Zanimljiva matematika

Zagonetke sa šibicama, 2. dio
Upotreba u suvremenom matematičkom obrazovanju i moguća poboljšanja

Josip Sliško (Puebla, México)  
Godište XXV / Broj 124. / 2024.

Uvod

  • kritički prikazati razne načine aktualne upotrebe zagonetki sa šibicama u matematičkom obrazovanju te
  • predložiti češću upotrebu nedovoljno prisutnih zagonetki i uvesti moguće bolje načine upotrebe.
Slika 1. Edward Brooks (1831 – 1912)
Slika 2. Tekst zadatka i početna konfiguracija šibica u prvoj takvoj zagonetki u poučavanju matematike
Slika 3. Dva ravnopravna rješenja zagonetke sa 17 šibica

Glavne vrste zagonetki sa šibicama

Slika 4. Primjer geometrijske zagonetke s kvadratima i premještanjem šibica. Zagonetka ima četiri rješenja.
Slika 5. Primjer geometrijske zagonetke s kvadratima i dodavanjem šibica. Zagonetka ima dva rješenja.
Slika 6. Primjer geometrijske zagonetke s trokutima i uklanjanjem šibica. Zagonetka ima 15 rješenja.
Slika 7. Primjer jedne geometrijske zagonetke s trokutima i premještanjem šibica
Slika 8. Primjer jedne zagonetke s trokutom i dodavanjem šibica. Zagonetka ima dva rješenja.
Slika 9. Primjer jedne aritmetičke zagonetke s rimskim brojkama i uklanjanjem šibice. Zagonetka ima dva rješenja.
Slika 10. Primjer jedne aritmetičke zagonetke s rimskim brojkama i premještanjem šibice. Zagonetka ima dva rješenja.
Slika 11. Primjer jedne aritmetičke zagonetke s rimskim brojkama i dodavanjem šibice. Zagonetka ima dva rješenja.

Upotreba zagonetki sa šibicama i čačkalicama u matematičkom obrazovanju

Dvanaest šibica postavljeno je u obliku dolje prikazane rešetke.

Ukloni dvije šibice tako da ostanu dva kvadrata. Kako to možeš napraviti? Nacrtaj novi raspored šibica. (Diniz, 2018., str. 194).		Postavi dvanaest čačkalica kako je prikazano dolje.


Premjesti tri čačkalice tako da dobiješ četiri kvadrata. (Altieri et al., 2007., str. 563)		Uzmi devet čačkalica i postavi ih kako je dolje prikazano.


Premjesti tri čačkalice da dobiješ pet trokuta. (Prentice Hall, 1997., str. 115).

Slika 12. Primjeri upotrebe samo jedne geometrijske zagonetke u udžbenicima matematike
1. Ukloni dvije čačkalice tako da ostanu samo dva kvadrata.

2. Premjesti tri čačkalice da dobiješ pet kvadrata. (Payne et al., 1985., str.169).
1. Premjesti tri čačkalice da dobiješ tri kvadrata.

2. Premjesti dvije čačkalice da dobiješ dva kvadrata. (Bornhold et al., 1982., str. 177).

Slika 13. Primjeri upotrebe dviju geometrijskih zagonetki u udžbenicima matematike
1.  Ukloni jednu čačkalicu tako da ostanu tri kvadrata.
2. Premjesti dvije čačkalice na nove položaje da dobiješ tri kvadrata.
3. Ukloni tri čačkalice da ti ostanu tri kvadrata.
4. Premjesti tri čačkalice da dobiješ pet trokuta.
5. Premjesti jednu čačkalicu da dobiješ točnu jednadžbu. (Langbort & Thompson, 1985., str. 268)

Slika 14. Primjer upotrebe četiriju geometrijskih i jedne aritmetičke zagonetke u udžbeniku
1.   Ovaj lik može se napraviti od 12 šibica.
(a) Premjesti 3 šibice da dobiješ 3 kvadrata iste veličine.
(b) Premjesti 4 šibice da dobiješ 3 kvadrata iste veličine.		 
2. Ovaj lik može se napraviti od 20 šibica.
(a) Ukloni 2 šibice i ostavi 5 kvadrata iste veličine.
(b) Ukloni 4 šibice i ostavi 5 kvadrata iste veličine.
(c) Ukloni 4 šibice i ostavi 4 kvadrata.
(d) Premjesti 3 šibice na nove položaje da dobiješ 5 kvadrata iste veličine.
3. Ovaj lik može se napraviti od 16 šibica.
(a) Ukloni 6 šibica i ostavi 2 trokuta.
(b) Ukloni 4 šibice i ostavi 6 trokuta.
4. Od 9 šibica napravi 5 trokuta.5. Od 12 šibica napravi 6 trokuta.6. Izmisli svoju vlastitu zagonetku. (Joshua, 1991., str. 6).

Slika 15. Primjer upotrebe 10 geometrijskih zagonetki sa šibicama u jednoj zbirci izazovnih matematičkih zadataka za učenike od 10 do 13 godina
(Musser et al., 2008., str. 19)
(Musser el al., 2008., str. 42)
Slika 16. „Jednodimenzionalno slaganje kvadrata“ i odgovarajući brojevi potrebnih šibica
Slika 17. (a) Tri kvadrata od 10 šibica
(b) Pet kvadrata od 12 šibica
Slika 18.  (a) Pet kvadrata od 12 šibica
     (b) Pet kvadrata od 11 šibica

Kako poboljšati upotrebu zagonetki sa šibicama u matematičkom obrazovanju?

  1. U slučaju zagonetki sa šibicama koje imaju više ravnopravnih rješenja navodi se samo jedno rješenje.
  2. Od učenika se rijetko traži sastavljanje vlastitih zagonetki sa šibicama, a za te zahtjevne kreativne zadatke nema ni prethodne pripreme ni uputa.
Pretvori dva trokuta u tri.
Premještanjem dviju šibica pretvori dva dolje prikazana trokuta u tri trokuta.

Jedno od triju mogućih rješenja je:
Koja su preostala dva rješenja?

Slika 19. Navedeno je najčešće rješenje i traže se preostala dva rješenja geometrijske zagonetke sa šibicama i trokutima.
Nadmaši kreativnost autora
 
Sophus Tromholt, poznati istraživač polarne svjetlosti i autor prve knjige koja je u cijelosti posvećena zagonetkama i igrama sa šibicama, osmislio je sljedeću zagonetku:
15 šibica čine dolje prikazan lik.
Premještanjem dviju šibica treba dobiti pet kvadrata.
Tromholt je našao samo jedno rješenje te zagonetke.
Koja su preostala tri moguća rješenja zagonetke koja Tromholt nije našao?

Slika 20. Primjer posebno motivirajuće aktivnosti nalaženja nenavedenih rješenja
Slika 21. Dva tražena rješenja dobivena „umnom rotacijom“ ponuđenog rješenja
Jedno od dvaju mogućih rješenja zagonetke s čačkalicama
„Od čačkalica složi dolje prikazan lik.
Premjesti dva štapića tako da dobiješ četiri jednakostranična trokuta.
Kao rješenje ove zagonetke navedeno je samo prvo rješenje a), a izostavljeno je drugo rješenje b) koje se dobiva „umnom rotacijom“ prvog rješenja ili njegovom „zrcalnom slikom“.

Slika 22. Primjer izostavljanja drugog rješenja koje se dobiva „umnom rotacijom“ ili „zrcalnom slikom“ prvog rješenja
(Joshua, 1991., str. 6)
(Glencoe/McGraw-Hill, 2001., str. 154)
(Rapoport & Yader, 2017., str. 96)
Smišljanje zagonetki kad su zadane početna konfiguracija i manipulacije šibicama
Polazeći od dvaju kvadrata složenih od šibica, koji su prikazani dolje,
smisli vlastite zagonetke u kojima se: a) uklanjaju dvije šibice b) dodaju dvije šibice c) premještaju dvije šibice.
Primjeri očekivanih učeničkih tekstova zagonetki su: a) Uklanjanjem dviju šibica trebaš dobiti jedan kvadrat.
b1) Dodavanjem dviju šibica trebaš dobiti dva kvarata i jedan trokut. b2) Dodavanjem dviju šibica trebaš dobiti pet kvadrata. b3) Dodavanjem dviju šibica trebaš dobitij dva kvadrata i tri pravokutnika.
c1) Premještanjem dviju šibica trebaš dobiti jedan kvadrat i jedan trokut. c2) Premještanjem dviju šibica trebaš dobiti tri kvadrata.

Slika 23. Primjer potpuno strukturirane zadaće učeničkog smišljanja vlastitih zagonetki

Zaključak

  1. uključiti u matematičke udžbenike što veći broj različitih zagonetki sa šibicama i
  2. poboljšati didaktički dizajn njihovog predstavljanja učenicima.

Slika 24.a) Pravokutnik površine
dvaju „šibičnih kvadrata“

 $\qquad$

Slika 24.b) Traženi lik površine
dvaju „šibičnih kvadrata“ 
LITERATURA
  1. M. B. Altieri, D. S. Balka, R. Day, P. D. Gonsalves, E. C. Grace, S. Krulik, C. E. Malloy, R. J. Molix-Bailey, L. G. Moseley, B. Mowry, C. L. Myren, J. Price, M. E. Reynosa, R. M. Santa Cruz, R. Silbey, K. Vielhaber, D. J. Long i D. Zike (2007.): Math connects. Grade 5, Macmillan/Mc-Graw Hill.
  2. C. S. Banwell, J. E. Hiscocks, D. Paling, K. D. Saunders, M. E. Wardle i C. J. Weeks (1975.): Oxford comprehensive mathematics. Book 1 A secondary course for mixed abilities, Oxford University Press.
  3. D. Bornhold, R. Gutcher, S. Tossel i C. Traynor (1982.): Starting Points in Mathematics, Level 3, Ginn and Company.
  4. BP India (2018.): Maths olympiad, BP India.
  5. E. Brooks (1860.): Methods of teaching mental arithmetic, and Key to the normal mental arithmetic, containing also many suggestions and methods for arithmetical contractions, and a collection of problems of an interesting and amusing character, for class exercise, Sower, Barnes & Company.
  6. N. de Mestre (2019.): Matchstick problems, Australian Journal of Mathematics Education, 1 (3), 16-17.
  7. J. Diniz (2018.): Eureka Math, Grade 5, Modules 5 & 6, Great Minds.
  8. Glencoe/McGraw-Hill (2001.), Glencoe geometry: integration, applications, connections, Glencoe/McGraw-Hill.
  9. E. Hollet i A. Cassalia (2022.): Visual-spatial thinking for advanced learners. Grades 3-5, Taylor & Francis.
  10. A. Joshua (1991.): Maths Challenge. Graded problems for 10-13 year-olds, Simon & Schuster Education.
  11. S. Katz i M. Stupel (2015.): Promoting Creativity and Self-efficacy of Elementary Students through a Collaborative Research Task in Mathematics: A Case Study, Journal of Curriculum and Teaching, 4(1), 68 – 82.
  12. D. Kirkby (1994.): Squares and triangles, Folens.
  13. C. Langbort i V. H. Thompson (1985.): Building success in math, Wadsworth Publishing Company.
  14. G. L. Musser, W. F. Burger i B. E. Peterson (2008): Mathematics for elementary teachers: a contemporary approach, Eight edition, John Wiley & Sons.
  15. R. S. Nickerson (2010.): How to discourage creative thinking in the classroom, En R. A. Beghetto i J. C. Kaufman (editors), Nurturing creativity in the classroom (1–5), Cambridge University Press. 
  16. J. Overholt i L. Kincheloe (2010.): Math wise! Over 100 hands-on activities that promote real math understanding. Grades K-8, Second edition, Jossey-Bass.
  17. J. N. Payne, L. M. Beardsley, G. F. Edmonds, B. H. Bunch, R. C. Payne, B. B. Carter, E. C. Rathmell, T. G. Coburn i P. R. Trafton (1985.): Harper & Row Mathematics, drugo izdanje, Harper & Row Publishers.
  18. Prentice Hall (1997.): Middle grades math. Course 2. Practice workbook. Tools for success, Prentice Hall.
  19. R. Rapoport i J. A. Yoder (2017.): Math lab for kids. Fun, hands-on activities for learning shapes, puzzles, and games, Quary.
  20. J. Sliško (2024.): Zagonetke sa šibicama, 1. dio. Nekoliko povijesnih epizoda i opća važnost, Matematika i škola, 123.
Josip Sliško, Facultad de Ciencias Fìsico Matemáticas, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, México