Krug, kvadrat, trokut – više od igre

Krug

Promotrimo sliku. Na slici je pet identičnih polukrugova. Izračunajte promjer jednog polukruga.

S obzirom na to da su svi polukrugovi identični, označimo s $x$ promjer jednog od njih. Zatim, gornji i donji dio slike promatramo kao dvije strane jednadžbe jer su istih duljina. Tada dobivamo: $$x + 12 + x + 12+x  = 22 + x + 16 + x + 22.$$ Nakon pojednostavnjivanja dobivamo: $$\begin{align}3x + 24 &= 2x + 60\\ x + 24 &= 60.\end{align}$$ Dobiveni promjer: $$x=36\text{ jediničnih dužina.}$$

Jedna od zanimljivih stvari u matematici jest što postoji mnogo načina za rješavanje određenog problema. Nažalost, neki učitelji traže da se određeni zadatci računaju na točno određeni način, što učenicima otežava izražavanje jer neku metodu razumiju bolje, a neku lošije.

Probajte pronaći i drugi način.

Pomaknimo dva donja polukruga ulijevo i udesno tako da s dva gornja čine krugove. To bi trebalo rezultirati slikom Krug – Polukrug – Krug. Razmak između ruba lijevog i desnog kruga računamo kao $16 + 22 + 22$. Taj razmak odgovara duljini promjera srednjeg polukruga uvećanog za $12+12$. Iz toga zaključujemo da je promjer jednak $(16 + 22 + 22) – (12 + 12) = 60 – 24 = 36$ jediničnih dužina.

Trokut

Promotrimo sliku koja prikazuje četiri trokutaste formacije u nizu.

Potrebno je popuniti donju tablicu. Pronađite ukupan broj plavih i bijelih trokuta te izračunajte postotak plavih trokuta u 250. formaciji u nizu.

Formacija	1.	2.	3.	4.	5.
Bijeli	1	1	6	6
Plavi	0	3	3	10
Ukupno

Ako pažljivo pogledamo, na vrhu svih formacija nalazi se jedan bijeli trokut, nakon toga primjećujemo $3$ plava trokuta, zatim $5$ bijelih trokuta i tako dalje. To znači da svaki sljedeći redak ima $2$ trokuta više od onog iznad njega. To je naš prvi uzorak.

Sada pogledajmo prvi korak koji nam je potreban da bismo shvatili kako popuniti zadanu tablicu.

Za početak upišimo ukupan broj:

Formacija	1.	2.	3.	4.	5.
Bijeli	1	1	6	6
Plavi	0	3	3	10
Ukupno	1	4	9	16

Kada smo završili s lakšim dijelom zadatka, moramo pronaći broj bijelih trokuta na 5. formaciji. Ako pogledamo 4. formaciju, posljednji redak je plav i ima $7$ trokuta. To znači da će na 5. formaciji sljedeći redak biti bijel, što znači da će imati $(7 + 2) = 9$ trokuta. Dakle, ukupan broj bijelih trokuta na 5. formaciji bit će: $6 \text{ (ukupan broj bijelih trokuta na slici 4)} + 9 = 15$. Budući da je dodana samo jedna nova bijela linija, broj plavih trokuta bit će isti kao za 4. formaciju, što je $10$. Stoga konačni rezultat bit će $15 + 10 = 25$.

Potpuna tablica izgledat će ovako:

Formacija	1.	2.	3.	4.	5.
Bijeli	1	1	6	6	15
Plavi	0	3	3	10	10
Ukupno	1	4	9	16	25

Sada prijeđimo na sljedeći dio zadatka – pronalaženje ukupnog broja plavih i bijelih trokuta za 250. formaciju. Primijetite da množenje broja formacije samim sobom daje ukupan broj trokuta. To znači, za 2. formaciju: $2 \cdot 2 = 4$, za 3. formaciju: $3 \cdot 3 = 9$, te za 4. formaciju: $4 \cdot 4 = 16$. Dakle, za 250. formaciju ukupan broj trokuta bio bi $250 \cdot 250 = 62\,500$. Sad za posljednji dio zadatka moramo pronaći postotak plavih trokuta na 250. formaciji. Ponovno pogledajmo sliku s početka zadatka. Vidimo da 1. i 3. formacija imaju više bijelih trokuta, a 2. i 4. formacija imaju više plavih trokuta. To znači da će neparne formacije imati više bijelih trokuta, a parne formacije više plavih trokuta. Budući da je 250 paran broj, ta će formacija imati više plavih trokuta.

No, koliko ih je još? Pogledajmo ponovno sliku s početka zadatka. U 2. formaciji razlika između broja bijelih trokuta (1) i plavih trokuta (3) je $2$ ($3 – 1$). Na 3. formaciji razlika između bijelih (6) i plavih (3) trokuta je $3$. Sličan uzorak vidimo i za 4. i 5. formaciju. To znači da će za 250. formaciju razlika između bijelih i plavih trokuta biti $250$. U redu, sada prikupimo sve informacije koje znamo za 250. formaciju na jednom mjestu. Znamo da je ukupan broj trokuta $62\,500$, da je više plavih nego bijelih trokuta te razlika između plavih i bijelih trokuta iznosi $250$. Dakle, možemo zaključiti: $\text{plavi trokuti} + \text{bijeli trokuti} = 62\,500$. Budući da znamo kako je razlika između plavih i bijelih trokuta $250$, možemo reći kako je plavih trokuta za 250 više nego bijelih trokuta. Stoga možemo pisati $(250 + \text{bijeli trokut}) + \text{bijeli trokuti} = 62\,500$. Dakle, broj bijelih trokuta bio bi $(62\,500 – 250) : 2 = 31\,125$, a broj plavih trokuta bio bi $31\,125 + 250 = 31\,375$.

Napravimo provjeru kako bismo vidjeli jesu li naši izračuni točni.

Izračunali smo da bi $250.$ formacija imala $31\,375$ plavih trokuta i $31\,125$ bijelih trokuta, što bi ukupno trebalo biti $62\,500$. To je točno, pa smo sigurni da smo na pravom putu! Sada izračunajmo postotak plavih trokuta: $\dfrac{\text{ukupan broj plavih trokuta}}{\text{ ukupan broj trokuta}} = 0.502=50.2\%.$

Kvadrat

Egipatskim se trokutom naziva pravokutni trokut čije su katete duljine $3$ i $4$, a hipotenuza duljine $5$. Nagađa se kako su upotrebom užeta podijeljenog na $12$ dijelova s pomoću čvorova stari Egipćani konstruirali egipatski trokut, a time i pravi kut te ga primjenjivali u daljnjim konstrukcijama.

Odredimo površinu kvadrata $DEFG$ upisanog u pravokutni trokut $ABC$ (vidi sliku).

Pravokutni trokut $ABC$ je egipatski trokut jer su mu katete dugačke $3$ i $4$ jedinične dužine. Onda je duljina hipotenuze sigurno $5$ jediničnih dužina, tj. $|AC| = 5$ jediničnih dužina. Naravno, do ovoga svakako možemo doći primjenom Pitagorina poučka. Prisjetimo se, to je jedan od osnovnih teorema geometrije, a glasi: površina kvadrata nad hipotenuzom pravokutnog trokuta jednaka je zbroju površina kvadrata nad katetama. Sa slike je jasno da su duljine kateta $|AB|$ i $|BC|$, pa možemo zapisati $$|AB|^2+|BC|^2=4^2+3^2=25=|AC|^2$$ pa je $|AC|=5$. Došli smo na trag starih Egipćana.

Budući da je trokut označen nestandardno ($B$ je vrh pravog kuta), kut trokuta $ABC$ u vrhu $A$ označit ćemo s $\alpha$, a kut s vrhom $C$ označit ćemo s $\beta$. Sada možemo uočiti da su $\alpha$ i $\beta$ komplementarni kutovi te vrijedi $$\alpha+\beta=90 ^\circ.$$

Istaknimo na slici $\alpha$, pravi kut i $\beta$. Promotrimo trokut $AFG$. Kako je pravi kut pri vrhu $G$, onda je očito da je $\beta$ pri vrhu $F$. Sada promotrimo trokut $CDE$. Kako je pravi kut pri vrhu $D$, onda je očito da je $\alpha$ pri vrhu $E$. Konačno, pri vrhu $F$ imamo već označene kutove $\beta$ i pravi kut, pa je stoga u desnom trokutu kut pri vrhu $F$ jednak $\alpha$. Kako je u trokutu $FBE$ pravi kut pri vrhu $B$, onda je $\beta$ kut pri vrhu $E$.

Prema teoremu K-K-K o sličnosti trokuta trokuti $ABC$, $EDC$ i $FBE$ su slični.

Zbog sličnosti trokuta $ABC$ i $FBE$ možemo pisati:$$|FE|=p\cdot|AC|=5p,\hskip1cm |FB|=p\cdot|AB|=4p,\hskip1cm |BE|=p\cdot|BC|=3p$$ gdje je $p$ koeficijent proporcionalnosti.

Također, zbog sličnosti trokuta $ABC$ i $EDC$ vrijedi $$|ED|=q\cdot|AB|=4q,\hskip1cm |DC|=q\cdot|BC|=3q,\hskip1cm |EC|=q\cdot|AC|=5q$$ gdje je $q$ koeficijent proporcionalnosti.

S obzirom na to da je $DEFG$ kvadrat, sve četiri stranice su mu jednake duljine pa je $5p = 4q$, tj. $p:q=4:5$. Znači, postoji koeficijent $k$ takav da je $p=4k$, $q=5k$. Stranica kvadrata sad iznosi $20k$.

Vratimo se na trokut $FBE$. Budući da je $p=4k$, a $|FB|=4p$ slijedi $|FB|=16k$, a iz $|BE|=3p$ slijedi $|BE|=12k$.

Vratimo se na trokut $EDC$. Budući da je $q=5k$, a $|EC|=5q$ slijedi $|EC|=25k$, a iz $|BC|=3q$ slijedi $|BC|=15k$.

Konačno, cijelu duljinu $|BC|$ možemo izraziti ovako $$3=12k + 25 k = 37k,$$ te proizlazi $$k=\dfrac{3}{37}.$$

Također, znamo da je stranica kvadrata $DEFG$ jednaka $20k$, te proizlazi $$20k = \frac{60}{37}.$$

Znači, stranica kvadrata $DEFG$ iznosi $\dfrac{60}{37}$ jedinične dužine. Zadnji je korak izračunavanje površine samog kvadrata. Površina kvadrata jednaka je umnošku duljina njegovih susjednih stranica, pa je $$P=\left(\frac{60}{37}\right)^2=\frac{3600}{1369}\approx 2.63\text{ kvadratnih jediničnih dužina.}$$

Vjerujem da je bilo zanimljivo putovanje ovim zadatkom.

---