Učenje matematike već u razrednoj nastavi često predstavlja izazov i za učenike, ali i za učitelje. Upravo učitelji razredne nastave trebaju postaviti temelje za razumijevanje matematičkih pojmova i čine važnu kariku u oblikovanju učenikova stava prema matematici. Stoga je korisno i važno istražiti stavove i iskustva učitelja razredne nastave o tome kako pristupaju poučavanju matematike. Ova se tema u članku razmatra iz perspektive načela poučavanja matematike.
Uvod
Načela u nastavi matematike odnose se na temeljne ideje na osnovi kojih se izvodi uspješna nastava matematike. Budući da su matematički sadržaji, iako logički povezani, učenicima često zahtjevni i apstraktni, učitelji nastoje olakšati njihovo razumijevanje primjenom različitih načela svojstvenih nastavi matematike: načelo primjerenosti, načelo zornosti, načelo interesa i vlastite aktivnosti, načelo znanstvenosti, načelo individualizacije, načelo postupnosti, načelo trajnosti znanja, vještina i navika, načelo problemnosti te načelo objektivne realnosti (Markovac, 2001; Kurnik, 2009a). Načelo primjerenosti podrazumijeva da pred učenike treba postavljati zahtjeve koji se mogu ispuniti uz optimalni umni napor, odnosno, učenike treba staviti pred njima primjerene probleme jer prelagani, kao i preteški zahtjevi smanjuju učeničku motivaciju (Markovac, 2001; Kurnik 2009a). Načelo zornosti primjenjuje se u svim situacijama kada se apstraktni matematički sadržaj konkretizira sa svrhom da bude dostupan osjetilnom spoznavanju (vizualno, akustično i taktilno) jer u spoznajnom aparatu učenika nižih razreda osnovne škole još uvijek prevladava percepcija(Markovac, 2001). Načelo interesa i vlastite aktivnosti temelji se na preduvjetu da bez aktivnosti nema učenja (Markovac, 2001) te da nastava treba biti takva da kod učenika pobudi interes prema nastavnom predmetu (Kurnik, 2010a). Načelo znanstvenosti uspostavlja vezu između matematike kao nastavnog predmeta i matematike kao znanosti, a ostvaruje se postupnom i primjerenom upotrebom osnovnih znanstvenih metoda, uključujući analizu i sintezu, analogiju, apstrakciju i konkretizaciju, indukciju i dedukciju, generalizaciju i specijalizaciju. Ovo načelo od učitelja zahtijeva da učenike upozna s matematičkim konceptima i u njihovom mišljenju formira one matematičke pojmove koji su danas znanstveno potvrđeni (Kurnik, 2009b). Načelo individualizacije zahtijeva učiteljevo poznavanje individualnih razlika među učenicima te prilagođavanje uvjeta učenja mogućnostima svakog pojedinog učenika koliko god je to moguće, pri čemu se u obzir uzimaju predznanje i intelektualne sposobnosti učenika (Markovac, 2001). Načelo postupnosti odnosi se na postupnost procesa usvajanja matematičkih sadržaja, a ostvaruje se u skladu s didaktičkim pravilima od jednostavnog prema složenom, od poznatog k nepoznatom, od konkretnog prema apstraktnom. Ovo je načelo uvjetovano psihološkom činjenicom da se određeni matematički koncept ne može shvatiti i usvojiti, a da se prethodno nisu usvojili raniji relevantni sadržaji (Markovac, 2001). Načelo trajnosti znanja, vještina i navika zahtijeva da se usvojeno znanje što duže zadrži u pamćenju učenika, što se osigurava pažljivim odabirom metoda, postupaka, materijala i oblika nastave te verbalizacijom i argumentacijom u svakoj nastavnoj fazi (Markovac, 2001). Načelo problemnosti zahtijeva od učitelja da stvori problemsku situaciju u kojoj učenici sami rješavaju zadani problem pri čemu (bar) jedna komponenta te problemske situacije nije poznata (Kurnik, 2002). Načelo objektivne realnosti u nastavi matematike ističe da se matematički pojmovi trebaju povezivati s realnim situacijama iz kojih proizlaze kvantitativni odnosi. Kada učenici pojmove uče na konkretnim i životnim primjerima, lakše razumiju njihovo značenje, matematički zapis i primjenu u stvarnosti (Markovac, 2001).
Primjena ovih načela doprinosi stvaralačkom mišljenju i stvaralačkim sposobnostima učenika (Kurnik, 2002). Osim toga, ova načela nisu hijerarhijski uređena, što znači da su sva podjednako važna te se u nastavi matematike trebaju jednako uvažavati i primjenjivati. Štoviše, ona se međusobno nadopunjuju i simultano realiziraju te se nerijetko ostvarivanjem jednog načela ostvaruje i neko drugo načelo ili više njih, a povreda jednog načela često znači i povredu drugih (Markovac, 2001; Kurnik, 2009a). U praksi se načela ostvaruju primjenom različitih metoda rada, oblika rada, primjenom osnovnih znanstvenih metoda te rješavanjem različitih vrsta matematičkih zadataka (Markovac, 2001; Kurnik, 2009b).
Načela u nastavi matematike dobro su poznata učiteljima razredne nastave jer predstavljaju polazište za strukturiranje i izvođenje nastave. Iako su u metodičkoj literaturi ta načela detaljno opisana, u praksi je rijetkost pronaći kvalitativna istraživanja koja prikazuju kako učitelji razredne nastave doživljavaju i implementiraju ta načela u svojoj praksi. Kvalitativni pristup otkriva razne načine na koje učitelji primjenjuju načela i tako nudi dublje uvide u primjere stvarnih nastavnih situacija koje mogu poslužiti drugim učiteljima u osmišljavanju vlastitih aktivnosti kojima će potaknuti aktivno uključivanje učenika u nastavu.
Cilj istraživanja i istraživačka pitanja
Polazeći od uloge metodičkih načela u oblikovanju nastave matematike, cilj ovog rada bio je istražiti kako učitelji razredne nastave pristupaju poučavanju matematike[1], odnosno koji njihovi postupci doprinose uključenosti učenika u učenje (Fredricks i sur., 2004) te njihovoj autonomnoj motivaciji (Assor i sur., 2002; Ryan i Deci, 2017).
U okviru navedenog cilja postavljena su sljedeća istraživačka pitanja: (1) Na koji način učitelji razredne nastave primjenjuju metodička načela u službi razumijevanja matematičkih sadržaja? (2) Na koji način primjenjuju metodička načela u poticanju aktivnosti i samostalnosti učenika na satu matematike?
Dobiveni odgovori pružit će dublji uvid u načine na koje učitelji ostvaruju metodička načela u svakodnevnom poučavanju matematike s ciljem poticanja razumijevanja te aktivnosti i samostalnosti učenika.
[1] Ovaj rad temelji se na diplomskom radu kolegice Stelle Novak “Pristup poučavanju matematike i uključenost učenika u učenje matematike iz perspektive učitelja razredne nastave” koji je izrađen pod mentorstvom izv. prof. dr. sc. Darie Rovan i izv. prof. dr. sc. Dubravke Glasnović Gracin 2025. godine na Učiteljskom fakultetu Sveučilišta u Zagrebu.
Metoda
U istraživanju se primjenjuje kvalitativni pristup. Provedeni su polustrukturirani intervjui s pitanjima otvorenoga tipa koja su se odnosila na uključenost učenika u nastavu matematike iz perspektive učitelja razredne nastave te na pristupe poučavanju matematike. Sudjelovalo je deset učiteljica razredne nastave s područja Zagreba i Zagrebačke županije. Sudionice su bile upoznate sa svrhom istraživanja, zaštitom identiteta i povjerljivošću podataka. Intervjui su prikupljeni u obliku zvučnih zapisa, transkribirani i analizirani tematskom analizom, pri čemu su izdvojene ključne teme u odgovorima sudionica koje se mogu povezati s načelima nastave matematike.
Rezultati
Poticanje razumijevanja matematičkih sadržaja
Odgovori na prvo istraživačko pitanje pružili su uvid u načine na koje učitelji razredne nastave primjenjuju metodička načela u poticanju razumijevanja matematičkih sadržaja kao oblika kognitivne uključenosti učenika u učenje (Fredricks i sur., 2004).
Najčešće spomenuto načelo jest načelo zornosti, što je u skladu s dobi učenika u razrednoj nastavi. Učiteljice su naglasile upotrebu konkretnih materijala i ostalih sredstava u nastavi. Primjerice, jedna od učiteljica (ispitanica I2) naglasila je upotrebu vlastitog tijela kao vage kako bi potaknula i učeničku pažnju i razumijevanje:
Znači, zadatak riječima, sad kad sam u prvom razredu, sad kad krenem zadatke riječima, ja sve zadatke crtam. Znači, crtam im na ploči da oni vide. Imamo kamenčiće, imamo štapiće. Bilo šta. Sad smo, kad smo baš krenuli s tim zbrajanjem i oduzimanjem, obične bojice i flomasteri. Vagu. Kako ću im objasniti jednako? Ja sam vaga. I oni mi stavljaju na ruku flomaster, toliko su stavili na ovu ruku. I sad znaš, ako su na ovu stavili manje, onda ti ja idem ono, naginjem se i tako. (I2)
Četiri su učiteljice navele izmjenu, to jest raznolikost nastavnih metoda i oblika rada kao postupak kojim potiču razumijevanje kod svojih učenika, čime osiguravaju ostvarivanje matematičkih načela. U konkretnom primjeru ostvaruje se načelo interesa i vlastite aktivnosti jer učenici grafičkom aktivnosti (crtanjem) prikazuju i konkretiziraju matematički sadržaj te ga zorno predočuju:
Znači, metoda demonstracije, metoda crtanja, ne znam, hodanja, istraživanja prostora, sve što nam je dostupno, što možemo iskoristiti. (I1)
Nadalje, četiri učiteljice osvrnule su se na raznolikost nastavnih sredstava i strategija s ciljem što boljeg savladavanja matematičkih sadržaja što je povezano s načelom individualizacije koje pretpostavlja prilagođavanje uvjeta učenja mogućnostima svakog pojedinog učenika. Primjerice, jedna od učiteljica naglašava:
Konkreti, što više, da i istraživati što kod svakog učenika funkcionira. Neki će dobro računati na brojevnu crtu, u početku s pomoću brojevne crte. Nekima će biti lakše uz prebrojavanje, znači tražiti opet načine ako se vidi da određenom učeniku nešto ne odgovara, tražiti drugo rješenje koje će mu pomoći. Znači, osigurati svakom učeniku da uspije. E sad, tražiti način koji je bolji. (I3)
Sve su učiteljice spomenule igrifikaciju. Opće je poznato da djeca kroz igru spontano uče, a igrolike aktivnosti koje u njima pobuđuju interes za matematiku u službi su načela interesa i vlastite aktivnosti. Intervjui ukazuju na konkretne igre i ideje pojedinih učiteljica kojima se koriste u nastavi. Primjerice:
Upravo to, kroz igru, (…) te razne kocke imam. Onda imam velike kocke i imaju džepiće. I u džepiće im stavljam zadatke. I onda u grupi bacaju, pročitaju, rješavaju, učenje čitanja i pisanja brojeva do 10 000. Znači, svako polje, jedan broj i onda bacaju i slažu si. Ne znam, prvo tablicu množenja, krećemo od jedinice. Znači prvi broj koji su dobili ide na mjesto jedinica, drugi na mjesto desetica i tako, e onda kad slože broj, e onda ga moraju napisati, moraju ga i naučiti čitati i pisati. Onda jedna generacija, učenje brojeva većih od tisuću je bilo Yu-gi-oh! karte. Dečki su obožavali Yu-gi-oh! karte, Yu-gi-oh! karte znači kartaju se, još imaš bodovane živote, ne znam. I morali su naučiti čitati. Ako su se htjeli igrati, znači smjeli su se uvijek igrati, dala sam im to. I ovaj, i onda su, tako su naučili uspoređivanje brojeva. I zbrajanje brojeva bez problema. (I2)
Tri su učiteljice naglasile važnost međupredmetne korelacije koja je usko povezana s načelom trajnosti znanja, vještina i navika jer funkcionalno povezivanje sadržaja različitih predmeta osigurava nerascjepkanost znanja i što duže zadržavanje tog znanja u pamćenju učenika. Primjerice:
Znači u jednom danu što više hrvatski, matematika, priroda, svi predmeti da budu povezani, da oni uopće ne osjete kad prelaze s predmeta na predmet. Mislim, meni se znalo dešavat… da klinci, idemo doma: „Kad već?” U prošloj generaciji jedna mala je plakala. Moramo, idemo doma. Ne idemo, ona plače. Zašto plače, šta je bilo… „Ali ja ne bi išla.” Znači, stvar je u tome da povežeš sve, samo lagani prelaz s jednog predmeta na drugi. (I2)
Dvije učiteljice osvrnule su se na tematski sat matematike kao postupak kojim kod učenika potiču razumijevanje matematičkih sadržaja, a strukturiran je tako da je cijeli sat posvećen nekoj temi bliskoj učenicima putem koje se uvježbava određeni sadržaj. Tako je ovaj postupak u uskoj vezi s načelom primjerenosti te načelom interesa i vlastite aktivnosti jer su upotrijebljene teme primjerene dobi i interesu učenika. Primjerice, učiteljica I7 uključuje popularne junake iz filmova u nastavu matematike:
Recimo, znala sam imati tematski sat ne znam, Spužva Bob, Spiderman nešto ovoga, tipa to. I znači kod mentorice sam prvi put kad sam imala, sam držala sat matematike i napravila sam tematski sat, znači spužva Bob, to. I onda su me svaki put, na hodniku bi me pitali: „Kad ćete nam opet doći? Oćete nam donesti Spužva Boba?” Jer sam drugi put došla hrvatski odradit i morala sam odradit analizu neke pjesme ili nešto. I onda su oni kao: „A oćete drugi put doći sa Spužva Bobom?” Kao, donesite Spužva Boba. (I7)
Poticanje aktivnosti i samostalnosti
Odgovori na drugo istraživačko pitanje pružili su uvid u načine na koje učitelji razredne nastave primjenjuju metodička načela u poticanju aktivnosti i samostalnosti učenika na satu matematike, a time i autonomne motivacije učenika (Assor i sur., 2002; Ryan i Deci, 2017).
Devet je učiteljica spomenulo pružanje izbora, što podrazumijeva da učenici sami odlučuju o načinu rješavanja pojedinog zadatka te odabiru zadatke koje će rješavati na satu ili za domaću zadaću. Takav pristup povezan je s načelom primjerenosti jer svaki učenik može izabrati zadatke koji su mu dostižni, odnosno koji nisu ni prelagani ni preteški i koje može riješiti uz optimalni umni napor. Osim toga, pružanjem izbora ostvaruje se i načelo postupnosti jer se složenost zadataka postupno povećava, a potom načelo individualizacije jer učenici imaju priliku prilagoditi uvjete učenja vlastitim mogućnostima. Navika rješavanja domaće zadaće prirodno će se razvijati kada se pri njezinom zadavanju smanji faktor prisile i učenike dodatno zainteresira pružanjem izbora (Kurnik, 2010a), što također potiče njihovu aktivnost i vlastitu inicijativu, odnosno ostvaruje načelo interesa i vlastite aktivnosti. Primjerice:
Ja imam recimo, znam dok im zadajem domaću zadaću ako je to na dvije stranice u radnoj bilježnici, ja ne želim baš da sad rješavaju, ne želim ih opteretiti u toj mjeri da oni riješe čitave te dvije stranice pune ovih zadataka gdje je računanje, i to. Onda im dam da sami odaberu. Znači: „Odaberite sami 4 zadatka koja ćete riješiti.” I, onda oni odabiru, ili po tome, najčešće po tome što im jako dobro ide pa odaberu: „E, ja ću te.” pa izbjegnu one koji su im možda teži, a ima i onih koji sami onda zaključe: „E ovo mi ide teže pa ću, probat ću taj riješiti.” Tako da ovaj, evo recimo to kod zadavanja domaće zadaće mogu odabrati sami, a ponekad i kod uvježbavanja gradiva im kažem da odaberu sami koje će zadatke riješiti, recimo, pa onda zajedno provjeravamo sve, pa onda riješimo i ove koji nisu riješeni, zajedno. (I4)
Nadalje, devet se učiteljica osvrnulo na ukazivanje učenicima na korisnost i važnost matematike, što je povezano s ostvarivanjem načela interesa i vlastite aktivnosti te načela objektivne realnosti jer učiteljice konkretnim životnim primjerima nastoje zainteresirati učenike za određeni matematički sadržaj i pokazati im primjenjivost matematičkih znanja. Jedna od učiteljica tako spominje povezanost sa zanimanjima i korisnosti matematike:
I treba im objasniti, oni misle: „Neće mi matematika trebati, ja uopće ništa neću raditi s matematikom, uopće mi neće trebati u životu.” Onda kad mu objasniš da mu u svakodnevnim stvarima treba. Onda, ne znam, ova će biti veterinarka, kakve to veze ima s matematikom? „Pa ima, znaš, ne možeš isti lijek dati malom psu i velikom psu, moraš izvagati.” (I9)
Osam je učiteljica spomenulo poštovanje načela interesa i vlastite aktivnosti kao postupak kojim kod učenika potiču aktivnost i samostalnost na satu, što je usko povezano i s načelom objektivne realnosti jer učiteljice apstraktni matematički sadržaj stavljaju u kontekst koji je učenicima blizak i razumljiv, a učenici su istovremeno interaktivno uključeni u proces učenja. Primjerice:
Pronađem nešto što njih zanima, pa onda pokušavam iz toga izvući ono što bi mogli nekako sastaviti neke zadatke, neke aktivnosti koje bi njima bile zanimljive. Ako igra nogomet pa onda tu uvijek ubacimo nogomet, pa treninge, pa igrače, pa ne znam, golove. Uvijek se tu nešto da iskombinirati. (I1)
Također, osam je učiteljica naglasilo važnost heurističkog razgovora i zaključivanja po analogiji kao postupak kojim kod učenika potiču aktivnost i samostalnost. Heuristički razgovor je u službi načela postupnosti jer učenici vođeni učiteljevim potpitanjima postupno dolaze do zaključka, dok je zaključivanje po analogiji jedna od osnovnih znanstvenih metoda čijom se primjenom u nastavi ostvaruje načelo znanstvenosti:
Znam postavljati potpitanja. Da, ako smo radili: „Znamo kako računamo sa dvoznamenkastim brojevima, s prelaskom desetica. Što mislite kako bi to radili sa stoticama? Hoćemo li stotice ubaciti, u stupac stotice ili ćemo ih rastaviti ponovo na puno desetica?” Da, potpitanja. (I8)
Pet je učiteljica spomenulo prihvaćanje pogrešaka kao dijela procesa učenja kao jedan od načina na koji kod učenika potiče aktivnost i samostalnost na satu matematike. Učiteljice traže od učenika da objasne svoj proces razmišljanja bez obzira na točnost odgovora te ukazuju učenicima da su pokušaj i pogreška sastavni dio procesa učenja. Ovaj je pristup usko povezan s poštovanjem načela znanstvenosti jer učitelj poučava učenike matematičkim konceptima i znanstvenim činjenicama te ih potiče na kritičko promišljanje o uvjetima zadatka i mogućim rješenjima. Istovremeno se ostvaruje i načelo problemnosti jer se učenici suočavaju s nepoznatim komponentama zadatka te samostalno traže rješenja putem pokušaja i pogreške. Na primjer, učiteljica I6 opisuje kako započinju rješavati problemske zadatke:
Dakle, kad postavimo neki problemski zadatak, ako to je zadatak koji zajednički rješavamo ili pokušavamo riješiti. Naravno, ko’ ima kakvu ideju, ajmo, makar je ideja kriva, ja dozvoljavam da oni objasne i da sami dođu do zaključka da su krenuli nekim krivim putem i da to ipak nije moguće na taj način riješiti. (I6)
Rasprava i zaključak
Rezultati istraživanja pokazuju da su konkretni materijali i zornost ključni za olakšavanje razumijevanja apstraktnih matematičkih pojmova, što je u skladu s načelom zornosti. Upotreba vlastitog tijela, kamenčića, bojica ili grafičkih prikaza omogućuje učenicima perceptivno spoznavanje sadržaja. Raznolikost metoda i oblika rada pokazuje kako učitelji implementiraju matematička načela u nastavu, potičući učenike na interaktivno sudjelovanje u procesu učenja. Igrifikacija dodatno pobuđuje učenikovu motivaciju i doprinosi boljem razumijevanju sadržaja te odražava direktnu primjenu načela interesa i vlastite aktivnosti jer učenik uči spontano, kroz njemu svojstven i urođen način učenja – igru. Povezivanje sadržaja različitih predmeta (međupredmetna korelacija) pridonosi trajnosti znanja jer učenici usvojeno znanje lakše zadržavaju u pamćenju. Tematski satovi usmjereni na teme bliske učenicima kombiniraju primjerenost i poštovanje interesa učenika te omogućuju učenicima da u zabavnim kontekstima usvajaju matematičke sadržaje.
Pružanje izbora u načinu rješavanja zadataka, uključujući odabir zadataka na satu ili za domaću zadaću, pokazuje kako učitelji ostvaruju načela primjerenosti, postupnosti i individualizacije. Osim toga, omogućavanje samostalnog odlučivanja potiče kod učenika interes za rješavanje matematičkih zadataka te se tim postupkom u nastavi ostvaruje načelo interesa i vlastite aktivnosti. Kao poticaj na aktivnost i samostalnost na satu matematike, učiteljice naglašavaju važnost ukazivanja učenicima na primjenjivost matematičkih znanja u svakodnevnom životu, čime se u nastavi ostvaruje načelo interesa i vlastite aktivnosti te načelo objektivne realnosti. Primjena heurističkog razgovora i zaključivanja po analogiji, omogućuje učenicima da samostalno promišljaju i povezuju stečeno znanje s prethodnim, čime se u nastavi ostvaruju načelo postupnosti i načelo znanstvenosti. Prihvaćanje pogrešaka kao dijela procesa učenja omogućuje učenicima da putem pokušaja i pogreške samostalno traže rješenja, što povezuje načela znanstvenosti i problemnosti.
Ovi nalazi ukazuju da se ispitane učiteljice razredne nastave koriste različitim postupcima kako bi u praksi primijenile i ostvarile metodička načela nastave matematike te kod učenika potaknule razumijevanje matematičkih sadržaja, aktivnost i samostalnost na satu. Postupci kojima se pritom koriste, od zornog prikaza, igrolikih aktivnosti, tematskih sati i međupredmetne korelacije, do pružanja izbora, heurističkog razgovora i prihvaćanja pogrešaka, predstavljaju konkretne načine implementacije načela. Također, navedeni postupci pokazuju kako učiteljice u praksi kombiniraju različita načela te simultano ostvaruju više načela istovremeno. Ovo ukazuje da ispitane učiteljice nastoje strukturirati poučavanje na način koji istovremeno potiče razumijevanje nastavnih sadržaja te aktivno i samostalno sudjelovanje učenika, primjenjujući različite metode, tehnike i strategije. Rezultati mogu poslužiti ostalim učiteljima razredne nastave kao praktični primjer primjene metodičkih načela u nastavi matematike koja potiče razumijevanje, aktivnost i samostalnost učenika kao poželjne oblike motivacije i uključenosti učenika u učenje.
- Assor, A., Kaplan, H. i Roth, G. (2002). Choice is good, but relevance is excellent: Autonomy-enhancing and suppressing teacher behaviours predicting students’ engagement in schoolwork. British Journal of Educational Psychology, 72(2), 261–278. https://doi.org/10.1348/000709902158883
- Fredricks, J. A., Blumenfeld, P. C. i Paris, A. H. (2004). School Engagement: Potential of the Concept, State of the Evidence. Review of Educational Research, 74(1), 59–109. https://doi.org/10.3102/00346543074001059
- Kurnik, Z. (2010a). Načelo interesa. Matematika i škola, 11 (54), 148-152.
- Kurnik, Z. (2009a). Načelo primjerenosti. Matematika i škola, 10 (48), 100-105.
- Kurnik, Z. (2009b). Znanstveni okviri nastave matematike. Zagreb: Element.
- Kurnik, Z. (2002). Načelo problemnosti. Matematika i škola, 14, 148-152.
- Markovac, J. (2001). Metodika početne nastave matematike. Zagreb: Školska knjiga.
- Novak, S. (2025). Pristup poučavanju matematike i uključenost učenika u učenje matematike iz perspektive učitelja razredne nastave (Diplomski rad). Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, Učiteljski fakultet.
- Ryan, R. M. i Deci, E. L. (2017). Self-determination theory: Basic psychological needs in motivation, development, and wellness. The Guilford Press.