Dva su broja usko povezana s ovim brojem MiŠ-a. Radi se o brojevima $122$ i $2024$. Naime, ovaj je broj MiŠ-a 122. po redu, a uskoro ulazimo u 2024. godinu. Imaju li brojevi $122$ i $2024$ neke zajedničke osobine?
Očito je da su oba broja parni brojevi. Niti jedan od njih nije palindrom, ali zbrojimo li broj s brojem koji nastaje zapisom znamenaka u obrnutom redoslijedu, dobiva se palindrom. Zaista, vrijedi: $$122+221=343,$$ $$2024+4202=6226.$$
Oba broja pripadaju skupini Cunninghamovih brojeva. Broj nazivamo Cunninghamovim ako je prethodnik ili sljedbenik neke potencije, tj. ako se može zapisati u obliku $$a^n+1\quad \mbox{ili} \quad a^n -1,$$ pri čemu su $a$ i $n$ prirodni brojevi veći od $1$.
Broj $122$ je sljedbenik kvadrata broja $11$, tj. $$122=11^2+1,$$ a broj $2024$ je prethodnik kvadrata broja $45$, tj.
$$2024=45^2-1.$$ Napomenimo da neke, opće poznate serije brojeva kao što su Fermatovi brojevi (brojevi oblika $2^{2^k}+1$) i Mersennovi brojevi (brojevi oblika $2^n-1$) pripadaju skupu Cunninghamovih brojeva. Sustavno proučavanje ovih brojeva započeo je britansko-indijski matematičar A. J. C. Cunningham (1842. – 1928.). Među ostalim, proučavao je pitanje složenosti ovih brojeva. Ovo je istraživanje od 1925. preraslo pojedinačne napore samog A. J. C. Cunninghama jer se od tada u literaturi pojavljuju rezultati i drugih matematičara te je danas to istraživanje poznato pod nazivom Cunninghamov projekt. Korištenjem nekih osnovnih algebarskih identiteta može se naslutiti da su prosti Cunninghamovi brojevi relativno rijetki. Naime, ako je broj oblika $a^n-1$, tada ga možemo rastaviti na faktore ovako: $$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\ldots +a+1),$$ te za brojeve $a$ veće od $2$ dobivamo složene brojeve. S druge strane, i među brojevima oblika $a^n+1$ postoje serije složenih brojeva. Očito, ako je $a$ neparan broj, tada je $a^n$ također neparan broj pa je broj $a^n+1$ paran i veći od $2$, tj. složen. Nadalje, ako je $n$ neparan, tj. $n=2k+1$ ($k\geq 1$), tada se zbroj $a^n+1$ može napisati na sljedeći način: $$
a^n+1=a^{2k+1}+1=(a+1)(a^{2k}-a^{2k-1}+\ldots -a+1),
$$ te se opet radi o složenom broju. Više o Cunninghamovim brojevima i istoimenom projektu može se naći na web-stranici: \mathworld.wolfram.com/CunninghamNumber.html.
$$
\mbox{Sretna vam nova} \quad \frac{2000^3+24^3}{2000^2-2000\cdot 24+24^2}-\mbox{ta godina!}
$$