Stereometrija se, kao grana geometrije, bavi proučavanjem geometrijskih tijela i odnosa u trodimenzionalnom prostoru. Život u trodimenzionalnoj svakodnevici zahtijeva uporabu prostornih vještina, sposobnosti i prostorne kompetencije općenito. Na tragu svega navedenog, osmišljen je projektni zadatak kojemu je cilj istraživački pristup nastavi matematike.
Ključne riječi: geometrijska tijela, spomenik, građevina, obujam, oplošje
Projektni zadatak osmišljen je za učenike na način da im se ponude tri inačice zadatka koje se razlikuju prema temi. Za sve je inačice zajednički preduvjet zastupljenost bar triju različitih geometrijskih tijela, a poželjno je pet i više. Svaki rad mora sadržavati odgovarajuće 3D modele izrađene uz pomoć programa dinamičke geometrije te precizan izračun oplošja i obujma zastupljenih geometrijskih tijela. Također, svakom je radu potrebno priložiti odgovarajuće fotografije (samostalno snimljene i drugih autora).
Učenici mogu raditi samostalno ili u grupi. Odabiru jednu inačicu zadatka i prema danim smjernicama izvode projektni zadatak. Rok izrade trebao bi biti tri tjedna. Svaki je rad potrebno predstaviti izlaganjem od 10 minuta na satu matematike uz pomoć prezentacije, plakata, projekcija fotografija, videouratka i slično. Način prezentacije i medij učenici biraju samostalno. Učenici su dobili jasne upute za rad, kao i tablicu po kojoj će se njihov rad vrednovati. Ishod je ponoviti gradivo iz poliedara i rotacijskih tijela, povezati ga s arhitekturom (korelacija s likovnom umjetnošću) i pronaći različite vjerodostojne povijesne izvore (korelacija s povijesti).
Pisani projektni rad treba sadržavati:
a) naslov/naslovnicu – navesti temu rada (koje zgrade/objekte ste obradili) i autore (tko je sudjelovao u izradi rada)
b) uvod – kratka povijesna crtica o odabranoj zgradi/objektu ili kratka povijesna crtica o razdoblju koje je poslužilo kao inspiracija za instalaciju/skulpturu
c) glavni dio – uz fotografije (s potpisanim autorima) potrebno je opisati prepoznata geometrijska tijela, izraditi 3D modele uz pomoć programa dinamičke geometrije, izračunati njihov obujam i oplošje (pojedinačno i skupno)
d) zaključak – prepoznati povijesni značaj zgrade/objekta ili istaknuti poveznicu geometrije i stvarnog života.
Tehničke upute – ako rad pišete uz pomoć računala, vodite računa o veličini fonta i ujednačenosti odabranog fonta, veličine fotografija prilagođavaju se poštujući stvarni omjer (nakon što lijevim klikom miša odaberete sliku, odaberite naredbu Oblik slike i zatim sažmite sliku, odaberite web i potvrdite); ne zaboravite navesti izvore fotografija, povijesnih i arhitektonskih informacija; pazite na pravopis i gramatiku (hrvatski standardni jezik).
Predstavljanje – na satu matematike predstavit ćete svoj rad u izlaganju do 10 minuta, a pomoć pri izlaganju može biti prezentacija, plakat, projekcija fotografija, videouradak itd.
1. inačica projektnog zadatka – arhitektura
Zadatak je napraviti projektni rad kojim bi se upoznala povijest i arhitektura grada/mjesta u kojem učenici žive.
- U šetnji gradom/mjestom fotografirajte zgradu (ili neke zanimljive građevine) koje imaju u svojoj gradnji bar tri različita geometrijska tijela. Možete fotografirati više različitih zgrada kako biste obuhvatili više geometrijskih tijela. Možete pronaći i fotografije na internetu, ali ne zaboravite navesti autora.
- Istražite povijest odabrane građevine, godinu izgradnje i autora, kojem stilu gradnje pripada, za koju je namjenu izgrađena i kako se danas njome koristimo.
- S pomoću programa dinamičke geometrije (3D) u mjerilu napravite model građevina koje ste fotografirali. Izračunajte oplošje i obujam građevine. Dimenzije građevina koje ste fotografirali pronađite na internetu. Ne zaboravite navesti izvor.
- Izradite pisani projektni rad i pripremite predstavljanje.
${}$
2. inačica projektnog zadatka – maketarstvo
Republika Hrvatska bogata je nepokretnim kulturnim dobrima koja se nalaze na UNESCO-vu Popisu svjetske baštine:
- povijesni kompleks Splita i Dioklecijanova palača, 1979.
- Stari grad Dubrovnik, 1979.
- kompleks Eufrazijeve bazilike u povijesnom središtu Poreča, 1997.
- povijesni grad Trogir, 1997.
- katedrala sv. Jakova u Šibeniku, 2000.
- Starogradsko polje na Hvaru, 2008.
- stećci, 2016.
- obrambeni sustavi Republike Venecije 16. i 17. st. u Zadru i Šibeniku, 2017.
Osim toga, u svakom dijelu Hrvatske ima zanimljivosti koje se mogu povezati s arhitekturom, povijesti, umjetnosti i naravno s matematikom. Zanimljivi su sakralni objekti poput kapele sv. Marije Formoze u Puli, crkve sv. Križa u Ninu, crkve sv. Nikole u blizini Nina, crkve sv. Donata u Zadru, crkve sv. Trojice u Splitu, crkve sv. Mikule u Splitu, crkve sv. Mihajla na Pelješcu, Gospa od Lužina u Stonu i brojne druge. Poznati su i dvorci Hrvatskoga zagorja, Trakošćan, Veliki Tabor, Mali Tabor, zatim slavonski dvorci kao što su dvorac Eltz u Vukovaru ili dvorac Pejačević u Našicama. Brojni su stari gradovi i utvrde u svakom dijelu Lijepe Naše, primjerice, u Rijeci je Trsatska gradina, u Karlovcu Stari grad Dubovac, Novigrad na Dobri, Ozalj, Sisak, Stari grad Bosiljevo, Stari grad Varaždin, Stari grad Zrinskih u Čakovcu, Stari grad u Đurđevcu i slično.
Zadatak je napraviti projektni rad kojim bi se upoznala povijest i istražile osobitosti arhitekture nekog razdoblja.
- Odaberite i fotografirajte neku od navedenih građevina (crkvu, utvrdu ili dvorac).
- Istražite povijesno razdoblje kada je građevina nastala i po čemu se ističe. Pronađite stvarne mjere građevine.
- Izradite njezinu maketu.
- S pomoću programa dinamičke geometrije (3D) u mjerilu napravite model građevine, napravite izračun oplošja i obujma svih elemenata makete zasebno i skupno.
- Izradite pisani projektni rad i pripremite predstavljanje.
3. inačica projektnog zadatka – skulptura
- Izradite instalaciju/skulpturu od upotrijebljene ambalaže, kartonskih kutija, limenki i slično. Prije izrade fotografirajte elemente koje ćete upotrijebiti.
- Istražite razdoblje koje je poslužilo kao inspiracija za instalaciju/skulpturu.
- S pomoću programa dinamičke geometrije (3D) u mjerilu napravite model svoje instalacije/skulpture.
- Izračunajte oplošja i obujme korištenih elemenata zasebno te izračunajte oplošje i obujam nastale instalacije/skulpture.
- Izradite pisani projektni rad i pripremite predstavljanje.
Primjer vrednovanja projektnog rada
| SASTAVNICE | RAZINA OSTVARENOSTI ISHODA | |||
|---|---|---|---|---|
| 3 BODA | 2 BODA | 1 BOD | 0 BODOVA | |
| SLIKOVNI DIO RADA | Učenik je samostalno fotografirao zgrade koje se nalaze u mjestu stanovanja. Na fotografijama se vidi pet ili više različitih geometrijskih tijela. Učenik je pronašao još fotografija istih zgrada i napisao imena svih autora tih fotografija. | Učenik je samostalno fotografirao zgrade koje se nalaze u mjestu stanovanja. Na fotografijama se vide četiri različita geometrijska tijela. Učenik je pronašao još fotografija istih zgrada, ali nije napisao imena svih autora tih fotografija. | Učenik nije samostalno fotografirao zgrade koje se nalaze u mjestu stanovanja. U rad je postavio fotografije na kojima se vide tri različita geometrijska tijela. Naveo je ime samo jednog autora fotografije. | Učenik nije samostalno fotografirao zgrade koje se nalaze u mjestu stanovanja. U rad je postavio fotografije na kojima se vide manje od tri različita geometrijska tijela. Nije naveo ime ni jednog autora fotografija. |
| ISTRAŽIVAČKI DIO (POVIJEST GRADNJE, STIL, AUTOR/I GRADNJE) | Učenik je istražio iz više izvora (knjige, enciklopedije, internet) povijesni dio, razlog gradnje i sve povezao u smislenu cjelinu. Učenik je naveo sve izvore kojima se koristio u pisanom dijelu rada. Rad je napisan hrvatskim standardnim jezikom. U radu nema gramatičkih i pravopisnih pogrešaka. | Učenik je istražio iz dva izvora povijesni dio, razlog gradnje i sve povezao u smislenu cjelinu. Učenik je djelomično naveo izvore iz kojima se koristio u pisanom dijelu rada. Rad je napisan hrvatskim standardnim jezikom. U radu ima manjih gramatičkih i pravopisnih pogrešaka. | Učenik je za izvor upotrijebio samo internet. Učenik je djelomično naveo stranice kojima se koristio u pisanom dijelu rada. Nije provjeravao podatke tako da ima nekih netočnih navoda u pisanom dijelu. Rad je napisan hrvatskim standardnim jezikom, ali upotrebljava i žargonizme. U radu ima više gramatičkih i pravopisnih pogrešaka. | Učenik je za izvor upotrijebio samo internet. Učenik nije naveo stranice kojima se koristio u pisanom dijelu rada. Nije provjeravao podatke tako da ima nekih netočnih navoda u pisanom dijelu. Rad je napisan manjim dijelom hrvatskim standardnim jezikom, a većinom upotrebljava i žargonizme. U radu ima više gramatičkih i pravopisnih pogrešaka. |
| IZRADA MODELA POMOĆU PROGRAMA DINAMIČKE GEOMETRIJE (3D) | Učenik je sva geometrijska tijela izradio uz pomoć programa dinamičke geometrije. Geometrijska tijela izrađena su u mjerilu koje je navedeno. Rad je potpuno precizan. | Učenik je sva geometrijska tijela izradio uz pomoć programa dinamičke geometrije. Geometrijska tijela izrađena su u mjerilu koje je navedeno. Dva tijela nisu izrađena u mjerilu koje je učenik naveo. | Učenik je izradio samo jedno geometrijsko tijelo uz pomoć programa dinamičke geometrije. Geometrijsko tijelo je izrađeno, ali iz rada nije vidljivo u kojem je mjerilu. | Učenik nije izradio niti jedno geometrijsko tijelo uz pomoć programa dinamičke geometrije. |
| IZRAČUN OPLOŠJA I OBUJMA | Učenik je izračunao oplošja i obujam geometrijskih tijela, opisao je postupak rada ispravnim matematičkim jezikom. Obrazložio je pogreške koje su nastale u računu. | Učenik je izračunao oplošja i obujam geometrijskih tijela i djelomično je opisao postupak rada ispravnim matematičkim jezikom. Dva računa nisu ispravna. | Učenik je izračunao oplošja i obujam geometrijskih tijela, ali nije opisao postupak rada. Računi nisu ispravni. | Učenik je izračunao oplošja i obujam samo jednog geometrijskog tijela. Nije opisao postupak rada. Računi nisu ispravni. |
| IZLAGANJE | Učenik se pripremio za izlaganje. Suvereno vlada temom, cijelo vrijeme drži pažnju kolega u razredu. Ima vizualni kontakt s kolegama u razredu i sigurno odgovara na postavljena pitanja. | Učenik se pripremio za izlaganje. Vlada temom, ali povremeno čita bilješke. Uglavnom ima vizualni kontakt s kolegama u razredu i drži njihovu pažnju. Pokazuje nesigurnost prilikom odgovaranja na postavljena pitanja. | Učenik se nije najbolje pripremio za izlaganje. Ne vlada u potpunosti temom, čita bilješke. Ne uspijeva svojim izlaganjem držati pažnju kolega u razredu. Uglavnom ima vizualni kontakt s kolegama u razredu. Na većinu postavljenih pitanja nema odgovor. | Učenik nije pripremio izlaganje. Ne vlada temom i cijelo vrijeme predavanja kolegama nije zanimljiv. Nema vizualni kontakt s kolegama. Ni na jedno postavljeno pitanja nema odgovor. |
Ocjene su dodijeljene prema bodovnoj ljestvici:
| nedovoljan | dovoljan | dobar | vrlo dobar | odličan |
| 0 – 7 | 8 – 9 | 10 – 11 | 12 – 13 | 14 – 15 |
Unutar prvog projektnog zadatka izdvojit ćemo rad učenika koji su promatrali i istraživali Eurodrom, arhitektonski projekt u gradu Osijeku koji sadrži poslovne, stambene i društvene (kafići, koncertna dvorana) sastavnice. Cijeli je kompleks promatran kao dekonstrukcija valjka. Točne dimenzije potrebne za izračun oplošja i volumena učenici su dijelom prikupili sami (na terenu), a dijelom iz dokumenata koji svjedoče gradnju.
Učenički rad na temu osječki Eurodrom možete pogledati i preuzeti na poveznici u nastavku.
Unutar drugog projektnog zadatka jedna se grupa učenika odlučila za Eufrazijevu baziliku u Poreču. Bazilika je sastavljena od više komponenata. Pronalaženje točnih mjera koje se odnose na izgled bazilike, nije bio jednostavan, ali učenici nisu odustali. Proučavali su tlocrte koji su bili dostupni unutar različitih arheoloških radova naših uglednih znanstvenika. Trebalo je posegnuti i za pokojom knjigom iz područja likovne umjetnosti gdje se detaljnije objašnjavaju sastavnice sakralnih objekata. Cijela je priča zaokružena uspješnom izradom makete Eufrazijeve bazilike koja se i danas nalazi u matematičkoj učionici naše škole.
Učenički rad o Eufrazijevoj bazilici možete pogledati u nastavku ili preuzeti na poveznici.
Treću su temu odabrali učenici koji vole samostalno oblikovati, stvarati i unositi u sve dio sebe. Često ih nazivamo „umjetničke duše“. Naglasak je bio na održivosti, sve je drugo bilo prepušteno slobodi stvaranja. Zanimljivo je bilo vidjeti kako u tom odmaku od klasičnog rada na zadanim objektima, ovdje geometrijskim tijelima, pojedini učenici postaju zapaženiji i aktivniji te sigurno svjesniji kako konačnu riječ u realizaciji ovakvog zadatka mora imati matematičko znanje.
Učenički rad Snjegović možete pogledati i preuzeti na poveznici u nastavku.
Učenici su uložili veliki trud u svoj rad te izrazito pozitivno reagirali na ovakav odmak od klasične nastave. Pritom su aktivno učili o sadržaju, učili samostalno istraživati te razvijali kritički način razmišljanja i dublje razumijevanje sadržaja. Primijećen je i rast učeničke kreativnosti i motivacije za učenjem, istraživanjem i suradnjom s drugim učenicima i nastavnikom. Uvjerili su se kako matematika pomaže u opisivanju svijeta, a njezina se važnost u razvoju društva ne može se dovoljno naglasiti.
Školska matematika trebala bi odražavati takvu sliku matematike. Jesu li problemi modeliranja u nastavi matematike realistični i bliski učenicima? U kojoj mjeri podržavaju bolje razumijevanje matematike i svijeta? Traži li se od učenika samo uvrštavanje u gotove formule popraćene već fiksiranim ‘kulisama’ iz konteksta ili ih se potiče na razvoj složenijih matematičkih procesa?
Literatura
- Z. Kurnik (2010.): Znanstveni okviri nastave matematike, Element, Zagreb.
- dr. M. Benšić: Projekt u nastavi matematike srednjih škola, Matematički odjel Sveučilišta u Osijeku
- https://element.hr/static/files/O%20projektu%20u%20nastavi%20matematike.pdf, projektna nastava
- https://www.eurodom.com.hr/, službena stranica Eurodoma, Osijek
- https://www.visit-croatia.hr/hr/ture/porec-rivijera/eufrazijeva-bazilika/IS-TR-9, službena stranica grada Poreča