Zašto jednostavno kad može komplicirano?

U ovom članku razmatramo ova dva zadatka:

Zadatak 1. Ako se točka $T$ nalazi u unutrašnjosti jednakostraničnog trokuta, onda je zbroj udaljenosti te točke od stranica trokuta jednak duljini visine trokuta. Dokažite.

Zadatak 2. Izračunajte površinu obojenog dijela kvadrata.

Prikazat ćemo nekoliko načina rješavanja. Neki su načini kratki i elegantni, dok su drugi nešto kompliciraniji. U naravi je matematičara tražiti što elegantnije rješenje i takvo rješenje više cijenimo, no i prezentacija kompliciranog načina rješavanja ima svoju svrhu.

Zadatak 1. Ako se točka $T$ nalazi u unutrašnjosti jednakostraničnog trokuta, onda je zbroj udaljenosti te točke od stranica trokuta jednak duljini visine trokuta. Dokažite.

Ovo je zadatak koji se učenicima može ponuditi već u osmom razredu osnovne škole, nakon obrade primjene Pitagorina poučka na jednakostranični trokut, ali primjerenije je zadati ga učenicima prvog razreda srednje škole nakon obrade sukladnosti trokuta koji u toj fazi svojeg razvoja na skici lakše uočavaju razne veze između danih i novopostavljenih dužina te primjenjuju sukladnost. Stoga će prvo rješenje ovog zadatka biti upravo rješenje koje se temelji na svojstvima jednakostraničnih trokuta i uočavanju sukladnosti dužina.

Rješenje 1: Neka su udaljenosti točke $T$ od stranica trokuta $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ ($|AC|=a$) redom $x$, $y$ i $z$. Neka je $q$ pravac povučen kroz točku $T$ tako da je $q\parallel AC$. Sjecišta tog pravca sa stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ označimo sa $G$ i $H$, a ortogonalne projekcije točaka $G$ i $H$ na stranicu $\overline{AC}$ s $Q$ i $R$. Neka je $\overline{AS}$ visina tog trokuta čiju duljinu označimo s $h$ (slika 1).

Sad vidimo da su trokuti $QAG$, $ETG$, $FTH$ i $RCH$ polovine jednakostraničnih trokuta (zašto?) pa je zato $|AQ|=\dfrac1{\sqrt3}\cdot z$, $|TG|=\dfrac2{\sqrt 3}\cdot x$, $|TH|=\dfrac2{\sqrt3}\cdot y$ i $|RC|=\frac1{\sqrt3}\cdot z$.

Sa slike vidimo da je $$\begin{align}|AC|&=a=|AQ|+|QD|+|DR|+|RC|\\ &=(\text{zbog } |AQ|=|RC|, |QD|=|TG|\text{ i } |DR|=|TH|)= 2\cdot|AQ|+|TG|+|TH|\\ &=\dfrac2{\sqrt3}(z+x+y).\end{align}\tag{1}$$ Osim toga je $$h=\dfrac{a}2\sqrt3\text{ pa je }a=\dfrac{2}{\sqrt3}h.\tag{2}$$ Iz (1) i (2) slijedi $h=x+y+z$. □

Ponudimo i elegantno rješenje ovog zadatka.

Rješenje 2: Opet promatramo jednakostraničan trokut $ABC$ i točku $T$ koja je od stranica trokuta udaljena za $x$, $y$ i $z$. Spojimo točku $T$ s vrhovima trokuta. Time smo trokut $ABC$ podijelili na tri trokuta $TBC$, $TCA$ i $TAB$.

Površina trokuta $ABC$ jednaka je zbroju novodobivenih trokuta, tj. $$\begin{align}P(ABC)&=P(TBC)+P(TCA)+P(TAB)\\ \dfrac{a^2\sqrt3}4&=\dfrac{ya}2+\dfrac{za}2+\dfrac{xa}2.\end{align}$$ Množenjem ove jednakosti s $\dfrac{2}a$ dobivamo $$x+y+z=\dfrac{a\sqrt3}2,$$ tj. zbroj udaljenosti je jednak duljini visine trokuta $ABC$ što smo i trebali dokazati. □

Za razliku od prve metode, ova metoda omogućuje elegantno dokazivanje stereometrijskog analogona prvom zadatku. Postavimo analogon i riješimo ga.

Stereometrijski analogon 1. zadatku: Ako se točka $T$ nalazi u unutrašnjosti pravilnog tetraedra, tada je zbroj udaljenosti točke $T$ od strana tetraedra jednak duljini visine tetraedra.

Rješenje: Udaljenosti točke $T$ od ploha $ABC$, $BCD$, $CAD$ i $ABD$ označimo s $x$, $y$, $z$ i $w$.

Spojimo li točku $T$ s vrhovima $A, B, C, D$ tetraedra, dobivamo podjelu tetraedra $ABCD$ na četiri tetraedra $ABCT$, $BCDT$, $CADT$ i $ABDT$. Volumen cijelog tetraedra jednak je zbroju tih četiriju novodobivenih tetraedara, tj. $$\begin{align}V(ABCD)&=V(ABCT)+V(BCDT)+V(CADT)+V(ABDT)\\ \dfrac{a\cdot h}3&=\dfrac{a\cdot x}3+\dfrac{a\cdot y}3+\dfrac{a\cdot z}3+\dfrac{a\cdot w}3.\end{align}$$ Množenjem s $\dfrac{3}a$ dobivamo: $$x+y+z+w=h,$$ što je i trebalo dokazati. □

Možemo zamisliti i ovakvu generalizaciju početnog zadatka. Jednakostranični trokut je vrsta pravilnog $n-$terokuta (za $n=3$). Zamijenimo u prvom zadatku pojam jednakostranični trokut s pojmom pravilni $n$-terokut. Vrijedi li tad ova tvrdnja: Zbroj udaljenosti točke $T$ od stranica $n$-terokuta ne ovisi o položaju točke $T$. Pokušajte riješiti ovaj novi zadatak primjenom obiju metoda.

Rješenje 3 (kompleksno): Točkom $T$ povucimo pravac $KJ\parallel BC$ i s $N$ označimo sjecište tog pravca i visine $\overline{AH}$ (u trokutu $ABC$). Dalje, točkom $T$ povucimo pravac $TM\parallel AB$ i s $Q$ označimo sjecište tog pravca i visine $JL$ u jednakostraničnom trokutu $AKJ$.

Iz pravokutnika $FTQL$ slijedi $$|TF|=|QL|.\tag{3}$$

U jednakostraničnom trokutu $MTJ$ je $\overline{TE}$ visina, a kako je $\overline{JQ}$ također visina u tom trokutu, slijedi $$|TE|=|JQ|.\tag{4}$$ Nakon zbrajanja (3) i (4) dobivamo $$|TF|+|TE|=|QL|+|JQ|=|JL|.\tag5$$ U jednakostraničnom trokutu $AKJ$ su $\overline{JL}$ i $\overline{AN}$ visine i $|JL|=|AN|\tag{6}$ pa je konačno $$y+z+x=|TD|+|TE|+|TF|=(\text{ zbog }|TD|=|NH|)=|NH|+|JL|=|NH|+|AN|=|AH|.$$ □

I konačno, riješimo ovaj zadatak koristeći se “dokazom bez riječi”, tj. promatrajući sliku na kojoj su istaknute dužine bitne za misaoni slijed koji nas vodi do rješenja.

Rješenje 4.

Rješenje 5. Jedan dokaz bez riječi nalazi se i u knjizi Branimira Dakića: Dokazi bez riječi kojeg ovdje također predstavljamo.

Zadatak 2. Izračunajte površinu obojenog dijela kvadrata.

Rješenje 1: Prisjetimo se teorema: Neka je $Q$ mnogokut u pravokutnoj koordinatnoj mreži takav da su mu koordinate vrhova cjelobrojne. Tad je njegova površina jednaka $$P(Q)=u+\dfrac{r}2-1,$$ gdje je $u$ broj cjelobrojnih točaka u unutrašnjosti mnogokuta, $r$ broj cjelobrojnih točaka na rubu mnogokuta.

Ovaj je teorem poznat pod nazivom Pickova formula.

Neka je naš mnogokut u koordinatnoj ravnini kao na slici 6. Točke označene kvadratićem cjelobrojne su točke unutar mnogokuta, a točke označene kružićima točke su na rubu mnogokuta. Slijedi $u=10$ i $r=18$ pa je prema Pickovoj formuli $$P(Q)=10+\dfrac{18}2-1=18.$$ □

Naravno da se zadatak 2 može riješiti i bez upotrebe Pickove formule. Ovaj se tip zadataka javlja u 6. razredu osnovne škole i tada ga učenici obično rješavaju na sljedeći način.

Rješenje 2: Površina cijelog kvadrata je $P_1=6^2=36$, a površina svakog od neobojenih trokuta je $P_2=\dfrac{3\cdot3}2=\dfrac92$. Tad je površina obojenog lika jednaka $$P=P_1-4P_2=36-4\cdot\dfrac92=36-18=18.$$

Rješenje 3. Zadatak se može riješiti i usporedbom obojane i neobojene površine.

Svaki obojeni trokut sukladan je neobojenom trokutu. Dakle, površina obojenog lika jednaka je površini neobojenog lika. Budući da cijeli kvadrat ima površinu $6^2=36$, površina obojenog, ali i neobojenog lika jednaka je polovini površine cijelog kvadrata, tj. jednaka je $18$.

Učenici će sigurno naći još razne načine izračunavanja površine. Zašto onda uopće pristupiti ovom zadatku primjenom Pickove formule? Kao što je vidljivo iz iskaza Pickove formule, ona je primjenjiva i za mnogo složenije likove od ovog lika u zadatku 2, ali ovdje smo na jednostavnom liku ilustrirali kako primijeniti Pickovu formulu.

Ovakva se metoda često primjenjuje kad uvodimo neki novi postupak, algoritam, formulu i sl. Prvo pokažemo novi postupak na jednostavnom problemu, a kad razvijemo vještinu primjene tog novog postupka, možemo prijeći na rješavanje složenijih zadataka.

Dakle, u ovom smo članku prikazali dva zadatka koja smo riješili na više ili manje elegantan način. U prvom je zadatku elegantniji način rješavanja otvorio put prema daljnjem poopćenju problema, dok je u drugom zadatku složeniji način rješavanja prezentiran sa svrhom ovladavanja primjene Pickove formule koja je zgodan alat za računanje površina složenih ravninskih likova.

Zaključimo: nastavnik matematike treba poznavati različite načine rješavanja kako bi u pojedinoj nastavnoj situaciji mogao primijeniti primjerenu metodu rješavanja.

---