Dječji prsti kao didaktičko sredstvo u ranom učenju matematike

Nemoguće je na silu zabraniti računanje
na prste. Sve dok ne ponudimo efikasnije metode, dijete se neće odreći prstiju.
(Sharma, 2001.)

Uvod

Usvajanje matematičkih sadržaja u ranoj dobi, zbog svoje apstraktne prirode, čini veliki izazov djeci, roditeljima, odgojiteljima i učiteljima razredne nastave. Zbog toga je potrebno od samog početka kognitivnog razvoja djece omogućiti postupan i promišljen rad koji se temelji na iskustvu, radu s konkretnim materijalom, iznošenju doživljaja uz razvoj govora te usmenom i manipulativnom prenošenju konkretnih sadržaja u apstraktne matematičke pojmove – slike, riječi i simbole (Liebeck, 2005.).

Upravo je manipulacija konkretnim materijalima i aktivnosti s predmatematičkim vještinama siguran put do usvajanja novih matematičkih pojmova (Glasnović Gracin, 2010.; 2013.; Glasnović Gracin i Stepanić, 2019.), kao i siguran prijelaz u tranziciji iz predškole u razrednu nastavu. Tijekom tog procesa dječji prsti mogu biti važno sredstvo za učenje. Prije svega, ljudima prsti svakodnevno služe kao sredstvo za obavljanje brojnih nematematičkih i matematičkih aktivnosti (hvatanje i uzimanje prstima, pokazivanje na nešto, objašnjavanje, prikazivanje malih količina, prebrojavanje, demonstracija smjera ili oblika, izraz raznih gesti i sl.). I u školskom okruženju učenici često prirodno rabe prste za računanje pa od učitelja možemo čuti upite poput Smijem li učenicima dozvoliti računanje na prste? Zato Sharma (2001.) ističe da ne treba brzo i naglo prelaziti na apstraktan matematički sadržaj, već treba pustiti dijete da manipulira konkretnim materijalom, pa i prstima. S druge strane, u trenutku kada će učenik/učenica biti spreman/ spremna prijeći na višu razinu spoznaje, konkretan materijal mu/joj prirodno više neće biti toliko zanimljiv. No, prije toga svakako treba posvetiti bitnu didaktičku i metodičku pažnju uporabi konkretnih materijala. U ovom radu prikazat ćemo neke primjere uporabe prstiju kao konkreta u sklopu predmatematičkih i matematičkih aktivnosti (Vučko, 2022.).

Dječji prsti kao didaktičko sredstvo i pomagalo

Već od najranije dobi djeca rabe prste kao sredstvo koje pomaže u komunikaciji i učenju. Primjerice, uobičajeno je da gotovo svaki roditelj ima nekoliko osnovnih pitanja koje postavlja svojoj djeci i čiji su odgovori svima simpatični. To su pitanja poput: ,,kako se zoveš?”, ,,pokaži gdje je mama, pokaži gdje je tata, gdje je baka, gdje si ti?”, ,,gdje je pametna glava?” i, među ostalim, ,,koliko imaš godina?”. Kao odgovor na posljednje pitanje djeca najčešće, posebice u trenutcima sramežljivosti, odgovaraju prikazivanjem određenog broja s pomoću prstiju. To je već prva, ne tako rijetka, situacija gdje se dijete oslanja na prste kao sredstvo za prikazivanje određene količine, iako većina djece toga u tom trenutku nije svjesna.

Osim toga, djeca su u predškolskoj i ranoj školskoj dobi najviše izožena pjesmicama, slikovnicama i brojalicama. Postoji velik broj brojalica koje uključuju brojeve do deset pa mali čitatelji, spontano tijekom brojenja, prstima prikazuju broj koji verbaliziraju uz prilagođen, najčešće rimom popraćen, stih. Primjeri za to su brojalice ,,Od 1 do 10” i ,,Učimo brojati” (Društvo Naša djeca, 2021.).

Osim navedenog tipa brojalica postoje i one koje izravno uključuju dječje prste prilikom brojenja ili imenovanja brojeva uz pripadajući stih. U takvim brojalicama svakom je prstu dodijeljen neki redni ili glavni broj uz stih koji opisuje radnju pojedinog prsta (npr. slika 1).

Također, valja spomenuti i slikovnice. Primjerice, kroz slikovnicu ,,Životinjska brojalica” (Borovac i Mrčela, 2017.) mladi čitatelji imaju priliku susresti se sa zabavnim stihovima u rimi koji opisuju neku vrstu životinje. Na samom kraju slikovnice nalazi se tablica (slika 2) uz pomoć koje djeca imaju priliku ponoviti sve vrste životinja s kojima su se susrela tijekom čitanja, koliko ih je bilo te skup životinja iste vrste povezati s brojkom, brojevnom riječi i prikazom prstiju.

Osim navedenih primjera navodimo i aktivnosti prstima vezane uz neke alternativne škole. Primjerice, Montessori pedagogija poznata je po raznolikom didaktičkom materijalu i uz vlastito iskustvo, izbor i tempo aktivira načelo ,,pomozi mi da to učinim sam”. Stoga je rad rukama jako naglašen. Jedan od primjera aktivnosti prstima koji potječe iz Montessori pedagogije jest igra ,,Rukavice brojalice”. Umjesto klasičnog brojenja brojalica dijete se koristi rukavicom i papirnatim kolačićima na prstima rukavice, koje je prethodno samo izradilo. Tada započinje brojalicu, a nakon nekoliko ponavljanja jedan se kolačić može maknuti. Tako igra može biti izmijenjena i nekoliko puta, dokle god je dijete za nju zainteresirano (slika 3).

Waldorfska pedagogija naglašava važnost postizanja ravnoteže u trima različitim načinima na koje se osoba odnosi prema svijetu – fizičkim aktivnostima, emotivnim doživljajima i područjem mišljenja. Te tri komponente – ruke, srce i glava, u Waldorfskoj se pedagogiji smatraju jednako važnim za razvoj djeteta. To opet pokazuje potrebu i važnost korištenja konkretnih materijala u početnom učenju, ali i u najranijoj dobi kako bi se postavili temelji za daljnji rast i napredak. No, i u redovnoj nastavi, izvan alternativnih pedagogija, učitelji sve više odbacuju tradicionalne pristupe te primjenjuju konkretne materijale uz poticanje govora.

U nastavku slijedi niz primjera kako se prsti mogu primijeniti kao sredstvo za učenje matematičkih sadržaja. Preciznije, u aktivnostima koje slijede prsti su nekada sredstvo, a nekada samo pomagalo u radu s drugim sredstvima. No, u svim primjerima potiče se usvajanje matematičkih ideja kroz poticanje fine motorike.

Prsti kao sredstvo za shvaćanje količine

Pojmovi broja i količine smatraju se temeljnim matematičkim konceptima u predškolskoj dobi jer njihovo usvajanje nije samo temelj za pojedine matematičke koncepte kao što su, primjerice, mjerenje ili raspored dekadskih jedinica, već je i priprema za daljnje rješavanje složenijih matematičkih problema s razumijevanjem (Jung i sur., 2013.). Neke zanimljive aktivnosti koje se mogu provoditi s tim ciljem jesu rad s didaktičkim vrećicama, slagalicama u obliku dlanova ili dramatizacije uz pomoć naprstaka (slike 4, 5 i 6).

Slika 4 prikazuje didaktičke vrećice koje su djeci izrazito zanimljive, a aktivnosti s njima uključuju rad prstima. Uz pomoć prve vrećice sa slike 4 dijete prstom ispisuje određenu brojku te tako vježba pisanje i smjer poteza pri pisanju određene brojke prije nego li krene zapisivati olovkom. Pri korištenju druge didaktičke vrećice sa slike 4 dijete treba smjestiti brojke i pripadajuću količinu kuglica u za to predviđena polja. Tako vježba prepoznavanje brojki i povezuje količinu koju ta brojka predstavlja s određenim skupom brojeva. Posljednja didaktička vrećica prikazuje kuglice i špage određenih boja. Potrebno je sve kuglice smjestiti unutar špage zatvorenog oblika te primijetiti da svaki skup različite boje prikazuje skup od različitog broja elemenata u njemu. Ove aktivnosti, osim matematičkog aspekta, zahtijevaju i upotrebu fine motorike, što je izuzetno bitno u predškolskoj i ranoj školskoj dobi. Važno je napomenuti da kod ovih vrećica dijete ,,izvana” manipulira sadržajem unutar svake vrećice, što je motorički zahtjevnije u odnosu na direktno pomicanje predmeta bez vrećica.

Osim didaktičkih vrećica pojmu broja možemo pristupiti i putem slagalice. Djeca vole slagalice različitih tematika pa tako tema slagalice kojoj mogu biti izloženi od rane predškolske dobi mogu biti upravo prsti. Tijekom slaganja slagalice prikazane na slici 5 djeca ponavljaju boje, nazive prstiju, lijevu i desnu stranu te povezuju količinu s pripadajućom brojkom i brojevnom riječi. Tako jedna naizgled obična slagalica djetetu nudi brojne mogućnosti i sadržaje kojima će se dijete rado vraćati.

Jedna od aktivnosti koje su spomenute kod rada u alternativnim školama jest aktivnost s naprstcima. Uz jednu staru rukavicu i brojke koje mogu biti napravljene od različitih materijala, naprstci iz vlastite izrade mogu biti brzo gotovi, a zanimljiv su i efikasan izvor za zabavu i učenje (slika 6). Primjerice, svako dijete može utjeloviti jedan broj i govoriti njegove značajke poput količine koju prikazuje, naziv prethodnika i sljedbenika te njegov odnos s njima, na koje pribrojnike se može rastaviti itd. Također, postoje razni igrokazi i priče koje djeca mogu dramatizirati uz pomoć naprstaka, poput pjesme ,,Nula” iz MiŠ-a br. 5.

Prsti kao sredstvo i pomagalo za brojenje i prebrojavanje

Osim u službi boljeg razumijevanja pojma broja kroz skupovni model, prsti mogu služiti i kao sredstvo za brojenje i prebrojavanje. Liebeck (1995.) ističe da je brojenje izuzetno složen proces, opisuje ga kroz nekoliko koraka poput učenja brojeva po redu, stvaranja veze između rednog i glavnog broja, prepoznavanja glavnog broja bez brojenja, odnosa ,,za jedan više”, grafičkog prikaza razvrstavanja te održavanja broja. Tijekom svakog ovog aspekta potrebno je koristiti se konkretnim materijalom. Aktivnosti s prstima koje tome mogu pridonijeti su: ,,vesela rukavica”, ,,gusjenica” te aktivnost s drvenim blokovima (slike 7, 8 i 9).

Za ,,veselu rukavicu” (slika 7) potrebna je jedna rukavica te skup predmeta različitih obilježja i količine koje je potrebno razvrstati. Na svaki prst rukavice zapiše se određena brojka, a dijete treba među pomiješanim predmetima pronaći onoliko predmeta koliko je prikazano na prstu te ih postaviti na ili uz prst rukavice. Tom aktivnošću vježba se predmatematička vještina razvrstavanja, ali i učenje brojeva po redu te veza rednog i glavnog broja. Govor pritom može biti, primjerice: ,,dva predmeta na drugi prst” i sl.

,,Gusjenica” (slika 8) je aktivnost koja uključuje slikanje prstima. Djetetu je dodijeljen nastavni listić s redom zapisanim brojevima i glavom gusjenice pokraj svake brojke. Zadatak učenika je prstom naslikati tijelo gusjenice, ovisno o broju koji je zadan na početku reda. Osim što djeca tako uviđaju da ,,tri nečega” čini skup triju elemenata koji označava broj tri, uče i da je skup od tri elementa ,,za jedan više” od skupa dvaju elemenata. Tako se nastavlja proširenje ,,za jedan više” gdje učenik prema duljini oslikane gusjenice ima priliku prebrojiti i povezivati koji je broj za koliko veći.

Aktivnost s drvenim blokovima (slika 9) može biti iskorištena za brojenje i prebrojavanje, ali i za zbrajanje i oduzimanje. Također, osim drvenih blokova mogu se upotrijebiti i Lego kocke. Potrebno je da dijete prepozna količinu na zadanoj kartici te istu količinu prikaže koristeći se drvenim blokovima. Tako dijete razvrstava drvene blokove prema količini, povezuje količinu prikazanu blokovima s istom količinom podignutih prstiju, ponavlja boje, ali i prikazuje povezanost brojeva promatrajući visinu blokova (uspoređivanje). To je prilika gdje se dijete može zapitati ,,koliko drvenih blokova od jedne kocke stane u ovaj veliki drveni blok?”, a uspoređujući visinu, odnos i broj razvrstanih blokova djeca su ,,dok broje, vrlo blizu zbrajanju” (Liebeck, 1995. str. 27).

Prsti kao sredstvo za zbrajanje i oduzimanje

,,Da bi razumjela brojevni izraz $3 + 2 = 5$, djecu valja upoznati s mnogo stvarnih situacija kada se vidi da je tri predmeta i još dva predmeta pet predmeta” (Liebeck, 1995. str. 41). Koristan didaktički materijal, posebice za zbrajanje i oduzimanje do $10$, upravo su prsti. Djeca se mogu koristiti vlastitim prstima, ali i dlanovima napravljenim od filca (slika 10), čiji su prsti savitljivi i gdje lijevi i desni dlan dijeli računska gusjenica.

Nešto jednostavnija inačica odnosi se na rukavice napunjene rižom (slika 11). Tijekom ove aktivnosti djeca mogu bacati dvije igraće kockice i prstima prikazivati brojeve koje treba zbrojiti ili oduzeti te odrediti njihov konačan zbroj ili razliku.

Sljedeća aktivnost je rad s već spomenutim drvenim blokovima (slika 12). Zadatci na karticama prvotno mogu biti zadani u obliku skupa određenog broja elemenata, zatim u obliku dlanova koji prikazuju brojeve koje treba zbrojiti ili oduzeti, a zatim i kao izraz prikazan simbolima. Tako učenik ima priliku postupno prelaziti od različitih vrsta konkretnog prema apstraktnom, dok u jednom trenutku ne odbaci sve konkretne materijale i nastavi računati isključivo prikazivanjem brojki.

Prsti kao pomoć pri bržem množenju

Množenje je matematička operacija višeg stupnja koja je učenicima često izvor problema i gubitka motivacije. Problem nastaje kada učitelji prerano inzistiraju u učenju tablice množenja napamet bez razumijevanja, a dijete još ne povezuje zbrajanje i množenje te ostale veze s brojevima do $100$. Kod automatizacije se učenicima može pokazati kako se prstima koristiti u tu svrhu. Učenici će u tim aktivnostima ponovno osjetiti sigurnost, a rad prstima će s vremenom odbaciti, kako budu automatizirali množenje.

Velik broj učenika u slobodnom razgovoru iznosi da im najčešći problemi tijekom množenja brojeva dolaze prilikom množenja brojem $9$ te tijekom množenja brojevima od šest do deset. Korištenje prstiju kao sredstva za množenje brojem devet učenicima može biti korisno te zabavno: svakom prstu po redu dodijeli se jedan broj, promatrajući ih tako da su dlanovi okrenuti prema dolje (slika 13). Ovisno o tome koji se broj množi brojem devet, taj se prst treba spustiti, a rješenje prikazuju preostali prsti: oni koji su s lijeve strane od spuštenog, prikazuju znamenku desetica rješenja, a oni koji su s desne strane od spuštenog, prikazuju znamenku jedinica u umnošku.

Množenje u kojem su oba faktora brojevi od $6$ do $10$ je učenicima zahtjevnije jer se množi većim brojevima. I ovdje prsti mogu biti dobar oslonac na putu k automatizaciji. Svakom se prstu redom dodjeljuju brojevi od $6$ do $10$ tako da se palcu pridružuje broj $6$, kažiprstu $7$ itd. Jedan dlan prikazuje prvi faktor, a drugi dlan drugi faktor. Zatim se spoje oni prsti ,,čije” brojeve želimo množiti. Primjerice, množimo li brojeve $7$ i $8$, znači da se spaja kažiprst lijeve ruke i srednjak desne (slika 14).

Prsti koji su ispod spojenih, uključujući i spojene, predstavljaju desetice i one se zbrajaju. U našem primjeru ukupno imamo takvih pet prstiju ($3 + 2$), što znači da se radi o $5$ desetica ili broju $50$. Zatim se broj prstiju lijeve ruke koji se nalaze iznad spojenih prstiju množi brojem prstiju desne ruke koji su iznad spojenih prstiju. Njihov se umnožak pribraja dobivenim deseticama. U našem primjeru to je $3\cdot 2 = 6$, pa je umnožak $56$ jer je to $50 + 6$.

Iz navedenih primjera vidljivo je da korištenje prstiju kao konkretnog materijala učenicima može biti i korisno i zabavno. Materijali mogu biti korišteni u različite matematičke svrhe te biti oslonac tijekom rasta i spoznajnog procesa svakog djeteta. Stvari koje su potrebne za izradu ovih materijala lako su dostupne, a priprema istih uglavnom ne zahtijeva mnogo vremena.

Zaključak

Prsti se u tradicionalnoj nastavi ponekad smatraju ,,smetnjom”, no, prilikom uvođenja i usvajanja apstraktnih matematičkih sadržaja u ranom učenju oni itekako mogu biti konkretna pomoć. Kasnije, kada se teži automatizaciji, učenici će ih odbaciti, a učitelji naglasak stavljati na apstraktnije zadatke, pogotovo kod računanja s većim brojevima. No, ne zaboravimo da se taj prijelaz s konkretnog prema apstraktnome kod svakog učenika događa individualno i ne u isto vrijeme. Također, nekim će učenicima za spoznaje više odgovarati neke aktivnosti, a drugima neke druge aktivnosti. Stoga je u ovom radu navedeno više različitih primjera korištenja prstiju prilikom ranog učenja matematičkih koncepata. Osim toga, danas, u dobu digitalnih naprava s ekranima osjetljivima na dodir, sve se više naglasak stavlja na školske i predškolske aktivnosti koje potiču finu motoriku, dakle – rad prstima.

Literatura

1. I. Borovac i H. P. Mrčela (2017.): Životinjska brojalica, Turistička naklada d.o.o., Zagreb.
2. Društvo Naša djeca ,,Osmijeh” Rajić (2021.)
   https://sites.google.com/site/dndosmijehrajic/zabavni-kutak-1/brojalice
   (pristupljeno: prosinac 2021).
3. e-kako portal (2011.): Kako množiti pomoću prstiju s brojem 9?
   https://www.youtube.com/watch?v=u1srdQRhtTc
   (pristupljeno: prosinac 2021).
4. D. Glasnović Gracin (2010.): Predmatematičke vještine, Matematika i škola, 55(3), 200-205.
5. D. Glasnović Gracin i L. Stepanić (2019.): Pojam broja – aktivnosti u predškoli i prvom razredu, Matematika i škola, 98(8), 120-124.
6. D. Glasnović Gracin (2013.): Predškolsko dijete i matematika, Matematika i škola, 69(2), 148-152.
7. M. Jung, P. Hartman, T. Smith i S. Wallace (2013.): The Effectiveness of Teaching Number Relationships in Preschool, International Journal of Instruction, 6(1), 165-178.
8. P. Liebeck (1995.): Kako djeca uče matematiku, Educa, Zagreb.
9. Mind Your Decisions (2015.): Always Remember Your Times Table (6 to 10) Using Finger Multiplication,
   https://www.youtube.com/watch?v=eEao6-F7fz8
   (pristupljeno: prosinac 2021).
10. M. Pitamic (2013.): Montessori igre i aktivnosti za bebe i djecu u ranoj dobi, Mozaik knjiga, Zagreb.
11. M. Sharma (2001.): Matematika bez suza, Ostvarenje d.o.o., Lekenik
12. P. Vučko (2022.): Dječji prsti kao didaktičko sredstvo u učenju matematičkih sadržaja, diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Učiteljski fakultet.
13. Zlatna djeca (2012.): Zlatna djeca, http://www.zlatnadjeca.com/2012/02/brojalice-na-prste.html
    (pristupljeno: prosinac 2021).

---