovici sedamnaestoga i početkom osamnaestoga stoljeća tu su krivulju proučavali Fermat, Newton i Grandi, koji joj je dao latinsko ime versoria, odnosno talijansko versiera, a tako ju je u svojoj knjizi Istituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana (Osnove analitike za talijansku mladež) iz 1748. nazivala i Maria Agnesi. S vremenom je la versiera postala l’avversiera, što u prijevodu znači ona-vrag ili vražica, a u daljnjim je prijevodima postala vještica.
Algebarska jednadžba ove krivulje glasi: $y(x^2+a^2)=a^3$. Versiera $y(x^2+4)=8$ prikazana je na Slici 6.
Svoju primjenu ova krivulja nalazi u fizici za opisivanje nekih rezonantnih fenomena i aproksimaciju distribucije spektralne energije kod raznih tipova zračenja, a u vjerojatnosti i statistici se za određenu vrijednost parametra a može dobiti Cauchyjeva funkcija gustoće vjerojatnosti.
Krivulje u obliku osobe (za još malo motivacije)
Učenicima bi sigurno bile zanimljive i krivulje u obliku neke osobe. Na https://www.wolframalpha.com može se pronaći više od 500 krivulja u kojima možemo prepoznati nekog znanstvenika, pjevača, političara, ali i životinja i drugih likova. Nakon slike uvijek je prikazana i parametarska jednadžba krivulje. Na slici je krivulja koja prikazuje Alberta Einsteina.
Krivulje u svijetu oko nas
Uvježbavajući zadatke s krivuljama drugog reda, nailazimo i na zadatke koji pokazuju gdje se te krivulje (kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) pojavljuju u svijetu oko nas. Spominju se putanje kojima planeti i kometi kruže oko Sunca, mostovi, presjeci tunela, ispaljeni hitci… U zagrebačkoj 1. gimnaziji učenici su dobili zadatak istražiti gdje sve susrećemo krivulje drugog reda – u arhitekturi, logotipima i drugdje te su napravili zanimljive plakate. Na Slici 8 i Slici 9 nalaze se plakati o elipsi i o paraboli.
Kako priča o krivuljama ne bi ostala na krivuljama drugog reda, vražjoj i vještičjoj krivulji, napravili smo u školi malu izložbu pedesetak najpoznatijih i najznačajnijih krivulja s opisom, jednadžbom i kratkim povijesnim pregledom. Posjetitelji izložbe imali su priliku dati svoj glas za krivulju koju smatraju najljepšom ili najzanimljivijom. Pobjednica tog malog natjecanja za Miss krivulja je epicikloida.
Literatura
- https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/
- https://elepa.files.wordpress.com/2013/11/fifty-famous-curves.pdf
- https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/geometry/curves-and-surfaces/popular-curves/
- https://www.wolframalpha.com/input/?i=person+curves&assumption=%22ClashPrefs%22+-%3E+%7B%22PopularCurveClass%22%2C+%22Person%22%7D
- M. Vučićević, I. Božić, B. Kovačić: O „vražjoj krivulji“, Osječki matematičko-fizički list 13 (139 – 154), Osijek, 2013.