Zagonetke sa šibicama, 1. dio
Nekoliko povijesnih epizoda i opća važnost

Uvod

Zagonetke sa šibicama (na engleskom matchstick puzzles) neobično su popularne na mnogim internetskim stranicama i kanalu YouTube, ali i u značajnom broju tiskanih ili elektroničkih knjiga. Mogu se rješavati upotrebom klasičnih drvenih šibica, čačkalica, štapića za uši ili čak papirnatih traka. Naravno, danas postoji i mogućnost upotrebe virtualnih šibica u interaktivnim inačicama tih zagonetki.

Za razliku od križaljki ili sudoku igara, zagonetke sa šibicama više se ne pojavljuju u rubrikama dnevnih novina ili tjednika niti postoje specijalizirani komercijalni časopisi za objavljivanje i kolektivno usavršavanje njihovih ciljeva, oblika i sadržaja. Međutim, dobra vijest je da su te zagonetke izborile svoje prisustvo u raznim područjima istraživanja, ali i u matematičkim udžbenicima, zbirkama zabavne matematike i knjigama koje su pisane za stručnjake naizgled nepovezanih profesija.

Stvarnim i potencijalnim korisnicima zagonetki u školskim ili vanškolskim formama obrazovanja može biti informativno upoznati nešto iz njihove zanimljive povijesti i iz niza mogućnosti koje pružaju za vježbanje i usavršavanje matematičke kreativnosti, logičke analize i prostorno-vizualne inteligencije.

Kako je u svim tim procesima mišljenja bitno nalaženje dvaju ili više rješenja jedne te iste zagonetke, upravo je to bio osnovni kriterij za izbor povijesnih primjera čiji kratki prikazi slijede, ali i za argument o njihovoj općoj važnosti.

Zagonetke sa šibicama u časopisima

Prva zagonetka koja je preteča današnjih geometrijskih zagonetki sa šibicama objavljena je 1850. godine u drugom godištu veoma uspješnog engleskog obiteljskog časopisa The Family Friend (slika 1).

Rubrika „Obiteljska razonoda“ (engl. „Family Passtime“), na 148. stranici sadržavala je sljedeću „praktičnu zagonetku“ (slika 2):

Prijevod zagonetke glasi:

Izreži sedamnaest papirnatih ili drvenih komadića jednake duljine i posloži ih na stol tako da oblikuju šest kvadrata kao na crtežu. Zatim treba ukloniti pet komadića tako da preostanu samo tri savršena kvadrata.

Prijevod njezinog rješenja objavljenog na 179. stranici glasi:  

Ukloni komadiće označene brojevima 8, 10, 1, 3 i 13 i ostat će samo tri kvadrata.

Zagonetka i rješenje tijekom narednih godina ponavljani su u istom obliku u nekoliko knjiga, s dva bitna nedostatka: bez crteža rješenja i bez spominjanja da postoji još jedno moguće i ravnopravno rješenje (skloniti komadiće označene brojevima 2, 14, 7, 9 i 17).   

Nakon više od 170 godina postojanja zagonetka je i dalje popularna.  Prvi nedostatak bio je ispravljen već davne 1864. godine. Wagner (1864., str. 301, sl. 476) uz crteže zagonetke objavljuje i crtež rješenja. Drugi je nedostatak nažalost i dalje prisutan: drugo rješenje ne spominje se ni u časopisima ni u knjigama. To je danas doista čudna činjenica. S jedne strane, kako će uskoro biti pokazano, autori prvih knjiga u kojima se pojavljuju zagonetke sa šibicama počeli su spominjati ili izravno prikazivati crteže svih mogućih rješenja.

S druge strane, autorska šutnja o mogućnosti raznih rješenja promiče i utvrđuje pogrešno uvjerenje da svaki matematički problem ima samo jedno jedino rješenje. Takvo vjerovanje sputava razvoj kreativnog mišljenja koje je jedna od najvažnijih sposobnosti za uspješan život u 21. stoljeću (Ambrose & Sternberg, 2016.). Intelektualna ljepota nekih poznatih zagonetki sa šibicama sastojala se upravo u činjenici da postoji nekoliko mogućih rješenja koja su kasnije otkrile posebno kreativne osobe, a koje autori originalnih zagonetki nisu uočili u trenutku kada su ih formulirali i objavili.

Sljedeća važna epizoda u povijesti zagonetki sa šibicama bilo je objavljivanje članaka u kojima se nije pojavljivala samo jedna zagonetka, nego je čitateljima časopisa predstavljeno nekoliko zagonetki. Internetska pretraga dostupne literature ukazuje da se to (vjerojatno) prvi put dogodilo 1865. godine u njemačkom časopisu Cornelia koji je bio zamišljen kao „časopis za kućno obrazovanje“. U svom članku školski nastavnik Werner (osobno ime mu se ne spominje) predstavio je nekoliko originalnih geometrijskih zagonetki (Werner, 1865.). Primjeri su jedna zagonetka uklanjanja šibica prikazana na slici 3 i jedna zagonetka premještanja šibica prikazana na slici 4.

Werner nije spomenuo mogućnosti ostalih rješenja. Obje su se zagonetke bez spominjanja dodatnih rješenja pojavile četvrt stoljeća kasnije i u prvoj američkoj časopisnoj kolekciji koju su činile samo tri zagonetke sa čačkalicama (engl. toothpick puzzles). Prvi su put objavljene u časopisu The New York Herald 25. siječnja 1891. Kolekciju su ponovili iste godine, skoro doslovno, časopisi The Boston Weekly Globe 10. veljače (sa spominjanjem originalne publikacije) i The Polk County Journal  3. rujna (bez spominjanja časopisa iz kojeg je „posuđena“).

Werner je, također, prvi povezao konfiguracije šibica s rimskim brojkama, „dokazujući“ da polovina broja dvanaest može biti jednaka sedam. Za osobe čije je mišljenje „uokvireno“ arapskim brojkama takva je tvrdnja apsurdna. Međutim, ako se od 8 šibica napravi rimski broj XII (slika 5 a)), onda je njegova „gornja polovina“ rimski broj VII napravljen od 4 šibice (slika 5 b)).

Zagonetke sa šibicama u knjigama

Prva knjiga u koju je bio uvršten značajan broj geometrijskih zagonetki sa šibicama objavljena je 1880. godine na njemačkom jeziku.  Imala je kratak naslov Matematička zabava (njem. Mathematische Kurzweil). Međutim, naslovnica sadrži i veoma dugačak opisni (i komercijalni) podnaslov: 300 zadatka, trikova, igrica za poticanje uma, iznenađenja, lukavih zaključaka, šala itd. iz teorije brojeva, oblikovanih za zabavu i pouku, za velike i male (Mittenzwey, 1880.). Autor je bio nastavnik matematike i istaknuti pedagog Louis Mittenzwey iz Leipziga.

Prije prikaza njegova doprinosa svijetu zagonetki sa šibicama, Mittenzwey zaslužuje da se spomene kao autor dviju popularnih zagonetki koje i danas zbunjuju učenike koji brzopleto upadaju u mentalnu zamku rutinskog mišljenja:

Na krovu se hrani 6 vrabaca. Koliko ih ostane gore ako jedan od njih (pogođen metkom iz puške) padne dolje?

Rutinski odgovor: 5 vrabaca jer vrijedi: $6 – 1 = 5$.

Nerutinski odgovor: Nijedan. Preživjelih će pet vrabaca odletjeti.

Kako 5 osoba može podijeliti 5 jaja tako da svaka osoba dobije po jedno jaje, a da ipak jedno jaje ostane u posudi?

Rutinski odgovor: Ako svaka od 5 osoba uzme jedno jaje iz posude, nije moguće da jedno jaje ostane u posudi. Vrijedi: $5 – 5 = 0$.

Nerutinski odgovor: Peta osoba uzima i posudu i jaje u njoj.

Mittenzwey je dao i dva veoma važna doprinosa zagonetkama sa šibicama. Prvo, on je za niz zagonetki u kojima se od čitatelja traži konstrukcija triju kvadrata od 12 šibica, 11 šibica i 10 šibica prvi riječima izložio numeričku logiku rješenja prije nego što je prezentirao crteže. Numeričke logike rješenja bile su sljedeće:

• Kako su za konstrukciju jednog kvadrata potrebne 4 šibice, u prvom slučaju kvadrati ne dijele niti jednu šibicu.
• U drugom slučaju kvadrati moraju dijeliti jednu šibicu.
• U trećem slučaju kvadrati moraju dijeliti dvije šibice.

Tek nakon te prethodne analize, koja predviđa njihove karakteristike, prezentirao je Mittenzwey crteže triju rješenja (slika 6).

Drugo, Mittenzwey je prvi autor koji je spomenuo mogućnost postojanja više rješenja jedne zagonetke. Iako je bilo i drugih prilika, to je napravio u samo jednoj zagonetki za koju ćemo prikazati početnu konfiguraciju i konfiguraciju ponuđenog rješenja na slici 7.

Zagonetka je glasila:

Od 18 šibica formiraj 9 jednakostraničnih trokuta. Ukloni 5 šibica tako da ostane samo 5 trokuta. Koje šibice treba ukloniti? 

Nakon ponuđenog rješenja Mittenzwey je tražio od čitatelja pronalaženje i ostalih mogućih rješenja.

Sophus Tromholt (slika 8), danski nastavnik prirodnih znanosti i jedan od prvih uspješnih istraživača polarne svjetlosti, autor je prve knjige koja je u cijelosti posvećena zagonetkama i igrama sa šibicama. Objavljena je 1889. godine na njemačkom jeziku pod naslovom Igre sa šibicama (njem. Streichholzspiele). Postigla je veliki uspjeh i do 1915. godine objavljeno je čak 17 izdanja (slika 9).

U nizu zagonetki Tromholt je već u formulaciji zagonetke spominjao broj mogućih različitih rješenja. Crteže spomenutih rješenja predstavljao je čitateljima u drugom dijelu knjige. Njegovu posvećenost traženju različitih rješenja najbolje je ilustrirati primjerom zagonetke već spomenute na slici 3 u kojoj se traži da se od devet kvadrata uklanjanjem osam šibica formiraju dva kvadrata (slika 3).

Za tu su zagonetku Werner i Mittenzwey navodili samo jedno rješenje (slika 10 a)). Međutim, Tromholt je osim tog rješenja pronašao i prezentirao  još dva rješenja (slike 10 b) i 10 c)).

Imamo li na umu upotrebu zagonetki sa šibicama s ciljem vježbanja i usavršavanja prostorno-vizualne inteligencije, važno je napomenuti da prvo dodatno rješenje (slika 10b)) ima četiri ravnopravne inačice u kojima manji kvadrat može biti u jednom od četiriju različitih položaja unutar većeg kvadrata (slika 11).

U strogom smislu, Tromholtovo drugo dodatno rješenje (slika 10 c)) nije prihvatljivo jer sadrži tri kvadrata, dok se u formulaciji zagonetke traži formiranje dvaju kvadrata.

Uzimajući u obzir Tromholtov interes za višestruka rješenja, veoma je čudno da ih nije našao u Wittenzweyovoj zagonetki o formiranju pet trokuta (slika 7) u kojoj se tražilo od čitatelja da ih pronađu. Tromholt je samo ponovio rješenje koje je objavio Wittenzwey (slika 12).

Osoba sa razvijenom prostorno-vizualnom inteligencijom bez teškoća bi našla drugo rješenje zrcalnom simetrijom prvog rješenja (slika 13).

Tromholtova knjiga neosporno je najznačajnija kolekcija zagonetki sa šibicama. Njezin prijevod na ruski jezik (Tromholt, 1912)  imao je značajan utjecaj na ruske autore. Među njima se posebno ističe poznati popularizator znanosti Jakov Isidorovič Perelman. On je objavio čak dvije knjige takvih zagonetka (Perelman, 1924.; Perelman, 1939.).

Zanimljivo je da je Perelman u formulaciji svoje 16. zagonetke „formirati pet trokuta uklanjanjem 5 šibica“ spomenuo postojanje dvaju rješenja (Perelmen, 1924., str. 13). Prikazao ih sljedećim crtežima (slika 14):

Dok je prvo rješenje ponavljanje rješenja koje su ranije objavili Mittenzwey i Tromholt (slike 7 i 12), drugo Perelmanovo rješenje je dvostruko pogrešno. Sklonjene su samo 4 šibice i nije formirano 5 nego 6 trokuta. Ova Perelmanova neoprezna pogreška može biti iskorištena kao osnova za nerutinski zadatak u kojem se od učenika traži aktiviranje kritičkog mišljenja.

Iako nikad nije prevedena na engleski jezik, mnoge zagonetke i igre iz Tromholtove kolekcije „posuđivali“ su i autori prvih knjiga koje su napisane za to govorno područje (Hoffman, 1893.; Blyth, 1921.; Abraham, 1932.; Bakst, 1954.).

Važnost zagonetki sa šibicama

Postojanje velikog broja knjiga i internetskih stranica koje sadržavaju zagonetke sa šibicama ukazuje na njihovu nesporno važnu ulogu u svijetu individualne i kolektivne razonode. Toj činjenici treba dodati i njihovo pojavljivanje u nizu knjiga čiji autori nastoje doprinijeti razvoju značajnih osobnih sposobnosti za uspješan rad u nizu profesija, od poslovnih menadžera (Plenert, 1995.; Bothe, 2002.) do arhitektonskih dizajnera (Laseau, 2000.; Roberts et al., 2017.).  

Zanimljivo je spomenuti kako se zagonetke sa šibicama preporučuju kao jedna od korisnih mentalnih aktivnosti koje smanjuju rizik oboljenja od Alzheimerove bolesti (Kosik, 2015.; Small & Vorgan, 2023.).

Za kritičku analizu današnje upotrebe zagonetki sa šibicama u učenju i nastavi matematike i iznošenje prijedloga mogućih smjerova poboljšanja (što će biti tema sljedećeg članka) neophodno je predstaviti glavne rezultate opsežnih istraživanja koje je, koristeći se upravo tim zagonetkama, proveo američki psiholog mađarskog podrijetla George Katona (slika 15).

Katona je eksperimentalno istraživao psihologiju učenja i nastave rješavanjem problema (zagonetki s premještanjem šibica). Naglasak je bio na odloženom transferu naučenog u kasnijem testiranju rezultata rješavanja istih i novih problema (Katona, 1940). Najvažniji rezultati su sljedeći:

1. Dokazano je da je potpuno pogrešan model poučavanja u kojem je ispitanicima koji nisu uspjeli riješiti zagonetku izložen samo niz premještanja koji vodi do rješenja, bez ikakvih komentara. U kasnijem se testiranju ti ispitanici nisu mogli sjetiti tako izloženog rješenja.
2. Mnogo bolje rezultate postizao je model poučavanja u kojem su ispitanici upoznali logiku rješenja. Ispitani su rezultati dvaju oblika predstavljanja logike rješenja. Numerički se oblik temeljio na brojenju šibica u početnoj i traženoj konfiguraciji i u suštini je bio oživljavanje postupka koji je prvi predložio Mittenzwey. Strukturalni oblik fokusirao se na utvrđivanje smisla tražene promjene u broju strukturalnih elemenata. Na primjer, ako se traži da se premještanjem triju šibica od pet postojećih kvadrata dobiju četiri, onda strukturalna analiza i razumijevanje vode do zaključka da premještanja moraju biti takva da se „razgrade“ dva postojeća kvadrata i da se oblikuje samo jedan novi kvadrat.  Rezultati koje je dobio Kantona davali su veću prednost izlaganju strukturalne forme logike rješenja.
3. Katona je u postavljenim zagonetkama prikazao sve moguće inačice rješenja. Na primjer, u poznatoj zagonetki potrebno je premjestiti tri šibice kako bismo od pet dobili četiri kvadrata (slika 16) te postoje četiri ravnopravna ispravna rješenja (slika 17).

Nažalost, u postojećim zbirkama zagonetki sa šibicama i njihovoj upotrebi u udžbenicima matematike još uvijek se spominje samo četvrto rješenje d).

4. Katona je istražio i sposobnost ispitanika da formuliraju svoje zagonetke sa šibicama. Iako je bilo onih koji su jednostavno ponovili „kao svoje“ već viđene zagonetke, Katona je napomenuo da je bilo i formulacija zagonetki koje su mu bile nepoznate. To je naravno bilo važno priznanje kreativnim potencijalima ispitanika koji često ostaju neiskazani u tradicionalnoj nastavi matematike.

Zaključak

U ovom su članku ukratko izloženi tek neki od povijesnih primjera u evoluciji pristupa prezentiranja rješenja geometrijskih zagonetki sa šibicama, s naglaskom na prisustvu ili odsustvu mogućih alternativnih rješenja. Predstavljen je i sažetak glavnih rezultata koji su dobiveni u važnim eksperimentalnim istraživanjima psihologije učenja i nastave rješavanja tih geometrijskih zagonetki koje je proveo George Katona.

Ovdje nisu navedeni važni rezultati psiholoških istraživanja povezanih s rješavanjem popularnog tipa aritmetičkih zagonetki: od šibica se formira pogrešan izraz s rimskim brojkama i traži se da se premještanjem dviju šibica dobije istinita jednakost (Öllinger et al., 2006.). Pokazano je da kognitivne teškoće u rješavanju tih zagonetki nastaju zbog neopravdano restriktivnih „pravila premještanja“ koje rješavači samostalno uspostavljaju.

Važno je napomenuti kako i autori internetskih aritmetičkih zagonetki sa šibicama u kojima se rabe arapske brojke ne navode moguća dodatna rješenja.

U sljedećem članku bit će detaljnije razmotreni odgovori na dva važna pitanja:

1. Koje su razne inačice upotrebe geometrijskih i aritmetičkih zagonetki sa šibicama u udžbenicima matematike?
2. Koji su mogući didaktički postupci koji bi učinkovitije motivirali na vježbu i poboljšanje kreativnog mišljenja, logičke analize i prostorno-vizualne inteligencije učenika?

LITERATURA

1. R. M. Abraham (1932.): Winter nights entertainments, Constable and Company.
2. D. Ambrose i R. J. Sternberg (2016.): Creative intelligence in the 21st century: Grappling with enormous problems and huge oportunities, Springer.
3. A. Bakst (1954.): Mathematical puzzles and pastimes, Van Nostrand.
4. W. Blyth (1921.): Match-stick magic. Puzzles, games & conjuring tricks, C. Arthur Pearson.               
5. D. R. Bothe (2002.): Reducing process variation, Landmark Publishing Company.
6. L. Hoffmann (1893.): Puzzles old and new, Frederick Warne and Company.
7. P. Laseau, (2000.): Graphic thinking for architects and designers. John Wiley & Sons.
8. G. Katona (1940.): Organizing and memorizing. Studies in the psychology of learning and teaching, Columbia University Press.
9. K. S. Kosik (2015.): Outsmarting Alzheimer’s: what you can do to reduce your risk, The Reader’s Digest Association.
10. L. Mittenzwey (1880.): Mathematische Kurzweil. 300 Aufgaben, Kunststücke, geistanregende Spiele, Ueberraschungen, verfängliche Schlüsse, Scherze u. dgl. aus der Zahlen – und Formenlehre: für Jung und Alt zur Unterhaltung und Belehrung, Julius Klinkhardt.
11. M. Öllinger, G. Jones i G. Knoblich (2006): Heuristics and representational change in two-move matchstick tasks, Advances in Cognitive Psychology, 2(4), 239–253.
12. J. I. Perelman (1924.): Zabava sa šibicama, Priboj (na ruskom jeziku).
13. J. I. Perelman (1939.): Geometrijske zagonetke sa šibicama, Kuća zanimljive znanosti (na ruskom jeziku).
14. G. J. Plenert (1995.): World class manager. Olympic quality performance in the new global economy, Prima Publishing.
15. J. C. Roberts, C. Headleand i P. D. Ritos (2017.): Five design-sheets: Creative design and sketching for computing and visualization, Springer.
16. G. Small i G. Vorgan (2023.): Brain games to exercise your mind: Protect your brain from memory loss and other age-related disorders: 90 puzzles, logic riddles & brain teasers to exercise your mind, Humanix Books.
17. S. Tromholt (1906.): Streichholzspiele. Denksport und Kurzweil, Elfte Auflage, Verlag von Otto Spamer.
18. S. Tromholt (1912.): Igre sa šibicama. Zadaci i zabava, Mathesis (na ruskom jeziku).
19. H. Wagner (1864.): Illustrirtes Spielbuch für Knaben: 1001 unterhaltende und anregende Belustigungen, Spiele und Beschäftigungen für Körper und Geist, im Freien und im Zimmer, Otto Spamer.
20. Werner (1865.): Die Winterabende unserer Kinder II. Selbstbeschäftigung. Cornelia. Zeitschrift für häusliche  Erziehung, 3(1), 17–23.

---