Vjerojatnost u razrednoj nastavi matematike
– iz aspekta udžbenika

Uvod

Ishodi iz vjerojatnosti u razrednoj nastavi

RAZRED	ODGOJNO-OBRAZOVNI ISHOD	RAZRADA ISHODA
2.	MAT OŠ E.2.2. Određuje je li neki događaj moguć ili nemoguć.	U različitim situacijama predviđa moguće i nemoguće događaje. Objašnjava zašto je neki događaj (ne)moguć.
4.	MAT OŠ E.4.2. Opisuje vjerojatnost događaja.	U razgovoru iskazuje mogućnosti. Uspoređuje ishode riječima vjerojatniji, manje vjerojatan, najvjerojatniji.

1. stupanj – učenici predviđaju vjerojatnost na temelju subjektivnog doživljaja
2. stupanj – učenici predviđaju najvjerojatnije i najmanje vjerojatne događaje
3. stupanj – učenici točno predviđaju vjerojatnost događaja te pritom upotrebljavaju brojeve
4. stupanj – učenici određuju točnu vjerojatnost događaja.

Vrste matematičkih zadataka

Analiza udžbeničkih zadataka

UDŽBENIK 2. r. šifra	udio zadataka iz vjerojatnosti u uk. broju zadataka	BROJ ZADATAKA SA SADRŽAJEM IZ VJEROJATNOSTI
		moguć događaj	nemoguć događaj	uspoređivanje vjerojatnosti	siguran događaj	provođenje istraživanja
U1-2r	8/958	7	7	1	6	0
U2-2r	1/957	1	1	0	0	0
U3-2r	6/846	6	4	0	3	0
U4-2r	2/839	2	2	0	0	0
U5-2r	3/469	3	3	0	0	0
U6-2r	6/365	6	6	0	0	0

UDŽBENIK 4. r. šifra	udio zadataka iz vjerojatnosti u uk. broju zadataka	BROJ ZADATAKA SA SADRŽAJEM IZ VJEROJTANOSTI
		moguć događaj	nemoguć događaj	uspoređivanje vjerojatnosti	siguran događaj	provođenje istraživanja
U1-4r	11/685	7	8	4	6	2
U2-4r	7/738	2	2	6	1	0
U3-4r	1/661	0	0	1	0	0
U4-4r	3/697	3	3	2	2	0
U5-4r	13/467	9	7	8	9	0
U6-4r	9/270	3	3	6	3	0

VRSTE ZADATAKA		ŠIFRA
PREMA AKTIVNOSTI	računanje i uspoređivanje	A1
	prikazivanje	A2
	interpretiranje	A3
	argumentiranje	A4
PREMA SLOŽENOSTI	jednostavni zadatci	S1
	zadatci povezivanja	S2
	refleksija i složenija povezivanja	S3
PREMA VRSTI ODGOVORA	zatvorenog tipa	O1
	otvorenog tipa	O2
PREMA KONTEKSTU	unutarmatematički zadatci	K1
	realistični zadatci	K2
	autentični zadatci	K3

UDŽBENIK 2. r. šifra	udio zadataka iz vjerojatnosti u uk. broju zadataka	BROJ ZADATAKA IZ VJEROJATNOSTI PREMA VRSTAMA ZADATAKA
		A1	A2	A3	A4	S1	S2	S3	O1	O2	K1	K2	K3
U1-2r	8/958	0	1	4	6	5	3	0	4	4	0	6	2
U2-2r	1/957	1	1	1	0	0	1	0	1	0	0	0	1
U3-2r	6/846	3	0	2	5	3	3	0	0	6	1	5	0
U4-2r	2/839	1	0	1	2	1	1	0	0	2	0	2	0
U5-2r	3/469	0	0	0	3	3	0	0	0	3	0	2	1
U6-2r	6/365	1	1	3	1	4	2	0	5	1	0	6	0

UDŽBENIK 4. r. šifra	udio zadataka iz vjerojatnosti u uk. broju zadataka	BROJ ZADATAKA IZ VJEROJATNOSTI PREMA VRSTAMA ZADATAKA
		A1	A2	A3	A4	S1	S2	S3	O1	O2	K1	K2	K3
U1-4r	11/685	2	0	2	10	8	3	0	0	11	0	6	5
U2-4r	7/738	5	0	0	5	4	3	0	2	5	1	6	0
U3-4r	1/661	1	0	1	1	0	1	0	0	1	0	0	1
U4-4r	3/697	0	0	0	3	3	0	0	1	2	0	2	1
U5-4r	13/467	0	0	7	7	11	2	0	8	5	0	11	2
U6-4r	9/270	1	4	2	9	4	4	1	1	8	1	7	1

Zaključak

Primjeri aktivnosti

1. Nacrtaj situaciju u kojoj je moguće izvući plavu kuglicu. Zatim nacrtaj još tri slike situacija u kojima je moguće izvući plavu kuglicu, ali da se situacije matematički razlikuju. Po čemu se slike razlikuju? Što sve možeš mijenjati na crtežu, ali tako da uvijek bude moguće izvući plavu kuglicu? Što mora ostati isto?
2. Nacrtaj situaciju u kojoj je nemoguće izvući zelenu kuglicu. Zatim nacrtaj još tri slike situacija u kojima je nemoguće izvući zelenu kuglicu, ali da se situacije razlikuju. Po čemu se slike razlikuju? Što sve možeš mijenjati na crtežu, ali tako da uvijek bude nemoguće izvući zelenu kuglicu? Što mora ostati isto?
3. Nacrtaj situaciju u kojoj ćeš sigurno izvući crvenu kuglicu. Zatim nacrtaj još tri slike situacija u kojima ćeš sigurno izvući crvenu kuglicu, ali da se situacije razlikuju. Po čemu se slike razlikuju? Što sve možeš mijenjati na crtežu, ali tako da uvijek bude sigurno da ćeš izvući crvenu kuglicu? Što mora ostati isto?
4. Nacrtaj dvije slike situacija tako da na svakoj bude vjerojatnije da se izvuče bijela nego crna kuglica. Objasni na što trebaš paziti, a što se može mijenjati.
5. Nacrtaj sliku situacije tako da bude najmanje vjerojatno da se iz kutije izvuče crvena kuglica, najviše vjerojatno da se izvuče zelena, ali da bude moguće izvući i bijelu i crnu kuglicu. Zatim nacrtaj još jedan primjer za koji vrijede uvjeti iz prethodne rečenice. Objasni na što trebaš paziti, a što se može mijenjati. Koja je razlika, a koja sličnost između vjerojatno i najmanje vjerojatno?
6. Od nacrtanih slika iz ovog zadatka napravi plakat ili strip s različitim mogućnostima. Ispod slika stavi objašnjenja ili zadatke za čitatelje.

1. Pogledaj slike pa za svaku procijeni koliko je bijelih, a koliko crvenih kuglica. Je li vjerojatnije da na pojedinoj slici bez gledanja izvučeš bijelu ili crvenu kuglicu? Objasni.

2. Oboji kuglice tako da je na svakoj slici jednako vjerojatno izvući bijelu ili plavu kuglicu. Objasni zašto.

1. Prije bacanja kocke: Što misliš, pojavljuje li se bacanjem igraće kocke neki broj češće od drugih? Što misliš, je li vjerojatnije da ćeš dobiti 6 ili 3? Što misliš, je li vjerojatnije da ćeš dobiti 1 ili 5? Objasni zašto tako misliš.
   Aktivnosti: (i) Bacaj igraću kocku 30 puta zaredom i bilježi koliko je puta pao koji broj. Možeš uključiti i svoje ukućane u aktivnost. Možeš li donijeti neke zaključke iz rezultata? Usporedi svoje rezultate s ostalim prijateljima u razredu.
   (ii) Zatim u razredu zbrojite sva pojavljivanja po pojedinom broju, tj. pronađite ukupan broj pojavljivanja broja 1, broja 2 itd. za vaš razred. Što primjećuješ? Razlikuju li se zaključci u odnosu na tvoje ranije zaključke i razmišljanja?
   (iii) Zatim u cijeloj generaciji učenika tvoje škole (npr. 4.a, 4.b i 4.c) zbrojite sva pojavljivanja po pojedinom broju, tj. pronađite ukupan broj pojavljivanja broja 1, broja 2 itd. za sve četvrte razrede.
   Diskusija: Što primjećuješ? Razlikuju li se zaključci u odnosu na tvoje ranije zaključke i razmišljanja?
2. Može se organizirati slična aktivnost kao pod a), ali s bacanjem novčića (pismo/glava), izvlačenjem kuglica, karata ili okretanjem kola sreće.
3. Početna aktivnost: Učenici bacaju dvije igraće kocke i zbrajaju dobivene brojeve. Raspravljaju o tome koje je zbrojeve nemoguće dobiti, a koje je zbrojeve moguće dobiti.
   Igra: Zatim igraju igru s pijunima i pločom u kojoj svaki učenik odabire jedan broj (mogu odabrati i jednake brojeve). Učenik čiji je odabrani broj jednak zbroju brojeva na kockicama pomiče se za jedno mjesto na ploči. Pobjednik je onaj učenik koji prvi dođe do cilja.
   Diskusija: Provodi se diskusija o tome je li svaki zbroj od 2 do 12 jednako vjerojatan (da će pasti) ili su neki zbrojevi više/manje vjerojatniji od drugih. Učenici obrazlažu svoja mišljenja.
   Istraživanje: Poput aktivnosti iz Primjera 4 učenici bacaju par kocaka mnogo puta i uvjeravaju se koji su ishodi najpovoljniji za pobjedu u igri. Bacanje para kocaka može se opet odvijati na razini razreda ili cijele generacije učenika. Važno je da se par kocaka baci zaista mnogo puta.
   
   

1. Zamisli da u kutiji imaš tri kuglice kao na slici. Što je vjerojatnije, koju ćeš izvući?

Zamisli da izvučeš jednu kuglicu, a kada ju izvučeš, ne vraćaš ju natrag u kutiju, već ti ostanu dvije. Što je sada vjerojatnije, koju ćeš izvući? To naravno ovisi o tome koja je kuglica izvučena prva. Pogledajmo sljedeću sliku mogućnosti izvlačenja kuglica:

Opiši ovu sliku uz vježbanje pojmova vjerojatno, vjerojatnije, sigurno i sl.

Oboji put više vjerojatnijih događaja, od početka do prazne kutije. U slučaju da je negdje jednako vjerojatno, oboji oba puta.

2. Pogledaj sljedeće slike i na isti način kao u a) zadatku nacrtaj sve mogućnosti kako doći do prazne kutije uz izvlačenje jedne po jedne kuglice bez vraćanja – za svaku zadanu sliku. Zatim daj prijatelju da opiše sliku.

Literatura

1. Glasnović Gracin D. (2018): Requirements in mathematics textbooks: a five-dimensional analysis of textbook exercises and examples, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 49(7), 1003–1024.
2. Glasnović Gracin, D. i Domović, V. (2009). Upotreba matematičkih udžbenika u nastavi viših razreda osnovne škole. Odgojne znanosti, 11, 297–317.
3. Henningsen, M. i Stein, M. (1997). Mathematical tasks and student’s cognition: Classroom-based factors that support and inhibit high-level mathematical thinking and reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, 28(5), 524–549.
4. Huzak, M. (2005). Vjerojatnost u osnovnoj školi. Poučak – časopis za metodiku i nastavu matematike, 6(23), 36–38.
5. Krljan, I. (2023). Sadržaj statistike i vjerojatnosti u matematičkim udžbenicima u primarnom obrazovanju, Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Učiteljski fakultet.
6. Kurnik, Z. (2000). Matematički zadatak. Matematika i škola, 7, 51–58.
7. Love, E. i Pimm, D. (1996).“This is so”: a text on texts. In A. J. Bishop, K. Clements, C. Keitel, J. Kilpatrick i C. Laborde (Eds.), International handbook of mathematics education, Vol. 1. (pp. 371–409). Dordrecht: Kluwer.
8. Ministarstvo znanosti i obrazovanja (2019). Kurikulum nastavnog predmeta Matematika za osnovne škole i gimnazije. Zagreb.
9. Loparić, S. (2019). Vjerojatnost i statistika – zašto, kada, kako?. Poučak – časopis za metodiku i nastavu matematike, 20(80), 45–51.
10. Polaki, M. V. (2002.). Using instruction to identify key features of basotho elementary students’ growth in probabilistic thinking. Mathematical Thinking and Learning, 4(4), 285–313.
11. Soucie, T. (2011). Vjerojatnost u nižim razredima osnovne škole. Poučak – časopis za metodiku i nastavu matematike, 12(47), 34–43.
12. Sullivan, P., Clarke, D. M. i Clarke, B. A. (2013). Teaching with tasks for effective mathematics learning. Springer.
13. Zakon o udžbenicima i drugim obrazovnim materijalima za osnovnu i srednju školu (NN 116/2018-2288).
    https://narodne-novine.nn.hr/clanci/sluzbeni/2018_12_116_2288.html

---