Od iduće školske godine 2025./2026. u strukovne škole u Republici Hrvatskoj uvodi se modularna nastava. U ovom radu možete pročitati što će to značiti za nastavu matematike u trogodišnjim i četverogodišnjim srednjim strukovnim školama.
Pogledajmo najprije koliki je udio učenika koji će biti zahvaćeni tim promjenama. Prema podatcima iz Školskog e-Rudnika u 1. razred srednje škole u školskoj godini 2024./2025. oko 42 % učenika upisalo je četverogodišnju strukovnu školu, oko 27 % trogodišnju strukovnu školu, otprilike toliko je i gimnazijalaca (27 %) dok su ostali upisali umjetničke škole, petogodišnju srednju strukovnu školu (medicinske sestre i medicinski tehničari) ili su učenici s teškoćama u razvoju koji polaze Posebni nastavni program. To znači da bi reformom strukovnog obrazovanja moglo biti obuhvaćeno oko 70 % učenika koji će iduće školske godine upisati 1. razred srednje škole.
Prema Zakonu o Hrvatskom kvalifikacijskom okviru (HKO) četverogodišnjim strukovnim školama odgovara razina kvalifikacije 4.2, a trogodišnjima razina kvalifikacije 4.1.
Zašto jednima predmet, a drugima modul?
Prema reformi strukovnog obrazovanja u četverogodišnjim strukovnim školama Matematika je općeobrazovni nastavni predmet, dok u trogodišnjima ne postoji Matematika kao predmet, ali postoje općeobrazovni moduli koji obuhvaćaju matematičke sadržaje. Zbog čega je došlo do tih razlika? Nacionalni kurikul za strukovno obrazovanje (2018.) propisuje udio sastavnica strukovnog kurikula (općeobrazovni i strukovni dio) prema razinama kvalifikacije. Za razinu kvalifikacije 4.2 udio općeobrazovnog dijela može biti najviše 40 % u 1. razredu i najviše 45 % u ostalim razredima, dok je to za razinu kvalifikacije 4.1 znatno manje: do 25 % u 1. razredu i do 20 % u ostalim razredima. Nažalost, u trenutku donošenja tog dokumenta malo tko od nas nastavnika razmišljao je (ako je uopće i pratio što se događa) što će nam to donijeti u budućoj reformi strukovnog obrazovanja.
Kada se krenulo u podjelu nastavnih sati po predmetima i godinama uzimajući u obzir da je 32-35 maksimalan broj sati koje učenik tjedno može provesti na nastavi, kod trogodišnjih strukovnih škola došlo se do brojke od 7 do 9 sati koji se „mogu dodijeliti“ općeobrazovnim predmetima (Hrvatski jezik, Strani jezik, Tjelesna i zdravstvena kultura, Povijest, Vjeronauk/Etika) i za predmet Matematika u trogodišnjim školama više nije bilo mjesta. U tome trenutku jedan dio trogodišnjih strukovnih programa već je dulji niz godina imao nastavni predmet naziva Matematika u struci ili Gospodarska matematika, Primijenjena matematika i slično i u Agenciji za strukovno obrazovanje i obrazovanje odraslih (ASOO) koja je i nositelj reforme strukovnog obrazovanja donesena je odluka da će se matematički sadržaji u svim trogodišnjim strukovnim školama podučavati u okviru općeobrazovnog modula Matematika u struci. U četverogodišnjim strukovnim školama zbog znatno većeg udjela općeobrazovnog dijela Matematika ostaje nastavni predmet, ali ostali predmeti iz STEM područja (Fizika, Kemija, Biologija) više ne postoje kao takvi, a dio sadržaja i ishoda prirodoslovnog područja podučava se u okviru modula u nekim sektorima.
Što je CSVET?
U svakom kurikularnom dokumentu strukovnog obrazovanja, bilo da se radi o sektorskom, strukovnom ili kurikulu općeobrazovnog predmeta, uz nastavni predmet, općeobrazovni modul, strukovni modul i skup ishoda učenja stoji brojčana vrijednost iskazana mjerom CSVET. Pojasnimo što ta mjera znači.
Prema Zakonu o hrvatskom kvalifikacijskom okviru CSVET kreditni bod (engl. Croatian Credit System for Vocational Education and Training) mjera je kojom se iskazuje prosječno ukupno utrošeno vrijeme potrebno za stjecanje kvalifikacije u strukovnom obrazovanju baš kao što je ECTS mjera za opterećenje studenata u visokom obrazovanju. Jedan CSVET bod obuhvaća od 15 do 25 radnih sati u trajanju 60 minuta potrebnih za stjecanje odgovarajućih ishoda učenja. U trogodišnjem strukovnom obrazovanju (razina 4.1) potrebno je minimalno 180 CSVET bodova kako bi se stekla određena kvalifikacija, dakle 60 CSVET bodova po godini. U četverogodišnjem strukovnom obrazovanju (razina 4.2) za stjecanje kvalifikacije potrebno je ukupno 240 CSVET bodova.
Radno opterećenje učenika u strukovnom obrazovanju koje čini 1 CSVET bod, odnosno 25 sunčanih sati rada, odnosi se na: (1) vođeni proces učenja i poučavanja, tj. vrijeme provedeno na nastavi u školi, (2) učenje temeljeno na radu koje uključuje praktičnu nastavu, izradu projektnih zadataka na nastavi, terensku nastavu i slično, i (3) samostalne aktivnosti učenika koje se odnose na pisanje domaćih zadaća, učenje i vježbanje kod kuće. Pogledajmo najprije koje su promjene u kurikulima za predmet Matematika i modul Matematika u struci pa ćemo pojasniti značenje CSVET bodova na konkretnim primjerima.
Kurikul nastavnog predmeta Matematika
Kurikul nastavnog predmeta Matematika za srednje strukovne škole na razini 4.2 objavljen je u Narodnim novinama NN 10/2025 u Odluci o donošenju kurikula općeobrazovnih predmeta za srednje strukovne škole na razinama 4.1 i 4.2 (str. 176–196). Za razliku od dosadašnjih strukovnih kurikula prema kojima su četverogodišnje strukovne škole imale 2, 3 ili 4 nastavna sata Matematike tjedno, novi Kurikul primjenjuje se jednako na sve četverogodišnje strukovne škole bez obzira dolaze li iz sektora u kojima je matematika više ili manje značajan predmet za praćenje sadržaja i ostvarivanje ishoda struke. Tijekom četiri godine tjedna satnica Matematike jednaka je satnici u općoj gimnaziji 4+4+3+3. Jedan od razloga zašto je tomu tako jest osigurati svim učenicima četverogodišnjih strukovnih škola jednake mogućnosti za polaganje ispita državne mature iz Matematike ako se odluče za nastavak obrazovanja na nekom od visokih učilišta. Međutim, koliko će to biti izvedivo s obzirom na predznanje i motivaciju učenika u nekim programima i školama, tek ćemo vidjeti. Pitanje je mogu li na približno istoj razini u istom vremenu (tj. broju nastavnih sati) ostvariti zadani ishod učenici npr. u programu tehničar u strojarstvu i učenici u programu upravno-poslovni referent.
Pri kreiranju kurikula matematike nastojalo se voditi računa o tim razlikama pa je u razradi ishoda puno više proširenih sadržaja kako bi nastavnik mogao odabrati što od toga jest, a što nije za njegove učenike. U cijelom dokumentu naglašava se povezanost matematike sa strukom, ali u osnovi ishodi u Kurikulu gotovo da su identični ishodima u općoj gimnaziji (NN 7/2019), odnosno ishodima Kurikula predmeta Matematika za četverogodišnje strukovne škole (NN 10/2019) za satnicu 4+4+3+3. Značajnije razlike između ishoda novog i starog kurikula navedene su u nastavku.
1. razred
MAT SSŠ A.1.1. MAT SSŠ B.1.1. Provodi operacije sa skupovima – izdvojeno u poseban ishod, a ranije je bio u okviru ishoda MAT SŠ B.1.7. Prikazuje operacije sa skupovima i rješenja nejednadžbi s pomoću intervala.
MAT SSŠ A.1.2. Računa s realnim brojevima – dodano: intervali, brojevni pravac, apsolutna vrijednost realnog broja i udaljenost točaka na brojevnom pravcu
MAT SSŠ B.1.6. MAT SSŠ D.1.1. Primjenjuje linearnu funkciju – u razradi je dodan ishod Definira pojam funkcije uz detaljnije preporuke za ostvarivanje ishoda.
MAT SSŠ C.1.1. MAT SSŠ D.1.2. Primjenjuje Talesov poučak o proporcionalnosti dužina i sličnost trokuta – u ovaj ishod integriran je prijašnji ishod MAT SŠ C.1.1. Konstruira i analizira položaj karakterističnih točaka trokuta te dio ishoda MAT SŠ D.1.3. Primjenjuje trigonometrijske omjere što se odnosi na definiciju i vezu sa sličnosti trokuta te određivanje jednog elementa pravokutnog trokuta.
2. razred
Ishod od ranije MAT SŠ A.2.1. Računa s drugim i trećim korijenom ne radi se u 2. razredu.
MAT SSŠ B.2.1. Rješava i primjenjuje kvadratnu jednadžbu – za kvadratne jednadžbe s negativnom diskriminantom u preporukama za ostvarivanje ishoda stoji da se uvodi pojam imaginarne jedinice i rješenja zapisuju kao kompleksni brojevi (s obzirom na to da se prethodno ne radi niti drugi korijen negativnog broja niti kompleksni brojevi).
Dodan ishod MAT SSŠ C.2.4. MAT SSŠ D.2.2. Primjenjuje trigonometrijske omjere koji je prije u cijelosti bio u 1. razredu.
3. razred
MAT SSŠ A.3.1. MAT SSŠ B.3.1. Primjenjuje pravila za računanje s korijenima i potencijama racionalnoga eksponenta – u ovaj ishod dodano je iz 2. razreda MAT SŠ A.2.1. Računa s drugim i trećim korijenom.
MAT SSŠ B.3.4. MAT SSŠ C.3.2. Primjenjuje svojstva i analizira grafove trigonometrijskih funkcija – u razradi ishoda i preporukama navedeno je koji se trigonometrijski identiteti rade obavezno, a koji su prošireni sadržaj (npr. kao prošireni sadržaj dodano je Primjenjuje adicijske formule).
MAT SSŠ C.3.4. MAT SSŠ D.3.1. Računa s vektorima – u izvornom dokumentu Kurikula prilikom lekture skalarni umnožak vektora nazvan je ljestvičarnim umnoškom što bi svakako trebalo zanemariti i koristiti se ispravnim nazivom.
4. razred
Ishod od ranije MAT SŠ A.4.1. Analizira skup realnih brojeva je izostavljen, dio se obavezno radi u 1. razredu, a dio u okviru idućeg ishoda s kompleksnim brojevima.
MAT SSŠ B.4.5. MAT SSŠ C.4.3. Primjenjuje derivaciju funkcije – u ovaj ishod integrirana su tri ishoda iz starog kurikula koji su obuhvaćali derivaciju funkcije: MAT SŠ B.4.5. Povezuje definiciju derivacije funkcije u točki s problemom tangente i brzine, MAT SŠ B.4.6. Primjenjuje derivaciju funkcije u problemskim situacijama i MAT SŠ B.4.7. Povezuje derivaciju funkcije i crtanje grafa funkcije što je vidljivo u razradi ishoda.
U kojoj je mjeri s učenicima u četverogodišnjim strukovnim školama izvedivo ostvariti sve ishode učenja koje imaju i gimnazijalci svakako ovisi o strukturi razreda, predznanju i motivaciji učenika. Jače tehničke škole spremne su i traže takav izazov. S druge strane, kod „matematički slabijih škola“ nastavnici će možda trebati prilagoditi razinu ostvarivanja ishoda učenja i po potrebi se zadržati na nižoj razini ako zamijete da ne ide drukčije. U dokumentu Kurikula može se zamijetiti da u 1. i 2. razredu (koje je u tjednoj satnici od 4 nastavna sata) stoji da je godišnje opterećenje učenika 8 CSVET bodova, dok je u 3. i 4. razredu (3 sata tjedno) godišnje opterećenje učenika 6 CSVET bodova. Pojasnimo što to znači uzevši u obzir prosječnog učenika 1. razreda. 8 CSVET bodova pomnoženo s 25 sunčanih sati iznosi 200 sunčanih sati ukupnog rada učenika tijekom cijele nastavne godine. 4 sata nastave matematike tjedno pomnoženo s 35 tjedana daje 140 školskih sati godišnje (po 45 minuta) što pretvoreno u sunčane sate iznosi 105 sati provedenih na nastavi matematike. To znači da bi prosječan učenik za ostvarivanje svih ishoda učenja tijekom cijele nastavne godine trebao utrošiti oko 95 sati na pisanje domaćih zadaća, vježbanje, pripremu za provjere znanja, izradu projektnih zadataka i slično. Ako to iskažemo u terminologiji omjera, tada bi nakon (ili tijekom) 4 nastavna sata tjedno učeniku trebalo još 2.5 do 3 sunčanih sati samostalnog rada kod kuće kako bi uspješno ostvario ishode učenja matematike.
Općeobrazovni moduli Matematike u struci
Kurikul općeobrazovnih modula matematičkog područja za srednje strukovne škole na razini 4.1 objavljen je u Narodnim novinama NN 7/2025 u Odluci o donošenju kurikula općeobrazovnih modula u strukovnim kurikulima na razinama 4.1 i 4.2 (str. 302 – 338) i sadrži pet modula. Cilj modula je učenicima omogućiti razvijanje kompetencija matematičke pismenosti rješavanjem različitih jednostavnijih i složenijih matematičkih zadataka i problema iz struke i svakodnevnog života. Svaki modul obuhvaća dva ili više skupova ishoda učenja s pridruženim brojem CSVET bodova što je prikazano u tablici.
| naziv modula | obuhvaća skupove ishoda učenja (SIU) | CSVET bodovi |
| Osnove matematike (5 CSVET bodova) | realni brojevi i potencije | 2 |
| linearna jednadžba i sustavi | 2 | |
| kvadratna jednadžba | 1 | |
| Funkcije (5 CSVET bodova) | linearna funkcija | 1 |
| kvadratna funkcija | 1 | |
| eksponencijalna i logaritamska funkcija | 1 | |
| trigonometrijske funkcije | 1 | |
| nizovi | 1 | |
| Podatci i financijska pismenost (2 CSVET boda) | financijska pismenost | 1 |
| statistika i vjerojatnost | 1 | |
| Geometrija (4 CSVET boda) | geometrija ravnine | 1 |
| trigonometrija | 2 | |
| geometrija prostora | 1 | |
| Analitička geometrija (2 CSVET boda) | koordinatni sustav i vektori | 1 |
| pravac i kružnica | 1 |
Strukovnim kurikulom svake pojedine kvalifikacije razine 4.1 određeno je koje je od ovih modula, odnosno skupova ishoda učenja (SIU) potrebno realizirati. Ti se kurikuli mogu pronaći u Narodnim novinama, a poveznice na te dokumente pregledno su po sektorima složene na mrežnim stranicama ASOO-a u dijelu Modularna nastava. Prvi strukovni kurikul objavljen je 27. siječnja 2025. u NN 13/2025 i to je strukovni kurikul za stjecanje kvalifikacije Vozač motornog vozila u sektoru Promet i logistika. Uvidom u popis obveznih strukovnih modula za tu kvalifikaciju nalazi se da nisu preuzeti predloženi moduli iz Kurikula općeobrazovnih modula (prethodna tablica) nego su iz predloženih SIU sastavljeni nešto izmijenjeni moduli: u 1. razredu je modul Osnove matematike u struci (4 CSVET) koji obuhvaća SIU Realni brojevi i potencije i SIU Linearna jednadžba, u 2. razredu je modul Jednadžbe i funkcije u struci (3 CSVET) koji obuhvaća SIU Kvadratna jednadžba, SIU Linearna funkcija i SIU Kvadratna funkcija te je u 3. razredu modul Geometrija i financijska pismenost u struci (3 CSVET) koji obuhvaća SIU Geometrija ravnine, SIU Geometrija prostora i SIU Financijska pismenost. I neki drugi sektori odlučili su se za drukčiji raspored SIU i svoje nazive modula, npr. Automehatroničar (NN 48/2025) u sektoru Strojarstvo, brodogradnja i metalurgija ima module Osnove primijenjene matematike, Osnove algebre i analitičke geometrije u tehnici i Osnove geometrije i financijske matematike. Naravno, postoje sektori koji su za svoje kvalifikacije u cijelosti preuzeli neke od predloženih modula iz Kurikula općeobrazovnih modula (npr. Stolar NN 51/2025, Mesar NN 37/2025). Odluku o tome koji su matematički moduli, odnosno matematički skupovi ishoda učenja potrebni za stjecanje pojedine kvalifikacije donosile su radne skupine pojedinih sektora. Usporedbom tih dokumenata mogu se pronaći i neke nelogičnosti što zapravo upućuje da neke od tih skupina nisu razumjele predložene skupove ishoda učenja, logičan redoslijed njihova ostvarivanja i slično. Evo npr. budući stolari u svome kurikulu nemaju SIU Geometrija prostora niti SIU Trigonometrija, ali budući mesari imaju oba ta SIU. Zapravo je zanimljivo da su budući mesari jedna od kvalifikacija s najviše matematičkih skupova ishoda učenja i ukupno 16 CSVET bodova za matematičko područje.
Pogledajmo još što navedeni broj CSVET bodova znači za nastavu matematičkih modula. U opisu modula stoji da 50 – 70 % ukupnog opterećenja učenika pripada vođenom procesu učenja i podučavanja, 10 – 20 % su oblici učenja temeljenog na radu i 20 – 30 % su samostalne aktivnosti polaznika. Uzmimo za primjer 2 CSVET boda što znači prosječno opterećenje učenika od 50 sunčanih sati. Prema prethodno navedenim udjelima 2 CSVET boda podrazumijevaju 25 – 35 sati nastave, 5 – 10 sati učenja temeljenog na radu i 10 – 15 sati za samostalan rad kod kuće. Učenje temeljeno na radu može se provoditi na praktičnoj nastavi, kod obrtnika ili u radionici, a može ga provoditi i nastavnik modula ako s učenicima provodi istraživačke ili projektne zadatke u školi ili na terenu što sve ovisi o mogućnostima škole. Dakle, 2 CSVET boda može obuhvatiti i 40 sati nastave što znači da ekvivalent od 1 sata nastave tjedno tijekom cijele nastavne godine za matematički modul jedva da je dovoljno. To nije usporedivo s omjerom broja sati i CSVET bodova u četverogodišnjim strukovnim školama gdje su 4 sata nastave tjedno (140 sati godišnje) ekvivalent za 8 CSVET bodova iz razloga što se od učenika četverogodišnjih strukovnih škola očekuje puno više samostalnog rada kod kuće nego od učenika trogodišnjih strukovnih škola.
Nadalje, za razliku od četverogodišnjih strukovnih škola koje će imati predmet Matematika tijekom svih 35 tjedana nastavne godine, za trogodišnje programe svaka će škola prema vlastitim mogućnostima (materijalnim, kadrovskim, organizacijskim) odabrati kada će se nastava pojedinog modula tijekom nastavne godine realizirati i s kojom tjednom satnicom dok se u okviru ukupnog planiranog broja sati ne ostvare ishodi učenja.
Tijekom proteklih mjeseci bilo je bojazni koji će profil „stručnjaka“ moći držati nastavu matematičkih modula iz razloga što je u Registru HKO-a pod kadrovskim uvjetima navedeno samo „najmanje razina 7.1. sv HKO-a odgovarajućeg profila“ (7.1. sv HKO-a označava završen sveučilišni diplomski studij) bez pojašnjenja što odgovarajući profil znači. Međutim, početkom lipnja na mrežnim stranicama ASOO-a u dijelu Modularna nastava objavljeni su kadrovski uvjeti za nastavnike općeobrazovnih i strukovnih modula. Za sve module matematičkog područja navedeno je da ih mogu predavati samo magistri edukacije matematike, profesori matematike, magistri matematike ili diplomirani inženjeri matematike što nastavnike matematike u strukovnim školama stavlja u puno povoljniji položaj nego ranije kada se u nekim strukovnim školama događalo da je nastava Matematike u struci bila dodjeljivana inženjerima struke umjesto matematičarima.
Posebni kurikul nastavnog predmeta Matematika
Za kraj, ne zaboravimo na učenike s teškoćama u razvoju koji se obrazuju u trogodišnjim strukovnim školama za neko pomoćno zanimanje kao npr. pomoćni krojač / pomoćna krojačica ili pomoćni kuhar / pomoćna kuharica. Ti će učenici također imati Matematiku kao predmet tijekom sve tri godine srednjoškolskog obrazovanja u tjednoj satnici 3+2+2, a Posebni kurikul nastavnog predmeta Matematika objavljen je u Narodnim novinama NN 42/2024 u Odluci o donošenju Posebnoga nastavnog programa za osnovnu i srednju školu za učenike s teškoćama u razvoju (str. 200 – 227). Strukovni kurikuli pomoćnih zanimanja također su objavljeni u Narodnim novinama tijekom 2024. godine, a poveznice na te dokumente također su pregledno po sektorima složene na mrežnim stranicama ASOO-a u dijelu Modularna nastava.
Literatura
- ASOO, Modularna nastava, https://www.asoo.hr/obrazovanje/strukovno-obrazovanje/modularna-nastava/
- Nacionalni kurikulum za strukovno obrazovanje, NN 62/2018, https://narodne-novine.nn.hr/clanci/sluzbeni/2018_07_62_1295.html
- Odluka o donošenju kurikula općeobrazovnih predmeta za srednje strukovne škole na razinama 4.1. i 4.2., NN 10/2025, Kurikul nastavnog predmeta Matematika za srednje strukovne škole na razini 4.2 (str. 176-196), https://narodne-novine.nn.hr/clanci/sluzbeni/2025_01_10_85.html
- Odluka o donošenju kurikula općeobrazovnih modula u strukovnim kurikulima na razinama 4.1 i 4.2, NN 7/2025, Matematičko područje – Matematika u struci (str. 302-338), https://narodne-novine.nn.hr/clanci/sluzbeni/2025_01_7_51.html
- Odluka o donošenju Posebnoga nastavnog programa za osnovnu i srednju školu za učenike s teškoćama u razvoju, NN 42/2024, Posebni kurikul nastavnoga predmeta Matematika (str. 200-227), https://narodne-novine.nn.hr/clanci/sluzbeni/2024_04_42_742.html
- Registar Hrvatskog kvalifikacijskog okvira, https://hko.srce.hr/registar/standardi
- ŠeR – Školski e-Rudnik (Vol. Upisi u SŠ), https://mzom.gov.hr/istaknute-teme/ser-skolski-e-rudnik-3419/3419
- Zakonu o hrvatskom kvalifikacijskom okviru, https://www.zakon.hr/z/566/zakon-o-hrvatskom-kvalifikacijskom-okviru