Zagonetke sa šibicama, 2. dio
Upotreba u suvremenom matematičkom obrazovanju i moguća poboljšanja

Uvod

Matematičko obrazovanje obuhvaća sve oblike prisutnosti matematičkih sadržaja u materijalima i procesima formalnog i neformalnog školovanja: nastavni programi, udžbenici, priručnici za nastavnike, časopisi za učenike i nastavnike, nacionalni i internacionalni projekti ocjenjivanja i učenička natjecanja.

Ciljevi ovog članka su:

• kritički prikazati razne načine aktualne upotrebe zagonetki sa šibicama u matematičkom obrazovanju te
• predložiti češću upotrebu nedovoljno prisutnih zagonetki i uvesti moguće bolje načine upotrebe.

U terminološkom i manipulativnom smislu naziv „zagonetke sa šibicama“ nije općeprihvaćen. U engleskom govornom području javljaju se i nazivi „trikovi sa šibicama“ (engl. matchstick tricks) te „zagonetke s čačkalicama“ (engl. toothpick puzzles) i „trikovi s čačkalicama“ (engl. toothpick tricks). U hrvatskom jeziku naziv „zagonetka“ ima suparnice u nazivima „mozgalica“, „pitalica“, „enigma“ i „problem“.

Preteča današnjih zagonetki sa šibicama ili čačkalicama objavljena je 1850. godine u obiteljskom časopisu The Family Friend (Sliško, 2024). Samo deset godina kasnije već je postala dio matematičkog obrazovanja! Naime, Edward Brooks (slika 1), istaknuti pedagog i profesor matematike u školi Pennsylvania State Normal School, uključio je tu zagonetku u svoj udžbenik Metode poučavanja mentalne aritmetike (Brooks, 1860). Zagonetka je bila dio završne kolekcije od 43 problema koja je, kao i udžbenik, imala neobično ime Društvena aritmetika (engl. Social arithmetic).

Kolekciju su činili problemi prilagođeni raznim „društvenim krugovima“ (engl. social circles) ili „druženjima uz vatru u zimskim noćima“. Brooks je istaknuo kako su mnogi od tih problema u obliku zagonetki od kojih su neke posebno zabavne.

Slika 2 prikazuje 30. problem u Brooksovoj završnoj kolekciji Društvena aritmetika (Brooks, 1860, str. 74):

Prijevod zagonetke glasi:

Postavi 17 malih štapića – primjerice šibica – da dobiješ 6 jednakih kvadrata, kao na margini. Zatim ukloni 5 štapića tako da ostanu 3 savršena kvadrata iste veličine.

Iako su neki problemi i zagonetke imali pojašnjavajući komentar ili uputu za rješavanje, zagonetka sa 17 šibica nije imala te dodatke. Smatrana je, vjerojatno, dovoljno jasnom i jednostavnom. Brooks je propustio spomenuti važnu činjenicu – zagonetka ima dva ravnopravna rješenja (slika 3).   

I dandanas uobičajeno je da se u udžbenicima objavljuje samo jedno od dvaju ravnopravnih rješenja ove zagonetke.

Glavne vrste zagonetki sa šibicama

Prije kritičkog prikaza načina upotrebe zagonetki sa šibicama u matematičkom obrazovanju, važno je predstaviti njihove glavne vrste. To su „geometrijske zagonetke sa šibicama“ i „aritmetičke zagonetke sa šibicama“. Poznavanje tih vrsta zagonetki može učenicima biti korisno kada se od njih traži da smisle vlastite zagonetke.

Geometrijske zagonetke sa šibicama

Iako se upotrebljavaju i drugi likovi, u geometrijskim zagonetkama najčešće se javljaju kvadrati i trokuti.

S obzirom na traženu manipulaciju šibicama u zadatku, geometrijske zagonetke najčešće traže „uklanjanje šibica“, „premještanje šibica“ ili „dodavanje šibica“.

Prema toj podjeli prva zagonetka sa slike 2 ubraja se u „geometrijske zagonetke s kvadratima i uklanjanjem šibica“.

Početna konfiguracija i jedno od rješenja „geometrijske zagonetke s kvadratima i premještanjem šibica“ prikazani su na slici 4. Premještanjem četiriju šibica treba složiti tri kvadrata.

Na slici 5 prikazani su početna konfiguracija i jedno rješenje „geometrijske zagonetke s kvadratima i dodavanjem šibica“. Zagonetka glasi: Dodaj 3 šibice da dobiješ 5 kvadrata.

Na slici 6 prikazani su početna konfiguracija i dva rješenja jedne povijesne „geometrijske zagonetke s trokutima i uklanjanjem šibica“ (Sliško, 2024). Zagonetka glasi: Ukloni 5 šibica da dobiješ 5 trokuta.

Na slici 7 prikazani su početna konfiguracija i rješenje jedne „geometrijske zagonetke s trokutima i premještanjem šibica“.  Zagonetka glasi:  Premjesti 3 šibice da dobiješ tri jednakostranična trokuta.

Slika 8 prikazuje početnu konfiguraciju i jedno rješenje „geometrijske zagonetke s trokutom i dodavanjem šibica“. Zagonetka glasi: Dodajući tri šibice, podijeli unutrašnjost trokuta na tri dijela istog oblika i jednake površine.

Aritmetičke zagonetke sa šibicama

„Aritmetičke zagonetke sa šibicama“ upotrebljavaju pogrešne aritmetičke izraze koji su u većini slučajeva napisani s pomoću rimskih brojki. Naime, iako su iznimno popularne na internetskim stranicama, aritmetičke se zagonetke s arapskim brojkama samo povremeno pojavljuju u materijalima matematičkog obrazovanja.

Slika 9 prikazuje početni raspored šibica i jedno od rješenja „aritmetičke zagonetke s rimskim brojkama i uklanjanjem jedne šibice“.  Zagonetka glasi: Ukloni jednu šibicu da dobiješ točnu jednakost.

Na slici 10 prikazani su početni raspored šibica i jedno rješenje „aritmetičke zagonetke s rimskim brojkama i premještanjem šibice“. Zagonetka glasi: Premjesti jednu šibicu da dobiješ točnu jednakost.

Slika 11 prikazuje početni raspored šibica i jedno rješenje „aritmetičke zagonetke s rimskim brojkama i dodavanjem šibice“. Zagonetka glasi: Dodaj jednu šibicu da dobiješ točnu jednakost.

Upotreba zagonetki sa šibicama i čačkalicama u matematičkom obrazovanju

Iako se u knjigama za široku publiku uobičajeno upotrebljava izraz „zagonetke sa šibicama“ (engl. matchstick puzzles), u matematičkom obrazovanju na engleskom jeziku značajno je popularniji naziv „zagonetke sa čačkalicama“ (engl. toothpick puzzles). Vjerojatan razlog za takav terminološki odabir potencijalna je opasnost od požara u školskim prostorima.  U navođenju primjera korištenja zagonetki poštovat će se terminološki odabir autora.

Matematički udžbenici i zbirke zadataka

U matematičkim udžbenicima i zbirkama zadataka za učenike pronalaze se uglavnom ili jedna (slika 12) ili dvije geometrijske zagonetke (slika 13). 

Dvanaest šibica postavljeno je u obliku dolje prikazane rešetke. Ukloni dvije šibice tako da ostanu dva kvadrata. Kako to možeš napraviti? Nacrtaj novi raspored šibica. (Diniz, 2018., str. 194).

Postavi dvanaest čačkalica kako je prikazano dolje. Premjesti tri čačkalice tako da dobiješ četiri kvadrata. (Altieri et al., 2007., str. 563)

Uzmi devet čačkalica i postavi ih kako je dolje prikazano. Premjesti tri čačkalice da dobiješ pet trokuta. (Prentice Hall, 1997., str. 115).

1. Ukloni dvije čačkalice tako da ostanu samo dva kvadrata. 2. Premjesti tri čačkalice da dobiješ pet kvadrata. (Payne et al., 1985., str.169).

1. Premjesti tri čačkalice da dobiješ tri kvadrata. 2. Premjesti dvije čačkalice da dobiješ dva kvadrata. (Bornhold et al., 1982., str. 177).

Veoma rijetko matematički udžbenici ili zbirke zadataka nude učenicima riješiti pet (slika 14) ili čak 10 zagonetki (slika 15).

1.  Ukloni jednu čačkalicu tako da ostanu tri kvadrata.	2. Premjesti dvije čačkalice na nove položaje da dobiješ tri kvadrata.
3. Ukloni tri čačkalice da ti ostanu tri kvadrata.	4. Premjesti tri čačkalice da dobiješ pet trokuta.
5. Premjesti jednu čačkalicu da dobiješ točnu jednadžbu. (Langbort & Thompson, 1985., str. 268)

1.   Ovaj lik može se napraviti od 12 šibica. (a) Premjesti 3 šibice da dobiješ 3 kvadrata iste veličine. (b) Premjesti 4 šibice da dobiješ 3 kvadrata iste veličine.	2. Ovaj lik može se napraviti od 20 šibica. (a) Ukloni 2 šibice i ostavi 5 kvadrata iste veličine. (b) Ukloni 4 šibice i ostavi 5 kvadrata iste veličine. (c) Ukloni 4 šibice i ostavi 4 kvadrata. (d) Premjesti 3 šibice na nove položaje da dobiješ 5 kvadrata iste veličine.	3. Ovaj lik može se napraviti od 16 šibica. (a) Ukloni 6 šibica i ostavi 2 trokuta. (b) Ukloni 4 šibice i ostavi 6 trokuta.
4. Od 9 šibica napravi 5 trokuta.	5. Od 12 šibica napravi 6 trokuta.	6. Izmisli svoju vlastitu zagonetku. (Joshua, 1991., str. 6).

Ova zbirka zadataka značajna je i po tome što pokušava izravno potaknuti kreativnost učenika tražeći od njih da izmisle svoje vlastite zagonetke. O didaktičkim nedostatcima ovog i sličnih pokušaja bit će više govora u završnom dijelu članka.

Knjige, priručnici i časopisi za nastavnike matematike

Raznolikost upotrebe zagonetki sa šibicama ili čačkalicama uočena u matematičkim udžbenicima (i po broju i po načinu primjene) prisutna je i u literaturi za nastavnike matematike. Slijedi jedan ilustrativan primjer uspoređivanja koji pokazuje značajnu razliku u pristupu jedne knjige koja pomaže nastavnicima „učiti matematiku“ i pristupu jednog priručnika koji im pomaže „učiti poučavanje matematike“.

U prvom pristupu Musser, Burger i Peterson (2008) u poznatom udžbeniku Mathematics for elementary teachers: a contemporary approach prezentiraju samo dva geometrijska problema s čačkalicama.

Prvi je problem:

Jedan kvadrat možeš napraviti od četiriju čačkalica. Pokaži kako možeš napraviti dva kvadrata od sedam čačkalica (lomljenje čačkalica nije dopušteno), tri kvadrata od deset čačkalica i pet kvadrata od dvanaest čačkalica.

(Musser et al., 2008., str. 19)

Drugi je problem:

Ako se od 14 čačkalica napravi jedan trokut tako da niti jedna čačkalica nije slomljena i svih je 14 čačkalica upotrijebljeno, koliko se različitih trokuta može napraviti?

(Musser el al., 2008., str. 42)

Niti za jedan od ovih dvaju problema nije ponuđeno rješenje. Drugi problem ne bi trebao biti težak za nastavnike osnovne škole. Od 14 čačkalica moguće je napraviti 5 različitih trokuta sa stranicama čiji je zbroj duljina 14 i čije duljine zadovoljavaju „nejednakost trokuta“ (zbroj duljina dviju stranica veći je od duljine treće stranice). To su trokuti sa stranicama: $(2, 6, 6)$,  $(3, 6, 5)$, $(4, 5, 5)$, $(5, 3, 6)$ i $(6, 4,4)$. U slučaju „degeneriranih trokuta“ sa stranicama $(7, 1, 6)$, $(7, 2, 5)$ i $(7, 3, 4)$, zbroj duljina stranica je 14, ali duljine stranica narušavaju „nejednakost trokuta“ $(1 + 6 = 7$; $2 + 5 = 7$ i  $3 + 4 = 7)$.

Nekim nastavnicima rješavanje prvog problema može biti otežano zbog zamke „jednodimenzionalnog razmišljanja”. Zbog toga je korisno razmotriti, uz pomoć šibica, kako se dolazi do njegovog mogućeg rješenja. Iz formulacije prvog problema sugerira se zaključak da je za oblikovanje svakog novog kvadrata u nizu nužno dodati tri šibice (slika 16).

Ako se donese takav „očigledan“ zaključak, onda izgleda nemoguće dodavanjem samo dviju šibica dobiti čak dva nova kvadrata i umjesto tri kvadrata imati pet kvadrata.

Međutim, ako se slaganje kvadrata razmotri ne u jednoj nego u dvije dimenzije, onda konfiguracija triju kvadrata od deset šibica izgleda bitno drukčije (slika 17a). Tada je moguće dodavanjem dviju šibica dobiti pet kvadrata: četiri kvadrata koji imaju stranice od jedne šibice i jedan kvadrat čije stranice čine dvije šibice  (17b).

Ako ne postoji ograničenje „svi kvadrati moraju biti jednaki“, onda je moguće naći i dodatno rješenje problema slaganja pet kvadrata od 12 šibica (slika 18a) i rješenje još izazovnijeg problema: Od 11 šibica napravi 5 kvadrata (slika 18b)!

Drugi, potpuno drukčiji pristup imaju Overholt i Kincheloe (2010) u priručniku Math wise! Over 100 hands-on activities that promote real math understanding. U dva poglavlja nastavnicima matematike omogućavaju „učiti poučavanje matematike“, koristeći se zagonetkama s čačkalicama. U tu svrhu prezentiraju 9 učeničkih aktivnosti sa zagonetkama koje se odnose na trokute i 27 aktivnosti koje uključuju kvadrate i pravokutnike. Sve te aktivnosti, osim očekivanih učeničkih rješenja, imaju opširne didaktičke komentare i sugestije.

Nastavnicima matematike može biti koristan pristup zagonetkama sa šibicama koje je objavio Neville de Mestre (2019) u članku Matchstik problems (de Mestre, 2019). Sadržaj tog kratkog članka čini kolekcija od četiriju grupa riješenih problema sa šibicama, s naglaskom na važnosti kritičkog razmatranja mogućih rješenja.

Zagonetke sa šibicama u ocjenjivanju učeničkih matematičkih znanja

Zagonetke sa šibicama upotrijebljene su dva puta u poznatom istraživanju Trendovi u međunarodnoj studiji matematike i znanosti. Po engleskom nazivu, akronim tog istraživanja je TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study).

U TIMSS istraživanju, koje je provedeno 2003. godine, učenici osmog razreda rješavali su i ovaj zadatak:

Šibice su postavljene kako je prikazano na slikama 1, 2 i 3.

Ako se taj niz nastavi, koliko će šibica biti upotrijebljeno da se napravi slika 10?

Ponuđeni odgovori bili su:

(A) 30     (B) 33     (C) 36    (D) 39    (E) 42.

Točan odgovor je (B).

Najveći postotak točnih odgovora imali su učenici iz Republike Koreje (78 %) i Singapura (73 %). Međunarodni prosjek bio je 48 %. Učenici iz Slovenije postigli su 56 % točnih odgovora.

U TIMSS istraživanju provedenom 2011. godine,  u kojem je sudjelovala i Hrvatska, učenici četvrtog razreda imali su sljedeći zadatak:

Cooney treba od šibica složiti četiri lika. Likovi 1, 2 i 3 prikazani su dolje. Trebaju mu 4 šibice za lik 1, 7 šibica za lik 2 i 10 šibica za lik 3.

Pri oblikovanju novog lika on se koristi istim pravilom.
Koliko će mu šibica trebati za oblikovanje lika 4?
Točan odgovor je: 13 šibica.

Postotak točnih odgovora hrvatskih učenika (56 %) bio je malo bolji od međunarodnog prosjeka (54 %). Međutim, bio je za 10 % slabiji od rezultata učenika iz Slovenije i Srbije. Najbolje rezultate postigli su učenici iz Republike Koreje (93 %) i Japana (84 %).

U školskom/gradskom natjecanju iz matematike, koje su 2011. godine organizirali Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske, Agencija za odgoj i obrazovanje i Hrvatsko matematičko društvo, upotrijebljene su i dvije zagonetke sa šibicama.

Učenici 4. razreda rješavali su geometrijsku zagonetku s kvadratima i uklanjanjem šibica:

Lik na slici napravljen je od 12 šibica.

Ukloni dvije šibice tako da ostanu:  a) 3 kvadrata,   b) 2 kvadrata.

Aritmetička zagonetka s rimskim brojkama i premještanjem šibica bila je namijenjena učenicima 7. razreda. Glasila je:

Premjesti samo jednu šibicu da dobiješ točnu jednakost te odredi sva rješenja.

Aritmetičke zagonetke s rimskim brojkama, koje se pojavljuju na matematičkim olimpijadama u Indiji, „otvorenije“ su jer učenici trebaju sami odrediti što se radi sa šibicama. Međutim, ponuđeni odgovori omogućuju relativno laku eliminaciju nekih postupaka. Evo jednog ilustrativnog primjera (BP India, 2018., str. 16):

U sljedećoj aktivnosti dodaj, ukloni ili premjesti jednu šibicu tako da jednadžba postane točna.

a) XV postaje XVI. b) Plus postaje minus. c) VIII postaje VII.
d) I a) i c) su mogući odgovori.

Točan odgovor je d). Taj odgovor može biti neprihvatljiv učenicima koji pogrešno vjeruju da svaki matematički zadatak ima samo jedno rješenje.

Kako poboljšati upotrebu zagonetki sa šibicama u matematičkom obrazovanju?

Pored izostavljanja razvoja kritičkog mišljenja u strateškoj analizi mogućeg rješenja zagonetki sa šibicama (Sliško, 2024.) te malog broja zagonetki i njihove nedovoljne raznolikosti u udžbenicima, dva velika nedostatka njihove upotrebe u matematičkom obrazovanju su:

1. U slučaju zagonetki sa šibicama koje imaju više ravnopravnih rješenja navodi se samo jedno rješenje.
2. Od učenika se rijetko traži sastavljanje vlastitih zagonetki sa šibicama, a za te zahtjevne kreativne zadatke nema ni prethodne pripreme ni uputa.

U nastavku se izlažu neke didaktičke mogućnosti eliminiranja navedenih nedostataka.

Nalaženje svih rješenja zagonetki sa šibicama

Najjednostavnija je mogućnost već u tekstu zagonetke izravno ukazati na broj različitih rješenja koja učenici trebaju pronaći. Ova je promjena bitna kako bi se smanjio negativni utjecaj pogrešnog učeničkog vjerovanja da svaki matematički zadatak ima samo jedno rješenje. To vjerovanje, uzrokovano rješavanjem rutinskih algoritamskih problema sa samo jednim točnim rješenjem, najznačajnija je izravna zapreka razvoju učeničkog kreativnog mišljenja u učenju matematike (Nickerson, 2010).

Druga mogućnost je navesti jedno rješenje koje učenici najčešće pronalaze i tražiti nalaženje ostalih ravnopravnih rješenja. Ta rješenja učenici i ne pokušavaju naći jer smatraju da je samo jedno rješenje dovoljno (slika 19).

Pretvori dva trokuta u tri. Premještanjem dviju šibica pretvori dva dolje prikazana trokuta u tri trokuta. Jedno od triju mogućih rješenja je: Koja su preostala dva rješenja?

Ako je neki renomirani autor zagonetke uočio samo jedno od više ravnopravnih rješenja, ovaj pristup mogao bi dodatno motivirati učenike i eliminirati njihovo pogrešno vjerovanje da samo posebno nadarene odrasle osobe imaju sposobnost kreativnog mišljenja (Nickerson, 2010). Slika 20 predstavlja jedan konkretan primjer upravo takvog pristupa.

Nadmaši kreativnost autora   Sophus Tromholt, poznati istraživač polarne svjetlosti i autor prve knjige koja je u cijelosti posvećena zagonetkama i igrama sa šibicama, osmislio je sljedeću zagonetku: 15 šibica čine dolje prikazan lik. Premještanjem dviju šibica treba dobiti pet kvadrata. Tromholt je našao samo jedno rješenje te zagonetke. Koja su preostala tri moguća rješenja zagonetke koja Tromholt nije našao?

Da bi se olakšalo nalaženje svih mogućih rješenja geometrijskih zagonetki, učenicima treba u više navrata pokazati kako se „umnom rotacijom“ jednog rješenja zagonetke mogu dobiti njezina ostala rješenja. Na primjer, u zagonetki „Pretvori dva trokuta u tri“ (slika 19), dva tražena rješenja pronalaze se dvostrukom rotacijom danog rješenja (slika 21).

Samostalno vježbanje i usavršavanje ovog postupka u slučaju različitih zagonetki sa šibicama mogu doprinijeti razvoju prostorno-vizualne inteligencije učenika.

Zbog toga iznenađuje da se taj postupak ne spominje u knjizi Vizualno-prostorno mišljenje za napredne učenike (Hollet & Cassalia, 2022). Ta je knjiga napisana s namjerom da učenike poučava vizualno-prostornom mišljenju primjenom „umnog manipuliranja objektima u prostoru“. Posebno se ističe važnost učeničke spoznaje kako „neki problemi imaju mnogo mogućih rješenja“. Taj didaktički cilj nije ispunjen ako se u geometrijskim zagonetkama s čačkalicama navodi samo jedno rješenje (slika 22).

Jedno od dvaju mogućih rješenja zagonetke s čačkalicama „Od čačkalica složi dolje prikazan lik. Premjesti dva štapića tako da dobiješ četiri jednakostranična trokuta. Kao rješenje ove zagonetke navedeno je samo prvo rješenje a), a izostavljeno je drugo rješenje b) koje se dobiva „umnom rotacijom“ prvog rješenja ili njegovom „zrcalnom slikom“.

Smisli vlastitu zagonetku sa šibicama ili čačkalicama

Iako bi izravno mogle poticati razvoj kreativnog mišljenja, u matematičkom su obrazovanju veoma rijetke zadaće samostalnog promišljanja i oblikovanja zagonetki sa šibicama ili čačkalicama. Pored toga, u gotovo je svim slučajevima didaktička uputa takvih zadaća suviše „otvorena“:

Izmisli svoju vlastitu zagonetku.

(Joshua, 1991., str. 6)

Napravi svoju vlastitu zagonetku sa čačkalicama.

(Glencoe/McGraw-Hill, 2001., str. 154)

Čak i ako autori nastoje „pomoći“ učenicima u smišljanju zagonetke, ta „pomoć“ ostaje na razini slabo korisne opće upute:

Napravi svoj lik od čačkalica. 2. Ukloni, dodaj ili premjesti čačkalice da dobiješ drugi lik. 3. Ako nisi zadovoljan mogućim zagonetkama koje nastaju iz prvog lika, vrati se na korak 1 i pokušaj ponovno.

Autori zagonetki isprobaju mnoge oblike kako bi osmislili zanimljive zagonetke. Kada pronađeš početni lik koji se može zanimljivo izmijeniti, nacrtaj ga i napiši upute za zagonetku. Na odvojenom papiru nacrtaj rješenje. Sada možeš podijeliti svoju zagonetku sa svima!

(Rapoport & Yader, 2017., str. 96)

„Didaktički korak“ u pravom smjeru čine oni autori koji učenicima daju jednu (Banwell et al., 1975., str. 109) ili dvije početne konfiguracije šibica (Kirkby, 1994., str. 17) za koje trebaju smisliti vlastite zagonetke. U početnim zadatcima smišljanja geometrijskih zagonetki produktivniji bi mogao biti didaktički pristup u kojem su zadane i početna konfiguracija šibica i moguće manipulacije šibicama (slika 23).

Smišljanje zagonetki kad su zadane početna konfiguracija i manipulacije šibicama Polazeći od dvaju kvadrata složenih od šibica, koji su prikazani dolje, smisli vlastite zagonetke u kojima se: a) uklanjaju dvije šibice b) dodaju dvije šibice c) premještaju dvije šibice. Primjeri očekivanih učeničkih tekstova zagonetki su: a) Uklanjanjem dviju šibica trebaš dobiti jedan kvadrat. b1) Dodavanjem dviju šibica trebaš dobiti dva kvarata i jedan trokut. b2) Dodavanjem dviju šibica trebaš dobiti pet kvadrata. b3) Dodavanjem dviju šibica trebaš dobitij dva kvadrata i tri pravokutnika. c1) Premještanjem dviju šibica trebaš dobiti jedan kvadrat i jedan trokut. c2) Premještanjem dviju šibica trebaš dobiti tri kvadrata.

Zaključak

Pored neosporno zabavnog i manipulativnog aspekta, geometrijske i aritmetičke zagonetke sa šibicama imaju veliki potencijal za razvijanje kreativnog mišljenja i prostorno-vizualne inteligencije koji spadaju u najvažnije učeničke sposobnosti.

Kako bi se taj potencijal bolje iskoristio u matematičkom obrazovanju, nužne su dvije povezane promjene:

1. uključiti u matematičke udžbenike što veći broj različitih zagonetki sa šibicama i
2. poboljšati didaktički dizajn njihovog predstavljanja učenicima.

Poboljšanje didaktičkog dizajna, osim upotrebe odgovarajućeg niza zagonetki sa šibicama (od jednostavnih do zahtjevnih!), treba uključivati i stalno poticanje učenika na samoregulirano i suradničko učenje.

U izvannastavnom dvosatnom istraživanju provedenom s 24 izraelska učenika šestog razreda, Katz i Stupel (2015) pokazali su efikasnost takvog pristupa u razvijanju učeničkog kreativnog mišljenja. Početne zagonetke sa šibicama bile su jednostavne:

Od 12 šibica složi kvadrat i pravokutnike cjelobrojnih površina (9, 8 i 5 „šibičnih kvadrata“).

Kreativni potencijal učenika došao je do impresivnog izražaja u postupku nalaženja rješenja veoma zahtjevne zagonetke:

Od 12 šibica složi lik čija je površina samo dva „šibična kvadrata“.

Rješenje su učenici našli u dva koraka. Prvo su od 6 šibica složili pravokutnik površine dvaju „šibičnih kvadrata“ (slika 24a), a onda su premještanjem dviju horizontalnih šibica i dodavanjem 6 šibica složili traženi lik iste površine (slika 24b)!

Slika 24.a) Pravokutnik površine dvaju „šibičnih kvadrata“

$\qquad$

Slika 24.b) Traženi lik površine dvaju „šibičnih kvadrata“

LITERATURA

1. M. B. Altieri, D. S. Balka, R. Day, P. D. Gonsalves, E. C. Grace, S. Krulik, C. E. Malloy, R. J. Molix-Bailey, L. G. Moseley, B. Mowry, C. L. Myren, J. Price, M. E. Reynosa, R. M. Santa Cruz, R. Silbey, K. Vielhaber, D. J. Long i D. Zike (2007.): Math connects. Grade 5, Macmillan/Mc-Graw Hill.
2. C. S. Banwell, J. E. Hiscocks, D. Paling, K. D. Saunders, M. E. Wardle i C. J. Weeks (1975.): Oxford comprehensive mathematics. Book 1 A secondary course for mixed abilities, Oxford University Press.
3. D. Bornhold, R. Gutcher, S. Tossel i C. Traynor (1982.): Starting Points in Mathematics, Level 3, Ginn and Company.
4. BP India (2018.): Maths olympiad, BP India.
5. E. Brooks (1860.): Methods of teaching mental arithmetic, and Key to the normal mental arithmetic, containing also many suggestions and methods for arithmetical contractions, and a collection of problems of an interesting and amusing character, for class exercise, Sower, Barnes & Company.
6. N. de Mestre (2019.): Matchstick problems, Australian Journal of Mathematics Education, 1 (3), 16-17.
7. J. Diniz (2018.): Eureka Math, Grade 5, Modules 5 & 6, Great Minds.
8. Glencoe/McGraw-Hill (2001.), Glencoe geometry: integration, applications, connections, Glencoe/McGraw-Hill.
9. E. Hollet i A. Cassalia (2022.): Visual-spatial thinking for advanced learners. Grades 3-5, Taylor & Francis.
10. A. Joshua (1991.): Maths Challenge. Graded problems for 10-13 year-olds, Simon & Schuster Education.
11. S. Katz i M. Stupel (2015.): Promoting Creativity and Self-efficacy of Elementary Students through a Collaborative Research Task in Mathematics: A Case Study, Journal of Curriculum and Teaching, 4(1), 68 – 82.
12. D. Kirkby (1994.): Squares and triangles, Folens.
13. C. Langbort i V. H. Thompson (1985.): Building success in math, Wadsworth Publishing Company.
14. G. L. Musser, W. F. Burger i B. E. Peterson (2008): Mathematics for elementary teachers: a contemporary approach, Eight edition, John Wiley & Sons.
15. R. S. Nickerson (2010.): How to discourage creative thinking in the classroom, En R. A. Beghetto i J. C. Kaufman (editors), Nurturing creativity in the classroom (1–5), Cambridge University Press. 
16. J. Overholt i L. Kincheloe (2010.): Math wise! Over 100 hands-on activities that promote real math understanding. Grades K-8, Second edition, Jossey-Bass.
17. J. N. Payne, L. M. Beardsley, G. F. Edmonds, B. H. Bunch, R. C. Payne, B. B. Carter, E. C. Rathmell, T. G. Coburn i P. R. Trafton (1985.): Harper & Row Mathematics, drugo izdanje, Harper & Row Publishers.
18. Prentice Hall (1997.): Middle grades math. Course 2. Practice workbook. Tools for success, Prentice Hall.
19. R. Rapoport i J. A. Yoder (2017.): Math lab for kids. Fun, hands-on activities for learning shapes, puzzles, and games, Quary.
20. J. Sliško (2024.): Zagonetke sa šibicama, 1. dio. Nekoliko povijesnih epizoda i opća važnost, Matematika i škola, 123.

---