Životinje u zadatcima
Obilježavanje Noći knjige u Gimnaziji Karlovac

Povodom ovogodišnje Noći knjige u Gimnaziji Karlovac ponovno smo pokušali spojiti matematiku i hrvatski jezik. U tome nam je uvelike pomogla tema manifestacije: O životinjama i ljudima. U matematičkim zadatcima životinje se često pojavljuju. Ponekad su protagonisti, no ponekad su nepoznanice koje znaju umanjiti poteškoće oko rješavanja zadataka ili im dati smisao, a „teškoj“ matematici u pozadini toliko žuđeno opravdanje.

O noći knjige u Gimnaziji Karlovac

Noć knjige manifestacija je koja se ove godine po četrnaesti puta obilježavala u brojnim knjižnicama, školama i ustanovama diljem Republike Hrvatske. Datum obilježavanja bio je 23. travnja, a odabran je kako bi se obuhvatio Svjetski dan knjige i autorskih prava (23. travnja) i Dan hrvatske knjige (22. travnja). Svake godine odabire se tema manifestacije kako bi aktivnosti bile tematski usklađene. Pri odabiru aktivnosti pak nema ograničenja, samo kreativnost i mašta organizatora.

Ove je godine povodom Noći knjige u Gimnaziji Karlovac zbog zauzetosti prostora škole bilo organizirano Matematičko-književno prijepodne u vidu interaktivnog izlaganja profesorice matematike Zrinke Tomašković uz podršku profesorice hrvatskog jezika i književnosti Maje Sokač.

Čitalačka i matematička pismenost

Poticaj za predavanje došao je iz našeg zajedničkog interesa, a intenzivniju suradnju potaknuli su posljednji rezultati PISA istraživanja. Oni pokazuju da hrvatski učenici postižu prosječne rezultate u čitalačkoj i prirodoslovnoj pismenosti, dok u matematičkoj pismenosti zaostaju za prosjekom. Manifestacije poput Noći knjige pružaju priliku da se jezik i matematika prirodno isprepletu te da učenici uz podršku svojih nastavnika istodobno razvijaju i matematičku i čitalačku pismenost. Važno je naglasiti da vještina čitanja značajno pomaže pri rješavanju i interpretiranju složenijih matematičkih zadataka i koncepata. Za one koji još uvijek sumnjaju u povezanost čitalačke pismenosti i razumijevanja matematičkih koncepata, u nastavku članka slijedi popis konkretnih kompetencija koje jasno pokazuju njihov zajednički presjek:

Many of the process skills needed for mathematics are similar to reading skills and, when taught together, would reinforce each other. Examples of common skills are predicting, inferring, communicating, comparing and contrasting, and recognizing cause and effect relationships [3].

Prijevod na hrvatski jezik: Mnoge vještine potrebne za matematiku slične su onima koje se primjenjuju pri čitanju i, kada se podučavaju zajedno, međusobno će se pojačavati. Primjeri zajedničkih vještina uključuju predviđanje, zaključivanje, komunikaciju, uspoređivanje i prepoznavanje nijansi (sitnih razlika) te prepoznavanje uzročno-posljedičnih veza.

Povijesni zadatci

Matematika je od davnina prisutna u svakodnevnom životu, baš kao i životinje. Kako bismo opravdale ovu tvrdnju, ponudile smo učenicima Zenonov paradoks iz 5. st. pr. Kr. – zapravo matematički zadatak.

Ahilej i kornjača

 Lakonogi Ahilej, ma koliko brzo trčao, nikada neće prestići sporu kornjaču, ako je njoj dana prednost od 10 stadija udaljenosti. Ne znamo koliko je Ahilej brz, ali sigurno je barem deset puta brži od kornjače. Dok on pretrči tih 10 stadija, kornjača prijeđe 1 stadij (barem 10 puta je sporija). Dok on prijeđe taj jedan stadij, ona prijeđe 1/10 stadija i tako u beskonačnost… Uvijek je kornjača barem malo ispred Ahileja. (izvor zadatka vidi u literaturi [4])

Rješenje

Kako su učenici upoznali nizove u četvrtom razredu, ovo je bilo samo podsjećanje na slučaj u kojem niz koji može imati beskonačno mnogo članova pod nekim uvjetima može imati konačnu sumu. Filozofski gledano, kornjača uvijek ima prednost, ali matematički gledano, ipak znamo da će Ahilej stići kornjaču i možemo izračunati i točno u kojem trenutku i pri kojoj udaljenosti od početnog položaja.

prijeđeni put	proteklo vrijeme
$10$ stadija	$t$
$1$ stadij	$\dfrac{t}{10}$
$\dfrac{1}{10}$ stadija	$\dfrac{t}{100}$
zbroj udaljenosti koje je Ahilej prešao	ukupno vrijeme Ahilejeva kretanja
$$\begin{align}10&+1+\dfrac1{10}+\dfrac1{100}+\dfrac1{1000}+\ldots\\&=11.111111\ldots\\&=11\dfrac19\end{align}$$	$$\begin{align}t&+\dfrac{t}{10}+\dfrac{t}{100}+\dfrac{t}{1000}+\ldots\\&=t\left(1+\frac1{10}+\frac1{100}+\ldots\right)\\ &=t\cdot1.11111\ldots\\ &=t\cdot\left(1+\frac19\right)\end{align}$$
$\dfrac{100}{9}$ stadija	$\dfrac{10t}{9}$

Drugi povijesni izvor nešto je noviji. Bhaskara II., indijski matematičar iz 12. stoljeća, rješavao je uspješno algebarske jednadžbe, ali ih je zapisivao na jako zanimljiv način – u stihovima (izvor zadataka vidi u literaturi [6]).

1. Pčele

Korijen polovine pčela u roju doletio je na jasminov grm. Osam devetina roja zaostalo je za njima, a jedna ženska pčela leti oko muške koja zuji unutar lotosova cvijeta. Ušao je u noći, privučen slatkim mirisom i sad je zarobljen. Reci mu, o čarobna gospo, koliki je pčela broj?

2. Majmunčići

Mnoštvo majmunčića živahnih,

Najevši se slasno, igralo se.

Od njih, kvadrat dijela osmog

Na livadi se se zabavljalo

A 12 njih je po krajevima livade,

Počelo skakutati povisoko.

Koliko je bilo majmunčića malih

U tom mnoštvu, reci meni ti?

Rješenja

Učenicima je lako bilo ustanoviti da se radi o kvadratnim jednadžbama.

Prvi zadatak s pčelama zapisan u obliku jednadžbe daje $\sqrt{\dfrac{x}2}+\dfrac89x+2=x$. Jednadžbu možemo urediti $\dfrac{\sqrt{x}\sqrt2}{2}-\dfrac19x+2=0$ što pak zamjenom varijable $x=t^2$ daje $-\dfrac19t^2+\dfrac{\sqrt2}{2}t+2=0$ koja ima rješenja $t_1=6\sqrt2$ te $t_2=-\dfrac{3\sqrt2}2$.

Kako je potrebno vratiti zamijenjenu varijablu, kao rješenje dobivamo $x_1=72$ i $x_2=\dfrac92$, ali kontekst zadatka traži da rješenje bude prirodan broj jer se radi o broju pčela, pa je rješenje $72$ pčele.

Drugi zadatak s majmunčićima zapisan u obliku jednadžbe daje $\left(\dfrac{x}8\right)^2+12=x$ što možemo urediti kao $x^2-64x+768=0$  i dobiti rješenja $x_1=16$ i $x_2=48$. Vidimo da su oba rješenja moguća u kontekstu zadatka.

Suvremeni zadatci

Slijede zadatci čiji je tekst priča ili krije neku zanimljivu biološku činjenicu.

1. Umro stari kauboj i ostavio svoje konje sinovima. Najmlađemu je dao polovicu, srednjemu trećinu, a najstarijem osminu svih konja. Sinovi nisu znali podijeliti konje pa su otišli šerifu. On je shvatio u čemu je nezgoda, posudio jednog svojeg konja, podijelio konje i uzeo svojeg konja natrag. Koliko je konja stari kauboj ostavio nakon smrti? U čemu je bio problem? Koliko je konja dobio svaki sin? [7]
2. Afrički slon najveći je živući kopneni sisavac. Duljina mu je, s repom, od 5.5 do 7 metara, a visina od 3 do 4 metra. Životni vijek u divljini je od 50 do 60 godina. Masa ženke starosti $t$ godina može se približno izračunati formulom $m(t)=2.6\cdot(1-0.51\cdot e^{-0.75t})^3$  koja daje masu slonice u tonama. Koja je očekivana masa mladunčeta afričkog slona? Koja je očekivana masa slonice stare 42 godine? [5]
3. U tijelu puža udio je vode 82 %. Kako nema zaštitu od isušivanja, stalno gubi vodu i može preživjeti gubitak do 50 % vode koja se nalazi u njegovu tijelu. Koliko je tada udio vode u tijelu puža? [8]
4. Prosječna brzina puža je $7\, \dfrac{\text{cm}}{\text{min}}$, dok je brzina ljenjivca u stanju uznemirenosti $0.025\, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Brzina svjetlosti ugrubo je $3\cdot10^5\, \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$. Tko je brži, ljenjivac ili puž? Koliko je puta svjetlost brža od ljenjivca? [8], [9]

Rješenja

1. Konji starog kauboja

$$\begin{align}\frac{x}2+\frac{x}3+\frac{x}8+1&=x\hskip5mm /\cdot24\\ & 12x+8x+3x+24&=24x\\ & x&=24\end{align}$$ Stari kauboj imao je 23 konja, što je broj koji je prost, pa je šerif posuđivanjem svojeg konja razriješio problem.

Sinovi su dobili redom 12, 8 i 3 konja.

2. Afrički slon

Mladunče je staro $0$ godina, pa ima $0.30588$ t, odnosno oko $306$ kg.

Slonica stara $42$ godine ima masu od $2.6$ t, odnosno $2600$ kg.

3. Puž

Masa puža neka je $m$.  Masa vode je $0.82m$, a masa suhe tvari $0.18m$. Ako puž izgubi 50 % vode, koliko mu je granica preživljavanja, masa mu se umanji za $0.41m$. Ukupna masa mu je tada $0.41m+0.18m=0.59m$. Udio vode je pritom omjer $\dfrac{0.41m}{0.59m}=0.69=69\, \%$.

4. Ljenivac, puž i svjetlost

Laganim računom dolazimo do mjernih jedinica koje možemo usporediti: puževa prosječna brzina je $7\, \dfrac{\text{cm}}{\text{min}}$  dok se ljenjivac kreće $0.025\, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}=1.5\,\dfrac{\text{m}}{\text{min}}=150\, \dfrac{\text{cm}}{\text{min}}$. Dakle, brži je ljenjivac i to više od 20 puta. Svjetlost je pak od ljenjivca brža 12 milijarda puta, $3\cdot10^5\, \dfrac{\text{km}}{\text{s}}=3\cdot10^8\, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ pa dijeljenjem dobivamo $\dfrac{3\cdot10^8}{0.025}=12\cdot10^9.$

Kokoš umjesto zaključka

Umjesto zaključka predavanja pred učenike je postavljen jedan zanimljiv zadatak. Učenici nižih razreda dobro su se zamislili nad rješenjem.

                Kokoš i kombinatorika

Koliko se različitih riječi, ne zamarajući se time imaju li ili nemaju značenje, može napraviti od slova koja čine riječ KOKOŠ?

Naglasili smo da se ovdje i u matematici koristi leksikografski uređaj i da on itekako ima smisla i u matematici. Veze između jezika i matematike nisu zanemarive, osobito u granama poput kombinatorike. Suprotno očekivanjima pokazali smo da s tom kombinacijom slova nema drugih punoznačnih riječi osim kokoši.$$30\ \text{ riječi}=\frac{5!}{2!\cdot2!}.$$

Izuzetno je zanimljivo da u ovome kontekstu učenici jesu zainteresirani za matematički sadržaj i da tekst u koji su svi zadatci bili skriveni, nije prepreka, već izazov. Zaključujemo kako su aktivnosti poput ovih dobrodošao način za umanjiti strah od teksta u matematičkim zadatcima. Iako učenici na prvu ovakve zadatke zbog količine teksta smatraju složenima, odnosno problemskim, ispostavilo se da tomu nije tako. Također, valja naglasiti kako je čitalačka pismenost preduvjet ovladavanja nastavnih sadržaja, a ovi su tekstualni zadatci to i dokazali. Možda na tome možemo zahvaliti i životinjskom carstvu koje smo itekako iskoristili u zadatcima.

Literatura

1. https://nocknjige.hr/ (pristupljeno 24. 5. 2025.)
2. https://www.oecd.org/en/publications/pisa-2022-results-volume-i-and-ii-country-notes_ed6fbcc5-en/croatia_65a72a90-en.html (pristupljeno 24. 5. 2025.)
3. https://www.idra.org/resource-center/what-is-the-importance-of-reading-and-writing-in-the-math-curriculum/ (pristupljeno 24. 5. 2025.)
4. B. Dakić,  N. Elezović (2021.): Matematika 4, 1. dio, Udžbenik za 4. razred gimnazija i strukovnih škola (3 ili 4 sata nastave tjedno), Element, str. 158.
5. B. Dakić,  N. Elezović (2021.): Matematika 3, 1. dio, Udžbenik za 3. razred gimnazija i strukovnih škola (4 ili 5 sati nastave tjedno), Element, str. 89.
6. A. Juranović (2010.): Povijest rješavanja algebarskih jednadžbi – Diplomski rad, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku, Odjel za matematiku, Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike, Osijek.
7. V. Schmid (1971.): Zbirka zadataka iz matematike s uputama i rješenjima za šesti razred osnovne škole, Školska knjiga.
8. https://web.facebook.com/floraifaunamedjimurja/posts/pu%C5%BE-vinogradnjak-helix-pomatia-lpu%C5%BE-vinogradnjak-je-vrsta-bekralje%C5%A1njaka-koja-ta/962810653886012/?_rdc=1&_rdr# (pristupljeno 24. 5. 2025.)
9. https://hr.wikipedia.org/wiki/Ljenivci (pristupljeno 24. 5. 2025.)

---