Srijeda, 13. 04. 2016. 12:04

Domene, procesi i rokovi

by Dubravka Glasnović Gracin

Dragi čitatelji,

dokumenti Cjelovite kurikularne reforme (CKR) su objavljeni i u tijeku je stručna rasprava iza koje će slijediti i javna rasprava. U uvodniku MiŠ-a br. 80 već sam napisala da nam je reforma potrebna, ali da su upitni kratki rokovi koji su bili postavljeni. U međuvremenu, imala sam priliku biti konzultant reforme te prije puštanja u stručnu raspravu pročitati dokumente i dati svoje komentare. I tu je bila prisutna kratkoća vremena: u 10 dana trebalo je pročitati više od 350 stranica predmetnog kurikuluma, ali ne na pustom otoku, već uz svoj svakodnevni posao i sve ostale obveze. Za tako značajan dokument žurba nikako nije smjela biti toliko važan faktor.

U svakom slučaju, iz materijala je vidljivo da iza ovog dokumenta stoji ogroman trud i vrijeme brojnih kolega iz stručnih skupina te promišljanje o različitim elementima vezanim uz obrazovanje. Struktura Cjelovite kurikularne reforme zaista je impresivna, takvo usustavljivanje dosad nismo imali u službenom dokumentu obrazovanja i, što se toga tiče, za buduće takve projekte letvica je zaista visoko podignuta. Posebno pozdravljam određene sadržajne elemente koji se sustavno i po vertikali uvode u predmet Matematika, poput procjene, statistike i vjerojatnosti te uzoraka, već od prvog razreda osnovne škole.

Iz sastava radnih skupina zaključujem da su u sastavljanje kurikuluma uključene tri bitne skupine stručnjaka: savjetnici, nastavnici praktičari i metodičari. To je u redu i tako treba biti jer svaka od ovih skupina sa svog posla donosi svoje iskustvo i znanje i samo ravnopravna kombinacija svih triju skupina može donijeti kvalitetan dokument. Ne bi bilo dobro da niti jedna od ovih skupina prevagne u svoju stranu jer bi se time oslabile ostale komponente. Čitajući dokument, ipak se ne mogu oteti dojmu da je metodička strana ovdje zanemarena. Ako govorimo o metodici kao znanstvenoj disciplini koja, između ostalog, istražuje i poboljšava kurikulum, onda bi taj njezin istraživački sloj trebao biti polazna točka za stvaranje kurikuluma i u tu bazu bi se onda trebale ukomponirati prakse savjetnika i nastavnika, koje su itekako važne. A prava istraživanja nikad nisu trpjela prekratke rokove. Već sama činjenica da nisu ostavljeni procesi iz NOK-a, koje su radili metodičari, daje naslutiti da teorija iz metodike matematike ovdje nije ravnopravna s praksom.

Kurikulum spominje da se matematičko područje ostvaruje kroz dvije dimenzije: domene i procese. Domene se odnose na matematički sadržaj i one su u ovom novom dokumentu načelno dobro istaknute i promišljene (Brojevi, Algebra i funkcije, Oblik i prostor, Mjerenje te Podatci, statistika i vjerojatnost). Međutim, procesi su pobrojeni u matematičkom području i nakon toga se eksplicitno više ne spominju kao takvi (prikazivanje i komunikacija, povezivanje, logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje, rješavanje problema i matematičko modeliranje te primjena tehnologije). Objašnjeno mi je da je to namjerno tako učinjeno jer su procesi ukomponirani u ishode. Osobno smatram da to nije najbolje rješenje jer su ovako nestali kao dimenzija. Već su u matematičkom području trebali biti jasnije naglašeni. S obzirom na to da u Hrvatskoj postoji snažna tradicija naslanjanja glavnih kurikulumskih dokumenata prvenstveno na matematičke sadržaje, a ne na aktivnosti i procese, prvi korak mijenjanja te tradicije trebao bi biti osvješćivanje tih procesa, isticanje njihove važnosti i njihovo osnaživanje. Nažalost, to se nije dogodilo. Je li razlog tome da još nismo zreli za takav korak? Sumnjam, s obzirom na to da dokument Nacionalnog okvirnog kurikuluma iz 2011. uvodi procese i nije mi jasno zašto ih nismo sada preuzeli, promislili o njima i dalje razradili. Mislim da bi stručnoj skupini bilo mnogo lakše sastavljati predmetni dokument da se prije toga, osim sadržaja, kao baza postavila i dimenzija procesa, tj. matematičkih aktivnosti. Također, tako bi kurikulum dobio i na vrijednosti sa znanstvene strane, jer bi se s višedimenzionalnošću dobio analitički okvir pogodan za istraživanja.

Teško mi je govoriti za druge predmete, ali matematika bi uz domene i procese trebala svakako imati i još jednu dimenziju koja se odnosi na kognitivne razine (npr. reprodukcija, povezivanje i refleksija). Gotovo svaki matematički sadržaj tako možemo provesti kroz tri dimenzije. Primjerice, Pitagorin poučak možemo provući kroz razne procese i aktivnosti poput crtanja, računanja, argumentiranja, primjenu tehnologije i sl. No, zadatke vezane uz Pitagorin poučak možemo postaviti i na različitim razinama: pukoj reprodukciji, povezivanju ili pak dubljem promišljanju i dokazima. U tablicama predmetnog kurikuluma nalaze se, doduše, četiri razine usvojenosti, ali se čini da samo promišljanje o razinama nije dobro razrađeno. Naime, ponekad se razine usvojenosti odnose na različite sadržaje (npr. jedna razina je crtanje dijagrama, a druga razina čitanje dijagrama, itd.), ponekad se razine usvojenosti odnose na sigurnost učenika u nekoj vještini (npr. računa uz pomoć, računa nesigurno, računa sigurno i sl.), a ponekad se razine usvojenosti odnose na složenost zadatka i kognitivne razine (jednostavni zadatci i reprodukcija, složeniji zadatci, promišljanja). Osobno smatram da bi razine usvojenosti trebale pratiti ovu treću varijantu, ali nigdje nisam našla (a možda sam previdjela) kako su opisane ili definirane te razine. Ponekad kao da su bile dovoljne tri razine, a moralo se isforsirati njih četiri.

Ispričavam se čitateljima na poduljem komentaru, ali ovih dana nije moguće zaobići temu CKR-a. Također, htjela sam naglasiti neke stvari vezane uz teorijsku podlogu prije nego se ``počupamo'' oko detalja tipa trebaju li jednadžbe ići u peti ili šesti razred.

Za ovaj broj MiŠ-a postavili smo po četiri pitanja dvjema kolegicama koje su bile uključene u kurikularnu reformu. To je prof. dr. sc. Željka Milin-Šipuš s Prirodoslovno-matematičkog fakulteta u Zagrebu, koja je bila uključena u izradu nacionalnog kurikuluma za gimnazijsko obrazovanje i u izradu kurikuluma za Matematičko područje te Sonja Banić, prof. matematike i fizike iz Ivanić-Grada koja je bila uključena u izradu obaju matematičkih dokumenata: onog za Matematičko područje i za predmet Matematika. Također bih istakla tekst kolege Šime Šuljića iz Pazina o novom e-udžbeniku Mathigon uz nadu da će rubrika Udžbenici koja se nalazi unutar CKR-a obuhvatiti projekte poput ovoga.

Na kraju, nemojmo zaboraviti da papir sve podnese, ali da će reforma zaživjeti tek onog trenutka kad se počne masovno provoditi u nastavi. Za ovaj korak će trebati organizirati kvalitetnu edukaciju kako nastavnika tako i budućih nastavnika. Nakon javne rasprave to je ključni sljedeći korak koji, osim što zahtjeva političku dobru volju, nikako ne može biti napravljen u kratkom roku.

Srdačno,

Dubravka Glasnović Gracin

(Uvodnik MiŠ-a broj 84)

Četvrtak, 11. 02. 2016. 15:02

Je li nam Euklid učinio medvjeđu uslugu?

by Dubravka Glasnović Gracin

Dragi čitatelji,

u posljednje vrijeme dobivamo od vas mnoštvo tekstova sa zanimljivim iskustvima iz razreda, što nas posebno veseli. To je pokazatelj da nastava matematike živi u praksi kroz zanimljive aktivnosti i kroz nastavnike zaljubljenike u matematiku.

Vezano uz živu nastavu matematike, svojedobno me jedna učiteljica razredne nastave iznenadila pitanjem "Kakve veze, molim te lijepo, matematika ima s kreativnošću?''. Tako matematiku  vide oni drugi. Podijelit ću s vama jedno moje razmišljanje o povijesti matematike koje me u zadnje vrijeme progoni. Imala sam prilike surađivati s metodičarima drugih predmeta i zaključila kako mi, matematičari, zaista možemo biti ponosni na dugačku povijest ne samo matematike, već i sustavnog poučavanja matematike. S druge strane, kad imate jaku tradiciju, teško je mijenjati je i donositi kvalitetne inovacije koje bi lako zaživjele u praksi. Primjerice, i u samoj matematici je mnogo lakše raditi promjene, recimo, u nastavi vjerojatnosti nego u praktičnoj nastavi geometrije  jer nastava geometrije ima dugačku tradiciju ne samo u poučavanju već i pisanoj riječi. Euklid je u znanosti i matematici učinio velik korak kad je okupio sva tadašnja znanja u Elemente, ali pitam se… je li učinio uslugu i nastavi matematike? Nastava matematike se stoljećima poučavala po Euklidovim Elementima, dakle, kao gotov sustav koji počinje s aksiomima i definicijama i širi se na tvrdnje koje se zatim dokazuju. Na taj način je geometrija bila prezentirana generacijama i generacijama učenika kao gotov sustav u kojem su pametni ljudi otkrili osnove, a na učeniku je da ih razumije i reproducira. Gdje je tu proces koji učenika dovodi do otkrića? Naravno, shvatiti već otkrivene teoreme i kako su ih drugi dokazali ‒ to je također otkrivanje, ali ipak pasivnije od otkrića kad sam dođeš do nečega. Pitam se bi li i nama, kao onda onom svom učeniku, Euklid bacio novčić uz napomenu da nam ne vrijedi sva ta reprodukcija ako nismo uložili sami sebe i svoju kreativnost? I tako, malo po malo, dolazimo do učitelja koji poučavaju matematiku, ali u njoj sami ne vide ništa kreativno. Osloboditi kreativnost znače i mali koraci poput: pustiti učenika da sam dođe do rješenja, slušati ideje te zadavati pitanja s ''pokaži, dokaži, objasni''… Uloga nastavnika kao mentora takvih kreativnih ideja je vrlo važna.

Među tekstovima koje donosimo u ovom broju MiŠ-a osvrnut ću se posebno na jedan, a to je onaj o dragoj kolegici Eli Rac-Marinić-Kragić koja je nažalost preminula na Božić 2015. godine. Ela je bila suradnica MiŠ-a od samih njegovih početaka, pisala je članke te uvijek rado i stručno recenzirala tekstove koje smo joj slali na mišljenje. Kad govorimo o kreativnosti i matematici s početka ovog uvodnika, brojne generacije njenih učenika će posvjedočiti kako matematika i kreativnost itekako idu zajedno. Nemoguće je u samo par rečenica opisati tugu, nevjericu i prazninu koja je ostala iza Ele, stoga u ovom broju donosimo opširniji članak o njenom životu i radu u matematičkoj zajednici. Nemoguće mi je, također, pisati o njoj u trećem licu jer iz MiŠ-a ona ne može otići. Ela, hvala Ti za sve, draga kolegice, profesorice i prijateljice… S nama si i dalje…

Svima preporučam, pročitajte koji Elin članak iz starih brojeva MiŠ-a ili na web-stranici

mis.element.hr.

 

Srdačno,

Dubravka Glasnović Gracin

(Uvodnik MiŠ-a broj 83)

Petak, 11. 12. 2015. 14:12

Njegovo veličanstvo "Zadatak"

by Dubravka Glasnović Gracin

Dragi čitatelji,

možemo reći da zadatak ima centralnu ulogu u nastavi matematike. Zadatci su inicijatori aktivnosti, zadatci kreiraju mogućnosti koje se stavljaju pred učenika, priroda zadataka može utjecati na način kako učenici razvijaju mišljenje i kreativnost u matematici, a zahtjevi u zadatcima mogu utjecati i na sliku učenika o matematici. Dominacija samo jedne vrste zadataka može ograničiti pristup učeniku ka shvaćanju matematičkih sadržaja. Stoga je u metodici matematike posebno važno njegovati disciplinu zvanu task design, tj. osmišljavanje i izrada matematičkih zadataka.

Osim tradicionalnih zadataka u kojima je naglasak na procedurama i zatvorenim odgovorima, potrebno je u nastavi ponuditi i autentične zadatke, zatim one koji vode generiranju diskusija i postavljanju novih problema, koji su intelektualno provokativni, koji zahtijevaju razumijevanje te koji imaju više od jednog mogućeg točnog odgovora ili pristupa. Ovakve vrijedne zadatke nije lako osmisliti i zato je važno da se o njima u stručnim i znanstvenim krugovima što više razgovara.

Ovaj broj MiŠ-a ima naglasak upravo na matematičkom zadatku. Kolegice Dijanić i Debelec govore o proceduralnom i konceptualnom znanju te o zadatcima vezanima uz tu problematiku. Nadalje, kao prave praktičarke s iskustvom, autorice uz teoriju daju i primjere iz prakse te prijedlog vrlo vrijednog ispita znanja.

Prof. Josip Sliško iz Meksika javio nam se s vrlo zanimljivim člankom o matematičkim zadatcima i razvoju kreativnosti. U svom pismu Uredništvu, on naglašava zašto je važno proučavati učenička rješenja zadataka, posebice onih nestandardnih problema: "Samostalna učenička rješenja, u formatu razumijevanje, plan rješenja, izvedba plana i razmatranje rješenja, pokazuje koliko je zadatak jezično, kognitivno, algoritamski i kontekstualno primjeren učenicima. U slučaju značajnih razlika između očekivanih i stvarnih učeničkih rješenja, problem treba preoblikovati i prilagoditi učenicima. Učenička rješenja su ponekad iznenađujuće jednostavna. To se događa kada oni, zbog raznih razloga, ne koriste očekivani postupak, nego pokušavaju problem riješiti algoritamskim postupkom kojim vladaju. Takva rješenja treba javno pohvaliti i nagraditi prigodnom ocjenom. Time se promiče značajna kultura višestrukih načina rješavanja problema koja je bitna za razvijanje učeničke kreativnosti.'' Veseli nas da će prof. Sliško u sljedećim brojevima MiŠ-a voditi rubriku "Problemi i zagonetke zabavne matematike'' o zanimljivim matematičkim problemima.

O zadatcima na prelasku iz osnovne u srednju školu govori i aktualan članak kolegice Zelčić, a kolega Gortan donosi kratak izvještaj sa skupa u Puli, kojem je glavna tema bila upravo matematički zadatak.

Mnoštvo pristupa u člancima prema pojmu matematičkog zadatka otkriva da pred učenike treba stavljati cijelu paletu različitih matematičkih zadataka koji se razlikuju u raznim parametrima. Na taj način učenike ćemo potaknuti na angažman i izazov u promišljanju, utjecat ćemo na kvalitetu nastave i ponuditi mogućnosti za razvoj razumijevanja i cjelovitog znanja.

Na kraju mi ne preostaje drugo nego da vam svima u obliku matematičkog zadatka zaželim sretan Božić i puno uspješnih, sretnih i zdravih trenutaka u 2016. godini!

Zadatak. Zapišite u implicitnom obliku

(Rješenje se nalazi na str. 58 ovog broja MiŠ-a)

 

Srdačno,

Dubravka Glasnović Gracin

(Uvodnik MiŠ-a broj 82)

 

P.S. Od sada pratite novosti vezane uz časopis Matematika i škola i na Facebooku! Uključite se u diskusije, komentirajte... doprinesite da MiŠ bude još bolji.

www.facebook.com/matematikaiskola

Ponedjeljak, 19. 10. 2015. 14:10

Škola: muzej, iluzija ili muzej iluzija?

by Dubravka Glasnović Gracin

Dragi čitatelji,

u MiŠ-u su u više navrata bile prikazane razne optičke iluzije. Stoga smo obišli novootvoreni zagrebački Muzej iluzija i u njemu našli mnoštvo zanimljivih i intrigantnih eksponata, između ostalog i vezanih uz matematiku. Ponovni susret s iluzijama te problemi vezani uz početak nove školske godine potaknuli su me na razmišljanje: Je li školski sustav muzej? Je li školski sustav iluzija? Konačno, je li školski sustav muzej iluzija? Evo nekih teza i misli vezanih uz ova pitanja.

Škola je muzej. Ne radi se tu o starim stolcima ni drvenim šestarima, već o načinima poučavanja, pedagoškim mjerama, ocjenjivanju, planovima i, općenito, kulturi nastave što se teško mijenja. U sadašnjem stanju možemo očitati stanje kad smo mi bili đaci, a iz toga i stanja kada su naši nastavnici bili đaci, te također i nastavnici naših nastavnika. Njemački metodičar Heymann govori o kulturnoj koherenciji u obrazovanju, tj. snažnom kontinuitetu prelaska specifičnosti s jedne generacije na drugu, ma koliko mi mislili da je sada sve novo i drukčije. Primjer za to su tzv. pametne ploče (ali i obična računala) gdje smo vidjeli da se nova sredstva koriste na stari način, bez promjene s obzirom na njihove nove potencijale, jer su načini poučavanja ostali isti. Zato su mi se posebno svidjeli e-tečajevi GeoGebre od prije desetak godina u Hrvatskoj u kojima se radu s dinamičnim programom geometrije pristupalo na način i da se mijenja pristup nastavi u smislu istraživačke nastave.

Škola je iluzija. Pogledajte zadatke kojima se koristimo u nastavi matematike, malo ih je autentičnih. Koeficijenti jednadžbe su tako savršeno prirodni ili cijeli brojevi, rješenja su opet neki "lijepi" brojevi. Svaki zadatak ima rješenje, svi podatci iz zadatka trebaju se iskoristiti kako bi se dobilo rješenje itd. Čista iluzija. Ove činjenice ukazuju da nam je naglasak stavljen na mehaničko rješavanje procedura (zato su i stavljeni "lijepi" brojevi u zadatak da ne ometaju postupak koji je u središtu pozornosti). Jasno je zašto određeni dio zadataka treba biti ovako "umjetan", ali nikako tako velik udio kakav imamo. Iz tog razloga su nam prijeko potrebni projekti u nastavi u kojima će učenik cjelovitije i interdisciplinarno pristupiti autentičnom problemu iz svakodnevice.

Škola je muzej iluzija. U potrazi za starim matematičkim udžbenicima, u ruke su mi došli neki zanimljivi tekstovi i novinski članci stari više od stotinu godina. U njima se naši kolege nastavnici, baš kao i ja u prethodnom odlomku, žale na zadatke koji se koriste u nastavi i daju prijedloge poboljšanja. Baš kao i mi danas, doduše ne uz računalo već s pomoću pera i tinte, naši kolege su davali svoje konkretne prijedloge, promišljali o njima, diskutirali, fantazirali, kritizirali programe, nadali se boljem položaju školstva i nastavnika itd. Sve je isto. U našim današnjim kratkim facebook komentarima u pozadini leži neki sličan komentar ispisan krasopisom na dopisnici. Razlog sličnom sadržaju leži vjerojatno u tome što se sustav u biti nije puno pomakao.

No, ne bih htjela nastaviti u pesimističnom tonu. Muzeji su mjesta na kojima se uči o drugima i o sebi. Važno je jasno znati što želimo, koje elemente tradicije želimo zadržati u obrazovanju, a koji bi se obavezno trebali mijenjati.

Srdačno,

Dubravka Glasnović Gracin

(Uvodnik MiŠ-a broj 81)

 

P.S. Od sada pratite novosti vezane uz časopis Matematika i škola i na Facebooku! Uključite se u diskusije, komentirajte... doprinesite da MiŠ bude još bolji.

www.facebook.com/matematikaiskola

Ponedjeljak, 13. 07. 2015. 13:07

Obrazovna vertikala

by Dubravka Glasnović Gracin

Dragi čitatelji,

Nova kurikularna reforma je u posljednje vrijeme s pravom nezaobilazna tema prosvjetnih razgovora i predavanja. Nedvojbeno, cjelovita reforma nam odavno treba i krajnje je vrijeme da se u nju krene. Imala sam priliku slušati predavanje dr. Jokića o reformi iz prve ruke. Kreatori su po mom mišljenju dobro uočili glavne točke problema i lijepo su postavili strukturu projekta. Ta struktura sigurno će ostaviti traga i utjecati na druge buduće dokumente i projekte. No, dr. Jokić je također bio jasan u dvije stvari: sve mora biti gotovo otprilike do kraja godine (čitaj: do sljedećih izbora) i neće biti moguće mijenjati broj sati pojedinog predmeta u odnosu na sadašnji broj (čitaj: ipak nije cjelovita reforma). Ove dvije važne stvari direktno se odnose na reformatorima pretpostavljenu političku volju (znamo svi da u Hrvatskoj politička volja ili ne-volja tj. nevolja ima prednost pred nacionalnim obrazovnim interesima). Evo, primjerice, Nacionalni okvirni kurikulum (NOK) izašao je 2011. i svi smo očekivali da odmah nakon toga krene i izrada predmetnog kurikula. Ta je izrada trebala biti temeljita i nikako ishitrena. Umjesto toga, sljedećih se nekoliko godina ništa nije događalo, osim što smo živjeli u neobičnoj situaciji s dvama konceptualno skoro pa oprečnim dokumentima na snazi: Nastavnim planom i programom s jedne strane i NOK-om s druge. To je uspavano stanje trajalo nekoliko godina da bi se sada, u par mjeseci, opet političkom voljom, ambiciozno odlučilo napraviti ishitreni predmetni kurikul po cijeloj obrazovnoj vertikali. Za predmete poput matematike, gdje je vertikala žila kucavica cijelog programa, to kratko vrijeme može biti posebno opasno.

Ja vertikalu shvaćam kao snop dugačkih vlakana ili žica skupljenih zajedno, koji prolaze učionicama vrtića i razredne nastave, zatim predmetne matematike te srednjoškolskim učionicama. Te žice napajaju učionice matematičkim sadržajem koji je primjeren uzrastu i predznanju učenika. Primjerice, uzmimo žicu koja predstavlja pojam kruga - drukčije ćemo pristupiti pojmu kruga u predškolskoj ustanovi gdje ćemo uočavati samo oblik, a drukčije u razrednoj nastavi gdje ćemo ga upoznavati kao geometrijski lik i razlikovati ga od kružnice iako imaju isti oblik. U predmetnoj ćemo se nastavi upoznati s brojem $\pi$, a u srednjoj školi pak krugu i kružnici možemo pristupiti iz kuta analitičke geometrije, ili pak gledajući ih vezano uz primjenu, kao u nekim strukovnim školama.

Dodatni problem vertikale je u tome što je njezina važnost minorizirana u odnosu na horizontalu. Konstantno se godinama govori o povezivanju međupredmetnih sadržaja (to bi bila horizontala), a mnogo manje o suradnji po vertikali. Previše smo zatvoreni u svoje ladice da bismo mogli surađivati s drugim kolegama iz nekog drugog stupnja vertikale, višeg ili nižeg. Neki će se prije povezati s likovnjakom nego matematičarom s prethodnog ili sljedećeg nivoa. Važan dio u ovom problemu svakako ima organizirana strukovna komunikacija među različitim nivoima. Na ovom polju sasvim je u redu imati velika očekivanja od sustava, ali i lokalnih zajednica i pojedinaca.

Na ova razmišljanja o vertikali potaknule su me teme zanimljivih članaka pristigle u Uredništvo MiŠ-a. Tema koja se u zadnjih nekoliko godina pokazala kao problematična žica u vertikali kojoj treba prohodnost, svakako je financijska matematika. U ovom broju Miš-a pozabavili smo se opet tom problematikom, iz novog kuta. Lijepu suradnju po vertikali imali smo priliku vidjeti i na ekipnim natjecanjima iz matematike, gdje u istom timu sjede veliki i mali učenici i rješavaju matematiku timski. Fantastično, zar ne? U ovom broju donosimo osvrt na Veliku smotru matematičkog znanja, kao i još mnogo zanimljivih članaka. Zavirite, sigurno ćete pronaći neke korisne i zanimljive ideje za nastavu.


Srdačno,

Dubravka Glasnović Gracin

(Uvodnik MiŠ-a broj 80)

Novi blogovi
Stariji blogovi
Arhiva blogova
Arhiva