U ovom malom prilogu predstavit ćemo približnu konstrukciju broja $\pi$ njemačkog biskupa, filozofa i matematičara Nicolausa Cusanusa (Nicolaus Chryppfs fra Kues an der Mosel, 1401. – 1464.). Naime, rješavajući problem konstrukcije polumjera kružnice čiji je opseg jednak duljini zadane dužine, dobio je kao rezultat algebarski izraz koji je približno jednak $\pi$.
Neka je zadana dužina duljine $1$. Polumjer kružnice čiji je opseg jednak upravo duljini te dužine iznosi $r=\dfrac1{2\pi}$.
Konstrukcija traženog polumjera slijedi iz sljedeće analize. Neka je $ABC$ jednakostranični trokut čiji je opseg $o$ jednak $\dfrac12$. Tada je duljina stranice $\overline{AB}$ tog trokuta $$|AB|=\dfrac{o}3=\dfrac{\dfrac12}3=\dfrac16.$$ Neka je točka $M$ središte opisane i upisane kružnice tog trokuta (vidi sliku 1). Prema teoremu o težištu trokuta vrijedi $$|MD|=\dfrac13|CD|=\dfrac13\cdot\dfrac12|AB|\sqrt3=\dfrac16\cdot\dfrac16\cdot\sqrt3=\dfrac{\sqrt3}{36}.$$
Neka je točka $P$ polovište dužine $\overline{AD}$. Stoga je $|AP|=|PD|=\dfrac14|AB|=\dfrac14\cdot\dfrac16=\dfrac1{24}$.
Točkama $M$ i $P$ povucimo pravac $p$ i na njemu odaberimo točku $Q$ izvan trokuta $ABC$ tako da je $|PQ|=\dfrac14|MP|$ (slika 1).
Sad je $|MQ|=|MP|+|PQ|$, tj. $$\begin{align}|MQ|^2&=(|MP|+|PQ|)^2=\left(|MP|+\dfrac14|MP|\right)^2=\dfrac{25}{16}|MP|^2\\ &=\dfrac{25}{16}(|PD|^2+|MD|^2)=\dfrac{25}{16}\left[\left(\dfrac1{24}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{36}\right)^2\right].\end{align}$$ Nakon kraćeg računa dobivamo $$|MQ|=\dfrac{5\sqrt{21}}{288},$$ tj. $2|MQ|=\dfrac{5\sqrt21}{144}\approx0.159117212.$ Kružnica s polumjerom $2|MQ|$ ima opseg približno $1$ te iz toga slijedi da je $\pi\approx\dfrac{1}{4|MQ|}= 3.14233…$ što je aproksimacija broja $\pi$ na dvije decimale, a taj se algebarski izraz lako može konstruirati.
Literatura
- H. Fuchs (2006.): Nicolaus Cusanus Berechnug von $\pi$, Monoid, Mathematikblatt für Mitdenker, Heft 87, Johanes-Gutemberg Universität Mainz am Rhein